注重數學思想 提升核心素養

鄔吉利

［摘? 要］ 分類思想是解決數學問題的一種重要思想方法. 分類思想的基本思路是教師提出問題，學生思考，并在考慮多種情況發生的情況下，感悟分類討論的意義. 在中考復習中，教師要注重學生數學思想方法的滲透，培養學生解決問題的能力. 分類討論思想的關鍵是理清分類的原因以及分類的依據.

［關鍵詞］ 數學思想；核心素養；分類討論

所謂分類討論，就是在解決數學問題時，給出的對象不能統一研究，此時需要師生依據數學對象本質屬性的異同點，將對象分為不同類別，然后逐一研究，得到整個問題的解決方法，這樣的思想方法稱為“分類討論思想”.

分類討論思想是解決數學問題的一種常用方法. 解決數學問題，需要學生具有一定的分析問題的能力. 運用分類討論思想解題時，要求分類不重復、不遺漏、標準統一、分類逐級進行. 在平時的教學中，教師應對學生進行分類討論思想指導，培養學生解決問題的能力，提升學生的核心素養. 下面以“中考專題復習課之分類討論思想”為例，詳細探討分類討論思想在數學教學中的應用，探討分類產生的原因、分類的依據，以供參考.

基本情況分析

1. 教材分析

分類討論，是在解決問題時，對出現的多種情況和可能性進行研究的一種常見數學思想方法. 分類討論思想在代數、幾何、概率與統計中都會用到，在中考壓軸題中出現得尤其多. 分類的原則是：分類中的每一部分都是獨立的；一次分類按一個標準；分類討論應逐級進行.

2. 學情分析

學生解決問題時，假如缺乏分析問題的能力，對問題的思考僅停留在表層，對問題的剖析不深入，就很難形成解決問題的思想和方法. 假如學生在解題時已經獲得了解題經驗，但沒有形成系統的框架，那么中考復習時就要把一系列的數學問題串聯起來，形成知識體系和框架結構，從而培養學生解決問題的能力，發展學生的數學思維能力.

3. 教學目標

（1）理解和掌握分類討論的依據、分類討論的原則.

（2）培養學生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學生學會從整體考慮問題，增強“用數學”的意識.

4. 教學重點、難點

教學重點：讓學生認識到分類討論是數學中常用的思想，并對題目中出現的不確定因素進行分類討論.

教學難點：分類過程中要做到標準統一，分類不遺漏也不重復.

教學過程

1. 基本練習

問題1：在數軸上，點A表示的數是-1，則到點A的距離為2的點表示的數是（? ?）

A. 1B. 3 C. ±2D. 1或-3

分類理由因點的位置不確定，所以需要分類討論.

問題2：已知一組數據-1，0，2，4，x的極差為7，則x的值是（? ?）

A. 6B. 11C. 6或-3D. 11或-3

分類理由因不確定數據中的最大值和最小值，所以需要分類討論.

問題3：若函數y=mx2-4x+4的圖像與x軸只有一個公共點，則m的值為（? ?）

A. 1B. 1或0 C. 4D. -1

分類理由因不確定函數的類型，所以需要分類討論.

問題4：如果等腰三角形的一個內角為50°，那么它的一個底角為（? ?）

A. 80° B. 65° C. 50°或65°D. 40°

分類理由因不確定等腰三角形的頂角與底角，所以需要分類討論.

設計意圖上述4道題能讓學生認識到分類討論在代數、幾何方面的應用，并能體會到分類討論是一種重要的思想. 分類討論的關鍵是弄清楚分類的原因，明確分類討論的對象和標準，根據可能出現的各種情況，做到既不重復，又不遺漏.

2. 典例導悟

引例：如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點Q在AB上，且QB=2，點P從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動. 設點P運動的時間為t s，則當t為何值時，△BPQ是等腰三角形？

設計意圖這是一道單點運動后形成等腰三角形的分類試題（例題）. 由于等腰三角形的腰和底不確定，所以要進行分類討論. 教師可書寫板書，為學生做示范，讓學生明確如何分類、分類的標準，示范后讓學生做變式練習.

師：△BPQ是等腰三角形，你能明確誰是等腰三角形的底，誰是等腰三角形的腰嗎？

生1：不能，所以要分情況討論.

師：那怎么分類呢？（此時滲透了分類討論思想）

（結合教師啟發式的語言，小組合作討論、交流）

生2：對等腰三角形的頂角進行分類. 若∠B是頂角，則BQ和BP為腰，PQ為底，以此類推.

……

教師教學完畢，要讓學生總結分類的方法，并明確分類要有標準，且要做到不重不漏，接下來就讓學生做變式練習.

變式1如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， BC=4，點P從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向B運動，同時點Q從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動. 設點P運動的時間為t s，則當t為何值時，△PBQ為直角三角形？

師：知道了等腰三角形的分類方式，那將等腰三角形變為直角三角形，又該怎么解決呢？

（此時滲透了類比思想）

生3：按照直角頂點來分類.

師：請在圖3中畫出Rt△PBQ.

變式2如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點P在BC上，點Q在AB上，要使△BPQ既是直角三角形，又是等腰三角形，則AQ=______.

設計意圖“變式2”的圖形與“引例”的圖形一樣，不過動點由一個變成了兩個，構成的三角形也由等腰三角形變成了等腰直角三角形. 題目要求△BPQ既是直角三角形，又是等腰三角形，學生可能不會分類，此時教師可以引導學生先確定直角三角形BPQ的直角頂點（有兩種情況），再考慮△BPQ是等腰三角形的情況.

師：通過“引例”和“變式1”，我們明確了等腰三角形和直角三角形的分類方式，“變式2”卻要求三角形既是等腰三角形又是直角三角形，此時該怎么辦呢？

（學生集體陷入思考狀態）

師：（啟發）對比等腰三角形和直角三角形的分類方式，哪種分類方式相對容易？

生4：直角三角形的分類方式比較簡單，而且圖形容易畫出來.

師：（啟發）同學們的觀察能力很強. 題目同時出現了“等腰”和“直角”，下面我們不妨先從“直角”的角度來分一下類.

（學生受啟發后集體思考）

從“引例”到“變式1”“變式2”，試題越來越難. 教師通過啟發式提問，不僅拓寬了學生的思路，而且鞏固了學生的知識，促進了學生多角度地探究問題、思考問題和解決問題，培養了學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，提升了學生的核心素養，使他們敢于去想、去做、去嘗試.

掌握分類方法，領會分類實質，對學生深刻理解基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力來說都非常重要. 學生只要明晰分類的根本原因，知道分類的標準，并善于挖掘基本圖形，就能解決分類討論試題.

運用分類思想解決數學問題的幾點思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗. ”數學教學就是要培養學生發現、提出、分析、解決問題的能力. 在分析問題的過程中，教師要重視數學思想方法的滲透. 一個問題往往是多種思想方法的結合，所以在教學中教師要培養學生多角度思考問題的能力，從而提高學生解決數學問題的能力.

1. 以問題為引領，探討分類意義

數學思想和方法伴隨著問題的解決而產生，所以通過解決問題能歸納、總結出數學思想和方法. 解決數學問題時，會出現不確定因素，所以分類討論思想應運而生. 因此，解決問題時，教師要讓學生明晰分類討論的原因. 如“基本練習”中的“問題1”，分類的原因是點的位置不確定，可能在點A左邊，也可能在點A右邊；“問題2”是極差問題，又因為極差=最大值-最小值，所給的數據有未知數，產生了不確定因素，所以要分類（未知數可能是最大值，也可能是最小值）.

分類討論思想以問題為引領，對問題中的不確定因素進行分類討論. 要培養學生的分類討論意識，教師就要在平時的教學中注重學生邏輯思維的培養，讓他們理清題中的因果關系，在問題的設計上要由淺入深，通過實例使他們逐步感知分類討論產生的原因與意義.

2. 開展變式教學，促進深度學習

變式是指改變問題的條件或者結論，層層遞進，訓練學生的思維，培養學生解決問題的能力. 所以教師在選擇問題時，要選擇能一題多變的“題根”. 教學時，教師可以運用一題多變的方式來培養學生思維的靈活性，并且鼓勵學生從不同的角度去思考問題，避免思維固化，進而培養學生思維的發散性.

如“引例”是單動點問題，分類討論等腰三角形，這個“題根”比較簡單，“變式1”和“變式2”則改變條件，變單動點問題為雙動點問題，促進學生深度思考. 試題雖然變了，但思維方式沒有改變，所以問題依然能解決. 從“變式1”到“變式2”，依然是雙動點問題，但由討論直角三角形變成了討論等腰直角三角形，難度加深，學生思維的火花不斷碰撞，思維得到不斷的訓練，分析問題的能力也不斷提高.

3. 加強能力培養，提升核心素養

數學八大核心素養包括數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想. 在解決問題的過程中，教師要提高學生體會與感悟題中所蘊含的數學思想和方法的能力. 能力的培養是多角度的，有數學運算能力、邏輯推理能力等，數學運算能力是解決問題的基礎，貫穿解題過程始終，邏輯推理能力是分析問題的靈魂，能推進問題思考的方向，所以，為了提高學生解決問題的能力，教師要加強學生數學能力的培養，提升學生的數學核心素養.

數學能力是在數學活動中形成的，是在數學知識技能的基礎上不斷發展起來的. 缺乏能力的培養，就無法提高解題能力：缺乏數學運算能力，就無法得到正確的結果；缺乏邏輯推理能力，就無法進行幾何證明，無法分析問題……所以數學教學要加強學生能力的培養，要注重培養學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等，從而提升數學核心素養.

結語

分類討論思想在歷年的中考數學試題中都有廣泛的應用，它有利于培養學生思維的條理性、縝密性和靈活性，能讓學生從整體的角度思考問題. 學生只有掌握了分類討論思想方法，才能在解題中不漏解，也不出現重復的解，所以對于初三的學生來說，學會分類討論思想尤其重要. 教學分類討論思想時，教師要圍繞分類的依據和分類的原則來展開，如什么樣的題目才需要分類，又該如何分類，從而培養學生思維的縝密性，提升學生的核心素養.