巧用向量法 解答數學題

莫冬瑩

摘 要：向量是高中數學的重要知識點，常作為一種解題方法用于解決相關數學問題.實踐表明，運用向量法解決數學問題，可迅速找到解題的切入點，提高解題效率.

關鍵詞：高中數學;向量法;數學題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0006-03

運用向量法解決高中數學習題常會應用到向量的坐標運算，以尋找相關參數之間的邏輯關系.實踐表明，運用向量的坐標運算可將復雜的問題轉化成簡單的計算問題，大大降低解題的難度，因此，教學活動中要注重與學生一起總結向量與對應幾何之間的關系以及向量坐標運算的相關法則.

1 用于求最值問題

最值問題是高中數學的一類重要題型，解該類問題主要有兩種思路：運用基本不等式和運用函數單調性，因此運用向量法解高中數學問題時，可通過向量的坐標運算將問題轉化為函數問題，而后運用函數的性質進行解答.

例1 設a，b，c為平面向量，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，則c·b的最大值為.

解析 根據題意可設b=（2，0），a=（2cosα，2sinα），α∈[0，2π]，c=（x，y），則c·b=2x，將問題轉化為求x的最大值問題.

因為2c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

所以（2c-a）·（c-b）=（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0.

整理，得y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0.

關于y的方程有解，則Δ=sin2α-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0.

令t=cosα∈[-1，1]，則4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0.

所以t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.

令m=5-4t∈[1，3]，則

t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178.

所以x≤178，則2x≤174.

2 用于求范圍問題

求解參數范圍是高中數學的一類重要題型，其中借助向量坐標的簡單運算可將其轉化為三角函數問題，借助三角函數的有界性問題便可迎刃而解.

例2 已知ABCD為正方形，點P在以C為圓心且與直線BD相切的圓上運動，若AP=λAB+μAD（其中λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍為.

解析 設正方向ABCD的邊長為1，以A為坐標原點，AB所在直線，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）.則直線BD的方程為x+y=1.

由已知條件，得圓C的半徑r=d=22.

則圓C的方程為（x-1）2+（y-1）2=12.

設點P的坐標為（1+22cosθ，1+22sinθ），AB=（1，0），AD=（0，1），AP=（1+22cosθ，1+22sinθ）.

又因為AP=λAB+μAD，即

（1+22cosθ，1+22sinθ）=λ（1，0）+μ（0，1）.

則λ=1+22cosθ，μ=1+22sinθ.

則λ+μ=2+22（cosθ+sinθ）=2+sin（θ+π4）.

而sin（θ+π4）∈[-1，1]，則λ+μ∈[1，3].

3 用于求軌跡問題

軌跡問題往往涉及到點、線的變化，對學生想象以及分析問題的能力要求較高，運用向量法可將看似復雜的問題轉化成簡單的坐標運算，大大提高解題的正確率.高中數學教學中應注重引導學生運用向量法求解軌跡問題，尤其結合具體習題為學生展示如何建系，如何設點，給其帶來良好的解題啟發，使學生能夠透過現象看本質.

例3 設正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球為球O，M為B1C1的中點，點P在球面上運動，且總有DP⊥BM，則點P軌跡的周長為.

解析 根據題意，得正方體外接球半徑R=3.

設點N為BB1的中點，連接CN，DN，DO，以點D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則C（0，2，0），D（0，0，0），N（2，2，1），B（2，2，0），M（1，2，2），O（1，1，1）.則CN=（2，0，1），BM=（-1，0，2），DC=（0，2，0）.

則CN·BM=0，BM·DC=0.

則CN⊥BM，DC⊥BM.

又因為CD∩CN=C，所以BM⊥平面DCN.

所以點P的軌跡為平面DCN與外接球的交線，則點O到平面DCN的距離d=|DO·BM|BM=55.

截面圓的半徑r=R2-d2=705，點P軌跡的周長C=2πr=270π5.

4 用于求離心率問題

求解離心率是高中數學圓錐曲線中的熱門問題.部分問題與向量知識結合起來，難度相對較大.解題的過程中應結合題干創設的情境運用向量法進行解答，結合實際情況將向量關系轉化為幾何關系、坐標運算等.

例4 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線C上一點，Q為雙曲線C漸近線上一點，點P，Q均位于第一象限，且2QP=PF2，QF1·QF2=0，則雙曲線C的離心率為.

解析 設Q（m，bam）（m>0），P（s，t），F1（-c，0），F2（c，0），則QP=（s-m，t-bam），PF2=（c-s，-t）.

因為2QP=PF2，所以s=m+12c1+12，t=bma1+12.

因為點P在雙曲線C上，代入雙曲線方程C，整理，得c2+4mc=9a2.

即m=9a2-c24c.

因為QF1·QF2=0，則bmam-c·bmam+c=-1.

整理，得c2-m2=b2m2a2.

所以c2=m2·c2a2.

所以m=a.即4ac=9a2-c2.

即e2+4e-9=0，

解得e=-2+13，e=-2-13（舍去）.

所以e=-2+13.

5 用于求解析幾何問題解析幾何是比較常見的一種題型，與普通的平面幾何試題相比難度有明顯提升，因為解析幾何題目中通常同坐標軸一起出現，還具有數量與方向兩個特征，所以會涉及平面向量的知識.在處理解析幾何類試題時，可

采用向量語言來說明解析幾何的特征，同時也可借助向量對解析幾何的性質進行計算，使其解題思維得以開拓，優化認知結構.

例5 已知點M（-2，0），N（2，0），點P滿足：直線PM的斜率是k1，直線PN的斜率為k2，且k1×k2=-34.

（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程;

（2）過點F（1，0）的直線l同曲線C相交于A，B兩點，那么在x軸上是否存在點Q，使得QA×QB是一個定值？如果存在，求出點Q的坐標;如果不存在，請說明理由.

解析 （1）根據題意可以得到k1=yx+2（x≠-2），k2=yx-2（x≠2）.

根據k1×k2=-34可知yx+2×yx-2=-34.

則軌跡C的方程是x24+y23=1（x≠±2）.

（2）假設在x軸上存在點Q（m，0），使得QA×QB是一個定值.

當直線l的斜率存在時，可設其方程是y=k（x-1）（k≠0），將3x2+4y2=12與y=k（x-1）聯立起來，可以得到（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0.

令A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=8k23+4k2，x1×x2=4k2-123+4k2.

根據QA=（x1-m，y1），QB=（x2-m，y2），

所以（x1-m）（x2-m）+y1y2

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-（m+k2）·（x1+x2）+m2+k2

=-（5+8m）k2-123+4k2+m2.

將m看成常數，要使上述式子為定值，需滿足5+8m=16，即m=118，這時QA×QB=-13564.

當直線l的斜率不存在時，可以得到A（1，32），B（1，-32），Q（118，0）.

由此得出QA=（-38，32），QB=（-38，-32），QA×QB=-13564.

綜上，存在點Q（118，0），使得QA×QB為定值.

向量法在高中數學解題中有著廣泛的應用.為使學生更好地掌握這一重要的解題方法，應做好向量基礎知識的講解，使學生切實打牢基礎.同時，做好經典例題的講解以及相關習題的訓練，提高學生運用向量法學習意識的同時，掌握相關的解題經驗與技巧.

參考文獻：

[1]

吳麗端.向量法在高中數學解題中的應用策略[J].數理化解題研究，2021（22）：49-50.

[2] 魏琦.高中數學向量解題基本思想與技巧分析[J].數學學習與研究，2020（07）：139.

[責任編輯：李 璟]