過程：發展學生數學核心素養的關鍵

彭燕偉

摘 ? ?要：數學核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力和情感態度價值觀的綜合體現，學生的數學核心素養是他們在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展起來的，鮮明地體現了“過程”的關鍵作用.教師要以知識的學習為線索，引導學生經歷知識發生發展的過程;以知識結構圖為媒介，帶領學生經歷數學知識體系建構的過程;以數學問題為載體，幫助學生經歷問題解決的全過程;以實際問題為依托，鼓勵學生經歷數學建模的過程.學生經歷從“四基”到“四能”再到“三會”的素養發展的過程，是發展數學核心素養的關鍵.

關鍵詞：過程;數學核心素養;數學教學

數學核心素養是“立德樹人”教育目標在數學學科中的具體表現，是數學課程目標的核心內容和集中體現.數學核心素養的落實關乎著國家的未來，關乎著數學教育的長遠發展，也關乎著每一個學生的前途和命運.因此，如何發展學生的數學核心素養，成了數學教育理論研究和實踐探索的重要議題，成了高中數學課程有效實施的關鍵問題，直接影響著高中數學課程改革不斷深化的成效.對此，有研究者提出主題教學、深度學習是發展學生核心素養的重要途徑，也有研究者認為落實核心素養要突出學生的主體性.實際上，不論是從核心素養的內涵、本質、特征，還是從核心素養的具體表現和發展路徑來看，學生核心素養的發展都應該強調“過程”這一關鍵因素.

一、發展學生數學核心素養中的“過程”指的是什么

數學核心素養是學生在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展起來的，而數學的學習過程包括數學知識的學習過程和數學知識體系建構的過程，數學的應用過程包括應用數學知識解決數學問題的過程、應用數學知識解決其他學科問題的過程以及應用數學知識解決生產生活問題的過程.因此，在學生數學核心素養發展中強調過程就是強調數學知識的學習過程、數學知識體系建構的過程、應用數學知識解決數學問題的過程、應用數學知識解決其他學科問題的過程以及應用數學知識解決生產生活問題的過程.

二、為什么過程是發展學生數學核心素養的關鍵

（一）強調過程是數學核心素養內涵的集中體現

數學核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力和情感態度價值觀的綜合體現，是學生數學素養中關鍵的、高級的素養[1].不論是具有數學基本特征的思維品質，還是具有數學基本特征的關鍵能力，或是具有數學基本特征的情感態度價值觀，都集中體現出過程的特點.

數學思維是數學對象的本質和數學對象間規律性關系在人們頭腦中的反映[2].這種反映的形成包含了對數學對象的分析、綜合、概括、抽象、猜測、演繹、歸納、類比等過程.也就是說，數學思維本質上是一種過程，是對數學對象分析綜合、概括抽象、猜測演繹、歸納類比的過程.數學思維品質指的是數學思維的個性特征，反映了個體數學思維水平的差異，具體包括思維的深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性和系統性等.學生在學習數學時，只有經歷具體的分析、綜合等過程，其思維的深刻性等才能得到充分的發展，進而提升思維的品質.

數學能力是一種個體迅速、成功地完成數學活動的穩定的個性特征[3].數學關鍵能力指的是其中最為關鍵的、重要的特征.要形成這些關鍵而重要的個性特征，需要一個漫長的過程，需要學生在各個學段的數學學習中不斷積累與發展.數學抽象能力是在概念、命題、方法、體系等的抽象過程中逐步形成的，具體來說就是從小學對數的抽象進階到初高中對函數的抽象，從小學對幾何圖形的抽象進階到初高中對幾何圖形關系等的抽象，從實物和實際問題的抽象進階到數學知識結構的抽象等.

數學情感、態度和價值觀是學生在數學學習的過程中發展和表現出來的，是學生數學素養中必不可少的組成部分，其發展和獲得也具有一定的累積性、延續性和長期性.例如，學習數學的濃厚興趣，學好數學的自信心，學習數學的積極態度，學習數學的良好習慣，對數學價值的認識等，它們的形成都不是一蹴而就的，也不是靠幾節課就能培養出來的，而是需要學生在數學學習的過程中長期積累、不斷發展，表現出鮮明的過程性特點.

可見，過程是數學核心素養內涵的集中體現，是數學核心素養的思維品質、關鍵能力和情感態度價值觀等形成的關鍵因素.

（二）強調過程是數學核心素養本質的高度概括

數學核心素養的本質是描述一個人受數學教育后應當具有的數學特質，可以高度概括為三會：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界[4].

在高中階段，數學的眼光具體表現為數學抽象和直觀想象兩個素養.它們都體現出了一定的程序性和過程性：不論是從現實問題情境中抽象出數量和數量關系、法則，還是從實際物體中抽象出幾何圖形和圖形關系;不論是借助幾何直觀感知物體形態特征和變化特征，還是利用圖形理解和解決具體的數學問題.

在高中階段，數學的思維具體表現為邏輯推理和數學運算兩個素養.它們都體現出了邏輯推理和數學運算素養形成的過程性：不論是從一般到特殊的演繹推理，還是從特殊到一般的合情推理;不論是利用運算性質和運算法則開展運算，還是利用運算算理理解運算過程，或是利用運算算法得出運算結果.

在高中階段，數學的語言具體表現為數學模型和數據分析兩個素養.它們體現出了數學模型和數據分析素養的發展歷程都離不開過程：不論是分析現實情況以發現并提出問題，還是借助數學的方法建立數學模型進行求解;不論是對數據的收集和整理，還是對數據的描述和分析.

從上述分析可以看出，強調過程既是對數學核心素養本質的高度概括，又是對數學核心素養本質的進一步闡釋.

（三）強調過程是數學核心素養特征的共同屬性

數學核心素養具有階段性、連續性、整合性和發展性的特征.這四個特征的共同屬性是強調過程.

數學核心素養的階段性體現為：數學核心素養的形成，需要經歷一個又一個螺旋發展的階段.例如，學生數學建模素養的發展，小學階段著重于模型意識的培養，初中階段著重于建模觀念的形成，高中階段著重于建模素養的養成.不同的階段，數學建模素養培育的側重點不同，具體的表現也不同，體現出不同學段對素養要求的差異性，這種差異性恰恰體現出了數學素養發展的過程性.

數學核心素養的連續性主要表現為：數學核心素養的發展是一個相互關聯，不斷延續的連貫過程.例如，學生數據分析素養的發展，是從小學階段的數據意識培養開始的，初中階段是在小學階段形成的數據意識的基礎上進一步發展數學觀念，高中階段則是在小學的數據意識和初中的數據觀念的基礎上進一步發展并建立數據分析素養.這一過程體現出了不同階段數學素養之間的關聯、連貫和延續，體現出了素養的連續性，同時也很好地詮釋了素養發展的過程性.

數學核心素養的整合性主要表現為：數學核心素養的發展，將思維的發展、能力的培養和情感態度價值觀的形成這三者有機綜合起來.思維品質的提升離不開關鍵能力的發展和情感態度價值觀的養成，關鍵能力的發展離不開思維品質的提升和情感態度價值觀的養成，情感態度價值觀的養成則離不開思維品質和關鍵能力的發展，三者相互關聯、相互促進，有機交融在一起.這種交融和綜合就是素養各要素間整合的過程.

數學核心素養的發展性主要表現為：數學核心素養是從無到有、由低到高逐漸形成和發展的.例如，學生數學運算素養的發展，就是從小學階段對數的運算，逐步發展到初中階段代數式的運算，再到高中階段集合的運算和向量的運算.在這一過程中，學生不斷拓展運算對象，提升對不同運算的認知，強化對不同運算法則和運算性質的理解，加深對不同運算的算理和算法的領悟.

（四）強調過程是數學核心素養具體表現的共同特點

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）提出發展學生的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，同時也要發展學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.“四基”和“四能”既是學生數學核心素養的基礎，又是學生數學核心素養的重要組成部分[5]，更是學生數學核心素養的外在的具體表現.

學生對基礎知識的學習是經歷一定的過程的.一方面，從知識體系而言，要經歷由簡單到復雜的知識累積和體系建構過程;另一方面，就某一特定的知識點而言，則要經歷從實際問題情境中概括出數學知識內容，再應用到實際問題中的過程.例如，在函數的學習中，學生先學習函數的概念、特征，然后學習具體的函數模型，以此建立起函數的知識體系，最后學習函數的應用，從而真正掌握與函數相關的基礎知識.同樣，基本技能的發展也具備過程性.例如，學生運算能力的發展，首先是集合運算的培養，接著是向量運算的培養，然后是矩陣運算的培養，對應的數學基本思想包括抽象、推理和模型，三者無一例外都是過程性的最好表達.又如，在代數知識的學習中，每一個概念都是從現實情境中抽象概括而來;在幾何的學習中，每一個幾何圖形都是從現實物體中通過理想化的抽象而形成;在概率統計的學習中，基本的概念和性質也都是通過對具體案例的分析、歸納而來.此外，基本活動經驗是學生在數學學習活動過程中積累起來的經驗，也是過程性的最好體現.學生通過直接或間接的方式，在數學知識的學習中，在數學問題的思考中，在數學活動的參與中，逐漸獲得經驗.

學生素養的高低，通過發現、提出、分析、解決實際問題這一過程就能清楚地表現出來.教師要深化對“四能”的要求，幫助學生更加全面地經歷問題解決的全部過程，而不是僅僅停留在分析問題、解決問題的層面，進而拓展問題解決的范疇.教師要以“四能”發展學生的問題意識，將發現問題和提出問題作為重要的內容，引導學生經歷發現和提出問題的過程，培養學生的創新意識和創新能力.可見，“四能”本質上是數學應用的過程，從發現到提出，再到分析，最后到解決，“四能”非常清晰地將數學核心素養發展的過程性體現出來.

因此，數學核心素養的具體表現充分體現了過程性，將知識的獲取、能力的發展、思想方法的掌握和經驗的積累有機結合在一起.

（五）強調過程是數學核心素養發展路徑的內在需求

數學核心素養的發展是以主題教學為重要抓手，以深度學習為主要路徑，在數學學習和應用的過程中形成的[6].

數學核心素養的發展需要以知識的學習和應用為基礎.知識的學習和應用是素養發展的基石和紐帶.在知識的學習和應用中，學生的思維品質得以提升、關鍵能力得以發展、情感態度價值觀得以養成.知識的學習和應用將三者的發展相互關聯起來，使它們形成相互促進、有機交融的整體.從這里可以看出，知識的學習和應用是數學核心素養發展過程性最明顯的體現.

數學核心素養的發展需要以主題教學為重要抓手.主題教學是發展學生素養的重要途徑，具有整體關聯性、動態發展性、團隊合作性等特征[7].其中，動態發展性非常鮮明地體現了數學素養發展的過程性.因為，只有在不斷動態化的發展和自我完善的過程中，學生的素養才能得到不斷的發展.例如，在主題教學的過程中，不同的教學階段，設定的教學目標是不同的，但是這些目標又是相互聯系的，形成了由簡單到復雜、由具體到抽象的目標體系，這也是素養過程性的重要體現.

數學核心素養的發展需要以深度學習為主要路徑.深度學習是在教師的引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心地積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[8]，具有主體積極參與性、親身體驗性和遷移應用性等特征.深度學習的主體是學生，而學生的積極參與、親身體驗和對知識的遷移應用則是過程性最好的體現.尤其是知識的遷移應用環節，學生通過知識的內在邏輯，將不同的知識點學習緊密地關聯起來，逐漸形成系統化的知識學習路徑，這既體現出知識的發展過程，也體現出素養的發展過程.

三、如何在發展學生數學核心素養中強調過程

（一）以知識的學習為線索經歷知識發生發展的過程

數學知識發生發展的過程集中體現為數學知識的緣起、數學知識的發生、數學知識的發展和數學知識的拓展這一全過程.

在高中數學教學實踐中，教師要引導學生認識知識的緣起、發生的現實背景和學科背景，體會數學知識產生的深刻現實意義和知識發展的學科價值.知識的緣起和發生的現實背景是知識發生的外在動力，主要體現為知識在實際生產生活中的應用價值;知識的緣起和發生的學科需求是知識發生的內在動力，主要體現于知識體系的進一步拓展和發展價值.實際上，知識的緣起和發生往往是內在動力和外在動力綜合作用的結果.例如，在立體幾何的學習中，點、直線、平面之間的位置關系的學習，既是日常生活中直線和直線、直線和平面、平面和平面位置關系問題討論的需要，又是將初中平面幾何拓展到高中立體幾何的需要.因此，在該部分內容的學習過程中，教師既要幫助學生從實際問題情境的抽象中體會從平面到立體的必要性，也要幫助學生在立體幾何相關問題證明的過程中體會學科價值.

在高中數學的教學實踐中，教師還要引導學生親身經歷數學知識發展及拓展的全過程.數學知識發展及拓展的過程，是體現數學知識本質和數學知識內在關聯、突出數學思想方法的重要途徑.新的數學知識的發展往往是建立在以往數學知識的基礎上的，并通過抽象、演繹、化歸等數學方法形成新的數學知識.例如，在函數內容的教學中，教師不僅要以具體案例的分析、概括和抽象，引導學生逐漸形成函數的概念、理解函數的概念形成過程，還要讓學生在初中函數知識學習的基礎上，通過對初中函數的分析、歸納和概括，形成更為一般化的概念和方法.然后，教師再以新的函數模型及性質的教學，突出函數本質和不同函數之間的內在關聯，進一步強化學生對函數概念及其性質的理解，發展學生的數學核心素養.

（二）以知識結構圖為媒介經歷數學知識體系建構的過程

數學知識體系的建構是數學學習的重要組成部分，它是學生初步建立數學觀的主要方式，也是學生體會數學學科特點和思想方法的重要途徑，還是學生數學核心素養發展的重要媒介.數學知識體系不僅包含數學基礎知識，還涉及數學思想方法和數學文化.在以往的數學教學中，不少教師往往忽視知識體系的建構，特別是忽視每一章前的目錄和每一章節后小結的內容，沒有將目錄和小結兩種典型的知識結構圖的功能充分發揮出來，導致學生在知識學習前沒有形成對知識體系的概括的認識，在知識學習后沒有建立完整的知識體系.如此，數學學習就容易陷入無盡的題海，學生就會缺乏對高中數學整體的認識，也很難全面把握高中數學的思想方法，其數學核心素養就不可能得到充分的發展.

因此，在數學教學的過程中，教師要引導學生充分經歷知識建構的過程.第一步，教師要引導學生梳理各教材中的目錄，使學生對知識體系有一個初步的概括的認識.第二步，教師要引導學生按照教材編寫順序，親身經歷從概念到概念、從概念到命題、從命題到命題系、從命題系再到知識體系的過程，體會數學知識之間緊密的聯系和嚴密的邏輯，以及數學知識由簡單到復雜、循序漸進地建構的特點.第三步，在章節內容學習結束后，教師可以根據小結中的知識結構圖，引導學生自主建構知識結構圖，幫助學生對所學的內容進行歸納和總結.整個知識結構的建立經歷“初步認識—整體建構—歸納呈現”三個完整的階段，這就使得知識結構的建構既有過程支撐，也有最終結果的呈現.教師引導學生將知識建構這種學習方式，從無意識變為有意識，從有意識變為一種習慣和方法，最終就能夠促進學生數學核心素養的發展.

（三）以數學問題為載體經歷問題解決的全過程

問題是數學的心臟，也是學生高階思維發展的重要載體.以往的數學學習往往忽視問題性，即使有具體的數學問題，大多數時候要么是單一的，要么只是注重問題的分析和解決，忽視問題的系統性以及問題的發現與提出，這就使得作為素養重要組成的“四能”的發展有所偏差.實際上，從數學的視角發現和提出問題需要使用多種方式，如對實際問題進行抽象概括、直觀想象具體情境中的物體特征、對具體情境中的數據進行分析，然后用數學的方式表達出來，就能夠提升學生“會用數學的眼光觀察世界”的素養.

在數學教學實踐中，一方面，教師要設計恰當的問題及問題串，在不斷的設問、追問、反問和自問中，引導學生不斷去思考，促使學生變被動地回答問題為主動地提出問題，將單一的提問轉化為系列性的提問，將簡單的提問上升為具有一定深度的追問、反問和自問，自覺地進行深度思考，以發展高階思維.另一方面，教師要引導學生對具體情境進行具體的、有針對性的分析，使其能從數學的視角發現問題，并用數學的方式和語言提出問題，最后利用數學的方法分析并解決問題.總而言之，教師在教學中恰當地突出問題的價值和作用，引導學生培養問題意識，發展解決數學問題的能力，孕育創新精神，提升數學核心素養.

（四）以實際問題為依托經歷數學建模的過程

數學建模是高中數學比較獨特的內容，是發展學生核心素養的重要形式之一. 完成數學建模，學生不僅需要發現和提出問題，還需要建立并求解模型，然后對模型進行檢驗，最后根據檢驗情況完善模型.在這一過程中，學生需要掌握相應的數學知識，具備較強的解決問題的綜合能力和實踐能力、較高的創新意識和一定的科學精神.

《課程標準》以及不同版本的高中數學教材中都設置了數學建模主題（活動）.在實際教學中，一方面，教師要整體規劃高中數學建模的內容，將必修和選擇性必修課程中的數學建模看作一個整體，根據學生數學建模經驗和能力發展的規律，分階段、分層次地設計建模活動及目標，突出不同課程中數學建模的側重點和價值，體現學生建模素養的發展的階段性和過程性.另一方面，教師要引導學生親身經歷完整的數學建模過程，也就是說，學生不僅要經歷完整的選題、開題、做題、結題的過程，而且要經歷每一個環節具體的展開過程，并在完整的建模過程中發展用數學語言表達現實世界的意識和能力，發展發現和提出問題的能力，增強抽象概括、數學運算、數據分析等能力，感悟數學和現實世界之間的關聯，積累豐富的數學實踐經驗，體會數學在生產生活各個領域中的價值和作用，不斷增強創新意識和科學精神.

綜上，教師應引導學生經歷知識發生發展的過程、知識體系建構的過程、問題解決的過程和數學建模的過程，幫助理解數學基礎知識、培養數學關鍵能力、發展高階思維品質、掌握數學基本思想方法、積累豐富的活動經驗.總之，學生只有經歷從“四基”到“四能”再到“三會”的素養發展的過程 [9]，才能最終實現數學核心素養的真正落地

參考文獻：

[1]褚宏啟.核心素養的概念與本質[J].華東師范大學學報（教育科學版），2016（1）：1-3.

[2][3]《數學辭海》編輯委員會.數學辭海：第六卷[M].北京：中國科學技術出版社，2002：572，560.

[4]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關于高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[5]呂世虎，吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建[J].課程·教材·教法，2017（9）：12-17.

[6]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11）：25-32.

[7]呂世虎，楊婷，吳振英.數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟[J].當代教育與文化，2016（4）：41-46.

[8]路江江，王亞妮.高中數學教育中如何培養學生的數學核心素養——王尚志教授訪談錄[J].數學教育學報，2021（2）：67-70.

[9]黃翔，童莉，李明振，等.從“四基”“四能”到“三會”——一條培養學生數學核心素養的主線[J].數學教育學報，2019（5）：37-40.