基于單門限二元檢測的課堂思政教學設計

麥超云 甘俊英 秦傳波 曾軍英 徐穎

關鍵詞：信號檢測與估計；二元檢測；教學設計；思政元素

1引言

2017年，教育部印發的《高校思想政治工作質量提升工程實施綱要》將課程育人列為“十大育人”體系之首[1]。課程思政不是特定的一門或一類具體教學科目以及某一教育活動，課程是泛化的概念，即學校育人的所有教學科目和教育活動都滲透和貫穿著思政教育，其特點是課程為載體，思政教育是靈魂，課程的育人功能和價值取向鮮明，而傳統的課程邊際淡化。課程思政是一種課程觀，是將高校思想政治教育融人所有課程教學和改革的各環節、各方面，圍繞“知識傳授與價值引領相結合”的課程目標，充分發揮包含專業課程在內的其他所有課程的育人價值[2]。

各高校針對課程思政都有自己的思路，總結教學中的實踐結果，提出不同觀點。本文以“信號檢測與估計”課程中的二元檢測章節為例，結合時政熱點，將思政元素融人課堂教學設計[3]。因為二元假設檢測是最基本的檢測問題，所以在“信號檢測與估計”課程經典檢測理論教學中，首先講述二元假設檢測，其中介紹的相關概念和模型在后續的課程內容中都會沿用。事實上，雷達目標檢測和二進制數字通信就是典型的二元假設檢測問題。

2課堂內容介紹

典型的二元假設信號檢測理論模型主要由四部分組成，即信源、概率轉移機構、觀測空間和判決規則。圖1為二元假設信號檢測理論模型。

如圖1所示，信源產生假設：概率轉移機構是在信源輸出的其中一個假設為真的情況下，把信號以一定的概率關系映射到觀測空間，即按照某種概率規則在觀測空間產生一個點：判決規則使觀測空間的每一個點對應一個相應的假設，或者說判決規則實際上就是對觀測空間的劃分規則。

在二元假設檢驗理論中，信源輸出兩個假設： Ho和H1。H0稱為零假設，日，稱為備擇假設。比如，在雷達系統中，雷達對特定區域進行觀測并判定該區域是否存在目標，通常假設Ho表示目標不存在，假設H1表示目標存在。

3教學設計：問題引入

課堂教學開始時，一般通過例子引入基本概念。舉例：將“雷達檢測導彈”場景作為例子，并簡化大部分設定，以便更好地說明二元檢測問題。

設地面基站有雷達裝置，用于檢測敵方導彈襲擊。雷達發射信號幅值為1，傳播過程中只會被導彈反射信號：反射和傳播過程中信號不衰減：不考慮時延t；敵方發射導彈襲擊的概率為1/2。

在這些設定下，如果沒有噪聲，信源信號將映射到觀測空間的某一個確定的點，即可以百分之百概率正確檢測到導彈目標。現在，假定有加性噪聲干擾，噪聲是均值為0、方差為1的高斯噪聲n。如此，在兩個假設下，觀測信號模型為：

根據已知條件，可以寫出兩種假設下觀測信號的概率密度函數，分別為：

信源輸出的信號將以一定的概率映射到整個觀測空間，而映射到某一點附近的概率取決于概率密度函數p（yIHt）和p（yHo）。

4教學設計：教學互動

在課堂教學中，將圖2中的p（y 1 Hi）和p（y 1Ho）畫在同一個坐標中，如圖3所示。同時，發起教學互動，提出疑問和討論，讓學生循序漸進地理解二元檢測問題的相關概念。

4.1問題一：接收信號的范圍

該問題可以由式（2）、式（3）和圖3直觀得出結論，即接收信號的范圍是負無窮到正無窮。

4.2問題二：極端信號的來源

由問題一可知，接收信號的范圍是負無窮到正無窮。設接收到一個數值為-100的樣本，它的來源有沒有可能是H1；另一個數值為200的樣本，它的來源有沒有可能是Ho？由圖3可以看出，以上兩個問題的答案都是肯定的。

4.3問題三：判決門限的概念

由問題二可知，任何一個樣本都有可能是由假設Ho或者由假設日，產生，因此需要確定一個規則，引入“判決門限”的概念。圖3中在橫坐標約0.8位置處黑色豎直線表示判決門限。樣本值落在判決門限右方的，判決為H1；樣本值落在判決門限左方的，判決為H0。

5教學設計：深入探討

解析四種情況與兩類錯誤。圖4中概率密度函數的兩條曲線與判決門限的豎直線將圖形分割成四個部分，分別對應二元檢測的四種情況。

5.1情況一：正確判斷到有目標

對應圖4（a）中陰影部分。信源產生H1假設的樣本，在受到噪聲干擾后，仍在判決門限右側，即正確判斷到有目標。沿用上文雷達檢測導彈例子的描述，即敵方發射的導彈可以被雷達檢測到。這部分用P表示，表示正確檢測有目標的概率。

5.2情況二：正確判斷沒有目標

對應圖4（b）中陰影部分。信源產生Ho假設的樣本，在受到噪聲干擾后，仍在判決門限左側，即正確判斷沒有目標。沿用上文雷達檢測導彈例子的描述，即敵方沒有發射導彈，雷達也正確檢測到沒有目標。這部分用P表示，表示正確檢測沒有目標的概率。

5.3問題三：錯誤判斷到有目標

對應圖4（c）中陰影部分。信源產生Ho假設的樣本，在受到噪聲干擾后，在判決門限右側，即錯誤判斷到有目標。沿用上文雷達檢測導彈例子的描述，即敵方沒有發射導彈，但是雷達卻錯誤地判斷成有目標。這種情況被稱為“虛警”。這部分用PF表示，表示“虛警”概率。

5.4問題四：錯誤判斷沒有目標

對應圖4（d）中陰影部分。信源產生Hi假設的樣本，在受到噪聲干擾后，在判決門限左側，即錯誤判斷沒有目標。沿用上文雷達檢測導彈例子的描述，即敵方發射了導彈，但是雷達沒有檢測到。這種情況被稱為“漏警”。這部分用PM表示，表示“漏警”概率。

由圖4不難得出四個概率之間的關系：

即正確判斷的概率增大時，錯誤判斷的概率降低。

6教學設計：歸納結論

通過課堂討論與深入探討，結合板書與圖文講解，可使學生得出以下結論。

6.1結論一：兩類錯誤均不能消除

由圖2和圖3可以看出，不管判決門限豎直線在橫軸上哪個位置“切一刀”，PI、和PM都不會消失。換言之，不管門限定何值，“虛警”概率和“漏警”概率都會存在。通過改變門限，兩類錯誤都不能完全消除。

相關結論可以延伸到其他領域的思考，如醫生診斷病人、新冠疫情中的核酸檢測等。醫生診斷病人對應的“虛警”和“漏警”情況分別為：沒患病的被診斷為患病；患病的被診斷為沒有患病，即誤診和漏診。新冠疫情核酸檢測對應的“虛警”和“漏警”情況分別為：沒有感染新冠病毒的人被檢測成陽性：感染新冠病毒的人沒有檢測出陽性，即偽陽和偽陰。

不管是醫生診斷病人時的誤診或漏診，還是新冠疫情核酸檢測中的偽陽或偽陰，都是錯誤的判決。現實生活中都希望將兩者出現的概率降低，采用的方法如多次檢測、雙門限序列檢測等。但是，由上文的分析可以得出，兩類錯誤都會以一定的概率存在，由此可以加深對單個樣本有極端可能性的認識。

6.2結論二：改變判決門限需要考慮代價

由圖4可以看出，代表判決門限的豎直線向左移動時，Pd和PF變小，P，和PM變大，即正確判斷有目標和“漏警”的概率降低：正確判斷沒有目標和“虛警”的概率增加：代表判決門限的豎直線向右移動時，結果則相反。因此，對于單門限二元檢測問題來說，改變門限無法同時降低“虛警”概率P，和“漏警”概率PM。門限降低時，PM降低，但是PF增大；門限提升時，PF降低，但是PM增大。

提出疑問：如何考慮此時門限左移還是右移？引入概念“代價”。兩類錯誤判決都要付出代價，一般情況下，“漏警”和“虛警”的代價是不同的。繼續沿用雷達檢測導彈的場景例子，此例中“漏警”的代價遠高于“虛警”的代價，此時門限應該考慮降低，即將門限左移。

相關結論可以延伸到其他領域的思考，如新冠疫情核酸檢測也是“漏警”的代價遠高于“虛警”。

7結束語

單門限二元檢測問題是最簡單的檢測問題，信息類專業的學生學習“信號檢測與估計”課程是建立數學模型、數學思維的重要環節。其中，課堂教學時長約3學時，經過多次實踐，有較好的教學效果。很多專業名詞，如“虛警”“漏警”在后續的課程中也繼續沿用，通過課堂教學設計，可使學生有深刻的認識和理解。后續課程將在此基礎上推導優化準則，如貝葉斯準則、極小化極大準則、奈曼，皮爾遜準則等。相關結論在其他領域的思考可以作為思政元素引導學生，加深對國家政策、社會問題的分析和理解。