指向數學核心素養的深度思維教學淺析

陳玉寶

［摘? 要］ 數學課堂教學以培養學生適應社會的必備品格和關鍵能力為根本追求，以落實學科核心素養為根本目標. 在教學中，教師要引導學生建構知識體系，以變式練習、典型試題拓展、問題意識培養、提煉總結等方式提升學生的思維品質，激發學生的深度思維，讓學生感受數學思想，使核心素養落地生根.

［關鍵詞］ 核心素養；深度思維；教學

數學核心素養的本質是能夠運用數學思想解決問題的能力和品質，提升核心素養建立在學生對數學思想的理解基礎上. 因此，在教學中教師要引導學生積極地參與學習活動，深入分析、思考，激發深度思維，從而掌握數學思想和方法，提升數學核心素養.

何謂深度思維與核心素養

深度思維是指高水平的思維活動，表現為深度探尋數學規律，領悟數學思想的高水平認知活動，與淺層次和低水平的思維相對. 深度思維的開展有助于學生獲得新知識與新技能. 在布魯姆的認知分類中，機械的記憶、簡單的理解和低效的應用屬于低階思維活動，而對問題進行分析、評價和創造的活動稱為高階思維活動（布魯姆教育目標分類表——認知維度如表1所示）.

數學核心素養是以數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等為核心的數學品質和能力，是個人適應社會發展所必備的數學素養. 數學核心素養的本質可以概括為三個核心要素，即抽象能力、推理能力和建構模型的能力. 在數學學習過程中，發展這三種能力是提升學生數學核心素養的關鍵. 學習數學知識時，學生一般先從自我生活經驗出發形成感性認識，進而從具體的現象中抽象出數學知識，轉化為理性認識. 從感性認識到理性認識的過程是學生思維不斷深入、進而提升的過程. 經歷了知識的模仿、理解之后，還需要進一步建構數學模型進行實際運用，讓學生在深入思考的過程中會積累活動經驗，領悟數學思想，并通過深度思維活動將數學思想、數學知識與數學技能轉化為個人數學素養.

激發深度思維的教學策略

深度思維活動的展開建立在教學活動中，要求學生能夠從多個角度參與問題的分析和討論，感受知識發生和發展的過程，并在教師的引導下探索數學規律，建構知識體系，掌握數學思想和數學方法.

1. 立足整體思維，建構知識體系

數學知識前后關聯，具有內在邏輯聯系，因此在數學教學中，教師應建構整體思維，注重部分與整體的關系，完善內在結構，形成知識體系，并引導學生形成整體性的眼光，從而在解決問題時靈活運用思維，從不同的角度和層次分析與思考，提升思維能力.

案例1“同底數冪的乘法”導入.

（1）我們已經學習了哪些數的運算？你還記得我們在學習時采用了哪些方法嗎？

（2）我們學過哪些整式運算？類比數的運算，你能想到我們還會學習整式的哪些運算嗎？

（3）探究：請從下面4個整式中任選兩個構造乘法運算. 你寫出了哪些算式？你能把你所寫的算式分類嗎？你認為整式的乘法可以分成哪幾種類型？

a2，a3，a3+ab，a+ab.

（4）在單項式與單項式的乘法中，最基本的運算有哪些？

根據學生的回答，教師進行總結并板書：單項式乘法中最基本的運算是am·an，（am）n，（ab）n，這就是今天我們要學習的同底數冪的乘法.

設計意圖本例的導入中，教師先從整體性的角度出發，引導學生回顧整式的運算，使學生感受代數的學習方式，再運用類比方法對整式運算進行整體的結構分類，接著以具體的列式活動使學生感受同底數冪學習的意義和價值. 這樣的導入方式使學生在學習新知前已經經歷了一場深刻的思維活動，體會到了發現問題和分析問題的過程，并在潛移默化中滲透了數學研究方法，為新知的學習奠定了思維基礎.

2. 開展問題變式拓展，激發學生深入思考

教材中的例題以及課后習題都是教材編寫者精心挑選出的與本課或者本單元知識點相關的典型問題，但是這些典型問題一般僅僅與課時內容相關，指向性較為單一，對學生思維的訓練力度不夠. 因此，在教學中教師可以針對典型試題進行變式和拓展，引導學生從不同的角度和多種層次去認識和理解知識，從而更加全面地檢驗知識的掌握情況，提升學生的自主學習能力和探究能力，發展學生思維的靈活性.

案例2教材例題（七年級下冊蘇科版）：如圖1所示，在△ABC中，∠A，∠1和∠2的度數分別是62°，20°和35°，∠BDC的度數是多少？

變式1在△ABC中，∠A=62°，∠ABC的平分線和∠ACB的平分線相交于點D，∠BDC的度數是多少？

變式2在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分線和∠ACB的平分線相交于點D，請用含n的代數式表示∠BDC的度數.

變式3在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，請用含n的代數式表示∠BDC的度數.

變式4在△ABC中，∠A=n°，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點D，請用含n的代數式表示∠BDC的度數.

設計意圖典型試題的變式訓練是通過題目條件的改變或者結論的改變把對知識的考查變得更加深刻. 在變式中，教師也可以將問題從特殊形式變為一般形式，增強問題的挑戰性. 只有通過深度思考和探究，學生才能獲得解題思路. 變式訓練需建立在學生已經掌握了一般解題方法的基礎上，教師要引導學生通過多角度和多方面的思考，更加靈活地運用知識解決問題，從中體悟數學思想和方法，增強學習獲得感，激發學習熱情.

3. 加強一題多解訓練，促進學生思維生長

數學試題的求解思路是靈活多樣的，局限于一種思路會造成學生思維定式，導致學生的知識具有局限性. 因此，在教學中，教師要開展一題多解訓練，發展學生思維的靈活性，進一步完善學生的知識結構，開闊學生的視野，發展學生的創造力，提升學生的智力水平.

案例3如圖2所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標是（6，8），連接AC. x軸上存在點D，使得△ACD是等腰三角形，請求出點D的坐標.

這道題需分三種情況討論：當CD=CA時，點D的坐標為（-6，0）；當AD=CA時，點D的坐標為（-4，0）或（16，0）；當AD=CD時，可以通過下面三種思路來求解.

第一種思路：先求出直線AC的解析式，利用兩條直線相互垂直的代數意義，求得線段AC垂直平分線的解析式，接著得到它與x軸的交點，即點D的坐標.

第二種思路：設DO=x，由勾股定理得到DC2=DO2+CO2=DA2，接下來可以通過列方程來求解.

第三種思路：如圖2所示，過點D作DE⊥AC，垂足為E，根據△DEA與△COA相似，通過列比例式計算DA的長度，從而確定點D的坐標.

設計意圖一題多解訓練能使學生經歷思考、討論、交流等過程，發展創新思維能力，能讓學生從多種解題思路中探尋最佳的解題方法和獨特的解題思路，有助于學生深刻地理解問題的本質，發展思維的靈活性. 進行一題多解訓練時，需要激發學生的創新意識，所以教師要創設平等交流的氛圍，鼓勵學生積極地進行交流和討論，并對學生的想法進行及時的反饋，從而激發學生的探究欲望，增強學生的學習信心，并在一題多解的思維訓練下，不斷提升學生的核心素養.

4. 培養發現問題的能力，發展創新意識

發現問題和提出問題體現了思維發散和想象的能力，培養學生善于發現問題的意識，有利于提升學生的創造能力. 問題是知識的起源，是激發學生探究的起點，學生只有學會發現問題，才能思考解決問題的方法，才能刺激自己的思維不斷生長. 在課堂教學中培養學生發現問題的意識，可以在教學前的預習中，也可以在教學過程中，還可以在課堂的習題反饋中. 不管在哪個環節，教師都應精心設置好問題，通過好問題來發展學生的數學思維，培養學生的問題意識.

案例4含30°角的直角三角形的性質.

師：如圖3所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，AB=8，求△ABC的面積.

生1：老師剛剛講了要把30°角和直角進行“雙劍合璧”，這個三角形已經滿足了一個條件，于是可以過點B作BD⊥AC，垂足為D. 根據我們剛剛學習的定理，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可以得到BD的長度為AB的一半，所以BD=4. 所以△ABC的面積為16.

師：很好. 假如我們把原題中的30°角變成150°，那么結果發生了什么變化？請畫圖求解.

生2：由150°角我聯想到了它的鄰補角為30°，于是同樣地過點B作AC的垂線交CA的延長線于點D（如圖4所示）. 在直角三角形ABD中，∠BAD為30°，根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可以得到DB的長為AB的一半，即BD的長為4，因此三角形ABC的面積為16.

生3：現在我有一個疑問，如果兩個等腰三角形的腰長相等，并且頂角互補，那么這兩個三角形的面積一定相等嗎？

生3根據剛才兩位學生的解答提出了這樣的問題，雖然這不是這節課的重點，但是反映了學生在積極思考. 而且這個問題具有探討價值，因此教師應該對這一內容進行即時的反饋和研究.

師：這個問題問得非常好，我們不妨將它作為我們班的數學猜想. 這個問題甚至可以一般化，不要求是等腰三角形. 如圖5所示，已知兩個三角形兩條邊的長均為a和b，假設這兩個三角形中這兩條邊的夾角互補，那么這兩個三角形的面積一定相等. 那如何證明這個猜想呢？

生4：我通過實驗的方法進行證明. 這兩個三角形中長為a，b的邊夾角互補，這說明這兩個夾角的和為180°，于是我把它們拼在一起，根據三角形的中線等分面積，可以知道這兩個三角形的面積一定相等.

師：這個方法非常巧妙，利用互補條件，通過“180°”這個題眼證明了兩個三角形的面積相等. 那還有其他證明方法嗎？

生5：剛才生4利用“180°”角拼成了一條直線，我想到可以利用同旁內角互補的方法來解決. 如圖6所示，因為∠BCD和∠CBA互補，因此AB與CD平行，于是可以證明△ABO和△CDO全等，由此△ABO的面積與△CDO的面積相等. 它們的面積分別加上△BOC的面積，就可以得到△ABC的面積和△BCD的面積相等了.

生6：我還有其他方法……

學生自己發現的問題激發了他們的探究熱情，他們在討論中提出了許多獨特的創意和想法.

設計意圖本例在習題講解過程中探討了學生提出的新問題，激發了學生學習的積極性，使學生真正成為課堂活動的參與者，有效地鍛煉了學生的思維.

愛因斯坦強調提出問題比解決問題更加重要，在發現問題的過程中思維能夠不斷地深入，從而激發出新的火花. 因此，在課堂教學中教師要精心設計問題，為學生學會發現問題做好示范，提供有效的指導，引導學生體會教師研究數學問題的方法，為培養學生具備獨立的思考精神奠定基礎. 教師還要指導學生找準提出問題的時機和方法，在新、舊知識的聯結處，在學習出現困惑時，在研究由特殊問題向一般問題轉化時，及時引導學生發現問題，提升學生發現問題的能力. 同時，教師還要創設平等和諧的課堂氛圍，鼓勵學生勇敢質疑，使學生在相互溝通中開闊視野，增長知識.

5. 關注課堂小結，提升思維品質

課堂小結是對一節課的總結和提煉，是教學過程中不可缺少的重要一環，也是幫助學生對本課知識進行梳理和總結的手段. 有效的課堂小結不僅具有實用性，還具有藝術性，是對課堂教學成果的鞏固和提升，也是對學生知識體系的進一步完善，有助于學生掌握數學思想和方法，能提升學生對數學的認識.

案例5圖形與變換——平移、旋轉、翻折.

本課涉及的圖形變換和運動知識較為零散，需要學生具備一定的空間想象能力，建構起知識體系，才能在具體的運用中游刃有余. 因此，筆者在一節公開課中采用了如圖7所示的框架總結方式.

設計意圖本課的課堂小結采用了框架結構的形式，將具體的知識點、解題模型與解題方法聯系在一起，使學生對圖形變換形成了較為系統的知識結構，提升了學生對數學知識本質的感悟，為學生后續解決問題提供了明確的思路，使課堂教學思想得到了升華.

綜上所述，在數學課堂教學中，學生只要真正參與學習活動，積極思考、分析和探究，就能發展深度思維，提升解決問題的能力. 在發展學生深度思維的基礎上，教師還要強化學生對數學思想和數學本質的理解，從而有效地落實數學核心素養.