多元表征：讓數學“看得見”

【摘要】本文基于多元表征教學理念，從圖像表征讓算理可見、圖形表征讓知識結構可見、身體表征讓度量概念可量可感、言語表征讓數學思考聽得見、多元表征讓數學看得見等多個維度論述降低小學生數學學習難度的實踐策略。

【關鍵詞】多元表征 小學數學 可感可見

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）10-0091-03

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學是研究數量關系和空間形式的科學。為了便于小學生正確理解抽象的數形概念及關系，小學數學教師需要采用多元表征的方式，讓抽象的數學于小學生而言可感可見，幫助小學生降低學習數學的難度，培養學習數學的興趣，發展學習數學的綜合能力。

所謂多元表征，通俗地說就是把同一種數學知識（概念、規律等）通過不同的形式表現出來。“表征”，現代漢語詞典解釋為“顯示出來的現象”“表現出來的特征”。也就是說，表征是一種信息記載或表達的方式，是能把某些實體或某類信息表達清楚的形式化系統以及說明該系統如何行使其職能的若干規則。美國著名數學教育心理學家萊什認為，數學學習中存在圖形圖表、言語、實物情境、書寫符號、教具模型五種表征類型，其中：實物情境指的是解釋學習內容或問題情境的實際物品，教具模型指的是顯示學習對象的內在關系的具體物，圖形圖表指的是將數學關系予以具體、形象化表示或推理的圖形或圖表，言語指的是日常口語和數學的特殊語言、數學專有名詞，書寫符號指的是一般的書面符號和數學的特殊符號（數字符號、運算符號與關系符號等）。例如，對于“[13]所代表的意義”這種思維層面的學習內容：直呼“三分之一”的音便是言語表征;先把一個規則的圖形平均分成3份，涂色表示其中的1份便是圖形表征;在實際生活中把3個蘋果平均分成3份，告訴別人其中的一份就是“[13]”，這是實物情境表征。其實，關于多元表征的類型劃分，在數學界歷來仁者見仁智者見智。下面，筆者將結合自身的小學數學教學實踐，談談多元表征于數學教學的意義。

一、圖像表征——讓算理可見

算理是計算過程中的道理，回答思維層面“為什么這樣算”的問題;算法是人為規定的計算方法，為數學計算提供快捷的操作方法。算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括。算法教學時常需要以算理教學為基礎。筆者以為，在小學數學教學中，基于小學生的年齡特點和形象思維特征，遵循兒童認知規律，教師可以借助實物、圖表或圖像表征的方式以及操作、觀察等數學實驗活動的方法，讓學生形象感知數學知識產生的過程，從中理解算理、掌握算法，進而達到讓學生既知其然又知其所以然的目的。

例如，蘇教版數學一年級下冊第一單元“20以內的退位減法”第一節，教材創設了一個小猴買東西的實物情境：盒子里有10個桃子，外面有3個，小猴要買9個，問還剩多少個。很明顯，這是一個“十幾減幾”的計算問題。怎么減呢？教材中沒有陳述“破十法”或“平十法”的計算方法，而是直接呈現了如圖1所示的三種圖像表征，暗含了三種不同的計算方法?！胺椒ㄒ弧钡膱D像中：盒子外有3個，又取出了6個，盒子內還有4個，此圖像可以看作“平十法”的算理表征，相當于將減數9分成3和6，先去掉盒子外的3個，就是13-3=10（個），此所謂“平十”;再從盒子里的10個中去掉6個，于是得出結果10-6=4（個）。方法二的圖像中：直接從盒子里的10個中拿去了9個，于是10-9=1（個），完成了交易，此所謂“破十”;再將盒子里剩下的1個與盒子外的3個合在一起，便是最終剩下的桃子數，即1+3=4（個）。方法三的圖像中：把退位減法直接變成進位加法，體現了“減法是加法的逆運算”的算理。教學實踐中，教師如果直接告訴一年級的小學生什么是“破十法”和“平十法”，再讓學生去運用這些方法解決問題，因算法過于抽象，很容易“破壞”小學生的學習興趣，導致小學生的學習困難;運用教材中的圖像表征形式展開教學，學生選擇算法、積極參與學習活動的熱情高漲。在本課中，大多數學生更樂于選擇方法二“破十法”，少數學生選擇了方法一“平十法”，選擇方法三的學生少之又少。

以上退位減法的算法學習，借助數學知識的圖像表征方式，既能讓學生形象地感知到方法形成的動態過程，又能讓學生經歷“不僅知其然而且知其所以然”的算理闡釋過程，很好地培養了學生的數學思維。

二、圖形表征——讓知識結構可見

復習課承載著知識的回顧與整理、實現學生知識建構與生長的獨特功能。怎樣讓學生在“溫顧”中“知新”，突破“一問一答再鞏固”的復習課模式？筆者嘗試帶領學生用思維導圖等圖形表征方式整理和溝通相關知識，取得了較好的實踐效果。長此以往，學生到高年級以后，便可以自主運用教師教給的圖形表征方法，整理跨單元、跨年級的數學知識了。

例如，學生在學完正方形、長方形、平行四邊形、梯形、三角形、圓形等平面圖形的面積計算公式及推導過程之后，在教師指導下，自主整理相關知識、溝通其間關系，構建了如圖2所示的圖形表征。

學生掌握了方法，還可以如圖3所示自如地應用圖形表征方式，整理長度單位、面積單位、體積單位等知識。在圖3的圖形表征中，學生能用文字和符號表示各個單位，并溝通了單位間的內在聯系——表達出了相鄰單位間的進率，還補上了與面積單位公頃相對應的長度單位“百米”，知識整理的水平達到了自然生成的境地。

三、身體表征——讓度量概念可量可感

身體表征是基于自己的理解和想象，用身體或肢體的姿勢或動作來呈現內在思維的一種表征方式。度量指的是運用一個帶單位的數值刻畫某種物體某類屬性，賦予這個數值特殊意義的行為，比如度量物體的長度、面積、體積、質量、時間等。度量是人類創造出來的一種數學語言，是人認識、理解和表達現實世界某一類特征的工具。正如龐加萊所說：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間?！毙W數學圖形與幾何領域中的度量教學分散在計量單位的認識與換算、平面圖形的周長與面積、立體圖形的表面積與體積、不規則圖形的面積和體積當中。為了培養學生的幾何直觀學科素養，教師在實施度量教學時，可引導學生借助身體表征的方式去認識、理解和表達現實世界。

例如，在學習長度單位時，借助“身體尺”（如圖4），學生可以形象具體地把握外在的世界。這樣的“身體尺”還有很多，比如：1厘米約等于大拇指指甲的寬;1分米約等于大拇指和食指張開的距離;1米約等于二年級班上個子較矮的小朋友兩手張開的距離，也稱為一庹;1平方厘米約等于大拇指的指甲蓋的面積;1平方分米約等于兩只手的大拇指和食指張開所組成的圖形的面積;1平方米約等于同桌兩人伸出雙臂圍成較大的圖形的面積以及兩個小朋友雙腳張開面對面坐在地上所圍成的圖形的面積……

“我聽見了就忘記了，我看見了便記住了，我做過了就理解了?！睂W生用“身體尺”表達自己對常見的長度、面積單位的理解與記憶，可以讓度量概念可量可感。

四、言語表征——讓數學思考聽得見

愛因斯坦說過：“一個人的智力發展和形成概念的方法在很大程度上是取決于語言的?！焙诵乃仞B導向下的數學課堂教學，教師應有意識地引導學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界。

例如，教師執教蘇教版數學二年級上冊第五單元“厘米和米的認識”一課，在教材所呈現的一個測量線段長度的圖示中，學生給出了兩個答案，一個說是11厘米，一個說是8厘米，教師沒有直接評判二者的對錯，而是與學生展開了下面的課堂對話。

師：現在我們有兩種意見，到底誰說得對呢？請你說出理由。

生1：我覺得是11厘米，因為終點是11厘米。

生2：我不同意！這條線段的起點是3厘米，從3厘米到4厘米是1厘米，從4厘米到5厘米是1厘米，這樣數下去，一共有8個1厘米，就是8厘米。

師：現在你們覺得誰的說法是正確的？

生3：第二個的說法是正確的。因為測量線段的長度，不能光看終點，還要看它的起點是不是在“0”處。如果是從“0”開始的，終點是幾就是幾厘米;如果起點不在“0”處，可以像剛才那位同樣那樣一段一段地數，還可以直接用終點的數字減去開始的數字。

學生對知識的理解可以用多種方式表征，但言語表征在形成概念的方法中不可或缺。言語表征，可以讓學生的數學思考“聽得見”。

五、多元表征——讓數學“看得見”

實際教學中，教師常常要用到多元表征。運用多元表征推進課堂教學，要特別注意溝通不同表征形式之間的內在聯系，讓學生可以從不同角度理解和表征數學知識的本質。

例如，執教蘇教版五年級下冊認識偶數的教學內容：可以用文字的方式表征——“能夠被2整除的整數”;可以用圖形表征——把實物圖像兩個兩個地圈起來;可以用符號表征——寫作“2a，a是大于零的整數”;還可以用數據表征——2、4、6、8、10……多種方式表征，可以幫助學生建構偶數的豐富表象，溝通其內在聯系——“2的倍數”，揭示概念的本質。

如果說數學理解是內化和建構的過程，那么數學表達就是外化和應用的過程。數學的多元表征，既要注重數學知識的內化，構建內在表征的“關系網”，又要注重數學能力的外化，在發展學生思維能力和數學語言表達能力的同時，進一步發展學生的問題解決能力。

例如，執教六年級上冊“解決問題的策略”例1（如圖5），教師放手讓學生自由表達看法，學生悄然使用了假設法，呈現了多種解決問題的方式：有的用實物演示，直觀形象;有的用圖形表征，或者把圖形變成線段表征;有的遷移比的思想并列式;有的類比方程的思想并列式;有的同化分數的思想并列式。

在實物、圖形、線段三種表征中，可以發現學生共同的思維軌跡：將一個小杯的容量看作單位“1”，大杯容量就是“3”，假如把1個大杯換成3個小杯，這樣720毫升的果汁就倒滿了9個小杯，用720÷9便可以算出小杯的容量，再由小杯的容量算出大杯的容量。在比的思想的算式表征中，學生把“小杯容量是大杯的[13]”轉化為比的思想，即“大杯與小杯容量之比是3∶1”，假如把1個大杯換成3個小杯，這樣720毫升的果汁就倒滿了9個小杯，用720÷9可以算出小杯的容量，再由小杯的容量可算出大杯的容量。在方程思想的算式表征中，學生把小杯的容量設為x毫升，則大杯的容量就是3x毫升，列方程為6x+3x=720，于是問題解決。同樣的題目，學生解決問題的策略是一致的，但方式方法各不相同，展現了他們多元的知識表征方式和思維風格。

多元表征，讓算理、建構、度量、思維可感可見，可有效培育和發展學生的數學學科核心素養。

參考文獻

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作者簡介：倪若琳（1995— ），江蘇蘇州人，小學二級教師，研究方向為小學數學教學。

（責編 白聰敏）