關于韋達定理法中直線方程的設法探究

苗媛媛

摘 要：直線與圓錐曲線是高中數學中最重要的模塊之一，歷年的高考題都會出現它的身影，但是從實際教學過程中發現，在解決直線與圓錐曲線相交問題時很多同學不會觀察，解題思路不清晰，計算能力弱等方面的原因導致丟分.本文針對高中數學中直線與圓錐曲線相交時運用韋達定理中直線方程的設法進行探究，希望可以提高相應的教學效果.

關鍵詞：高中數學;韋達定理;直線與圓錐曲線相交;直線設法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0030-03

平面解析幾何的本質，是通過用代數方法來解決平面幾何問題.高中數學中，直線與圓錐曲線的相交問題是解析幾何模塊中的難點，也是新高考中對學生高中數學核心素養的考查，深受師生的關注.在處理直線與圓錐曲線問題時，通常有三種方法：韋達定理法、點差法和幾何法.在解析幾何教學過程中，教師需要注意在多種解題方法中培養學生自主總結運算技巧和優化總結方法的能力.

1 韋達定理法中直線方程設法介紹

直線是平面幾何中最基本的幾何圖形之一，直線方程有多種不同的形式.在解決直線與圓錐曲線的相交問題時，我們通過設直線方程，將直線與圓錐曲線聯立得到一個關于x或y的一元二次方程，然后由韋達定理得兩者之間關系，然后將已知和所求都轉化為坐標關系進行求解弦長、面積、向量等問題.這種方法，稱之為韋達定理法.其中，選取直線方程的形式至關重要，直線方程選取不當會直接導致計算過程繁瑣，甚至結果出錯.因此，在使用直線方程時，要注意不同直線方程中的限制條件：如點斜式方程的限制條件是直線必須存在斜率;截距式方程的限制條件是兩截距都存在且不為零;兩點式的限制條件是直線不與坐標軸垂直等.但是在研究直線與圓錐曲線的位置關系時通常會看到直線方程的另外一種形式，即直線的斜率不為零時，可設直線方程為x-x0=m（y-y0）（m≠0）.這樣不僅可以避免討論直線斜率是否存在，而且有時還可以大大地簡化計算量.

我們首先來研究一下直線方程x-x0=m（y-y0）（m≠0）的特征：（1）該直線表示過定點（x0，y0）的直線，且直線的斜率為1m（m≠0）;（2）該直線方程能表示與x軸垂直的直線，此時x=x0（m=0），但不能表示與y軸垂直的直線;（3）當定點位于x軸上時，即定點為（n，0）時，方程可表示為x-n=m（y-0），即x=my+n（m≠0），此時n為橫截距.

2 例舉不同的直線方程設法在圓錐曲線教學中的應用

對于直線方程x-x0=m（y-y0）（m≠0），多數同學剛接觸時還是比較陌生，如何選取合適的直線方程形式，下面我們通過例題來研究直線x-x0=m（y-y0）（m≠0）在解決直線與圓錐曲線相關問題中的應用.

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長軸長為4，且短軸的兩個端點與右焦點是一個等邊三角形的三個頂點，O為坐標原點.過橢圓的右焦點F作直線l與橢圓相交于A，B兩點.求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程.

解法1 由題知，橢圓方程為x24+y2=1.

設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）.因為直線l與橢圓交于A，B兩點且構成三角形，所以直線l的斜率不為零.

設直線AB：x=my+3，

聯立直線AB與橢圓方程，得

x=my+3，x2+4y2=4，消去x，得

（m2+4）y2+23my-1=0.

其中Δ=（23m）2+4（m2+4）>0恒成立.

由韋達定理，得

y1+y2=-23mm2+4，y1·y2=-1m2+4.

此時S△OAB=12·OF·y1-y2

=32（y1+y2）2-4y1y2

=23·m2+1m2+4.

令t=m2+1≥1，

所以

m2=t2-1.

所以S△OAB=23tt2+3=23t+3t≤1（當且僅當m=±2時取“=”）.

綜上，當直線方程為x±2y-3=0時，三角形的面積取得最大值1.

解法1使用的直線方程是x-x0=m（y-y0）（m≠0），對于本題容易發現直線的斜率不為零，且與橢圓聯立后是消x留y，最后再利用橢圓中三角形面積公式求得最終結果.實際批改過程中，雖然有知識積累，大多數同學們還是在使用直線的縱截距方程，下將此方法解答過程詳解呈現出來，與解法1進行比較.

解法2 ①當斜率不存在時，不妨設A（3，12），B（3，-12）.

所以AB=1，S△OAB=12×3×1=32.

②當斜率k存在時，設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），設直線AB方程為：y=k（x-3），聯立直線AB與橢圓方程，得y=k（x-3），x2+4y2=4.

化簡，得

（1+4k2）x2-83k2x+12k2-4=0.

其中Δ=（83k2）2-4（1+4k2）（12k2-4）>0.

由韋達定理，得

x1+x2=83k21+4k2，x1·x2=12k2-41+4k2.

所以AB=1+k2·（x1+x2）2-4x1·x2

=41+k2·1+k2（1+4k2）2.

點O到直線AB的距離d=3k1+k2.

所以S△OAB=12·AB·d

=23·k·1+k2（1+4k2）2? =23k4+k216k4+8k2+1.

令t=1k2（t>0），則

S△OAB=23·1+tt2+8t+16

=23·t+1（t+1）2+6（t+1）+9

=23·1（t+1）+6+9t+1.

又t+1>1，故t+1+9t+1≥2（t+1）·9t+1=6，當且僅當t+1=9t+1取“=”，也即k=±22時取“=”.此時△OAB的面積取得最大值1，直線l的方程為x±2y-3=0.

3 思考解答過程，總結不同直線方程設法的選取優勢

雖然兩種方法均可以將本題解決，但是用時和計算量上存在較大差異.雖然看起來解法2的設法更常規，帶來的是求三角形面積中參數k增多，運算處理繁瑣.而解法1抓住直線過x軸上的點，這樣不僅簡單，而且在假設直線方程時就可以把所有與橢圓相交的直線全部包括進去，做到了“設線”的完備性.同時，在下面表示三角形面積過程中使得運算都相當簡潔.因此，對于解析幾何中的各種基本方程要弄清內涵、挖掘本質、靈活運用.通過比較這兩種方法，我們能夠發現選擇設哪種直線方程主要取決于以下幾個方面：

（1）要設的直線斜率若存在就考慮直線的縱截距方程，若斜率不為零就考慮直線的橫截距方程;

（2）與圓錐曲線相交的直線方程所過定點是否在x軸，若是，則設為x=my+n的形式;

（3）在最終目標求弦長、面積、向量問題時是需要消x還是y.

高考數學中，直線與圓錐曲線的位置關系是經久不衰的熱門考點，而這其中最大的難點在于：不知從何做起;計算量繁瑣“永無止盡”.要突破這兩點就要膽大心細、腳踏實地去細細品味例題，總結出自己的思路與思想.在使用韋達定理法設直線方程時，學生習慣于使用直線的斜率截距式方程.但直線方程y-y0=k（x-x0）不能表示與x軸垂直的直線，故在答題時，往往需要對斜率進行討論.但若設直線方程為x-x0=m（y-y0）（m≠0），則能有效地避免計算上的繁瑣.并且此方法在解決直線與圓錐曲線的相交問題中更能表現出超強的優越性.不同程度的學生因為計算能力，知識綜合能力，熟練程度的不同，對不同方法的理解也不一樣，我們應該在教學初期讓學生有自己對于題目的感受，充分發揮學生的主體作用.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]