利用數(shù)學(xué)史促進(jìn)教師教學(xué)的深度思考

崔婉婷 李江英 李少靈

摘? 要：數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化、感受數(shù)學(xué)思想方法的重要載體之一。教師在研讀教材時(shí)要思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)，恰當(dāng)融入數(shù)學(xué)史，培養(yǎng)學(xué)生的良好品格，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)深度

從遠(yuǎn)古時(shí)期至今，數(shù)學(xué)一直伴隨著人們的生活。小小的數(shù)學(xué)知識(shí)背后有著歷史大背景。教師在研讀教材時(shí)要對(duì)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的深度和廣度進(jìn)行思考，在教學(xué)設(shè)計(jì)中關(guān)注知識(shí)的來龍去脈，在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)帶給學(xué)生更多的啟迪。

一、研讀小知識(shí)，挖掘大背景

數(shù)學(xué)史源遠(yuǎn)流長，但是數(shù)學(xué)史料并不一定會(huì)直觀展示在教材中，而是有賴于教師利用多種途徑去挖掘。教師深度挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后豐富的數(shù)學(xué)史，是恰當(dāng)融入數(shù)學(xué)史的前提，也是突破教學(xué)難點(diǎn)的有效途徑。在數(shù)學(xué)課堂上讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，有利于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

1. 利用顯性知識(shí)挖掘歷史背景

教師要善于從顯性數(shù)學(xué)知識(shí)中挖掘隱性的數(shù)學(xué)歷史背景。例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）一年級(jí)上冊(cè)“0的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教材中通過呈現(xiàn)了“猴子吃桃”的情境圖引出對(duì)“0”的認(rèn)識(shí)，并借助直尺上的“0”引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“0”還可以表示起點(diǎn)。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)“0”的學(xué)習(xí)顯得很迷茫。為了解答學(xué)生的疑惑，教師查閱零的發(fā)展史：1881年夏天，在古代印度西北部距離白沙瓦市約80公里的巴克沙利村莊里，一個(gè)佃戶在挖地時(shí)發(fā)現(xiàn)了書寫在樺樹皮上的手稿，上面記載了公元元年前后數(shù)個(gè)世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的零用實(shí)心的點(diǎn)表示，后來逐漸演變成圓圈，圓圈表示的零最晚于9世紀(jì)就已在印度出現(xiàn)。它既表示“無”的概念，又表示位值制計(jì)數(shù)法中的空位。中國數(shù)字發(fā)展中，空位先用“□”表示，慢慢就用“○”取代了“□”，由此“0”產(chǎn)生了。

“0”的認(rèn)識(shí)是比較抽象的，教師難以提供直觀、具體的數(shù)量與之建立聯(lián)系，而利用數(shù)學(xué)史能夠激發(fā)學(xué)生深入思考，可以采用多種形式把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)。例如，可以通過講故事深入淺出地嵌入式穿插教學(xué)，也可以將情境展示融入課堂教學(xué)，復(fù)原古代零的發(fā)展史，從而讓學(xué)生體驗(yàn)和感知“0”的意義，再結(jié)合實(shí)際生活情境理解“0”，激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)家類似的知識(shí)形成過程，掃清學(xué)習(xí)障礙。這樣在遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，拓寬視野，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入思考與理解。

通過引入我國古代零的發(fā)展史，讓學(xué)生了解遠(yuǎn)古代人們的智慧和國家的強(qiáng)大，能夠激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，繼續(xù)深入探尋、開發(fā)和利用數(shù)學(xué)史資源。

2. 由“點(diǎn)”挖掘出“面”

教師要善于從教材給出的數(shù)學(xué)史中的一個(gè)“點(diǎn)”挖掘出整個(gè)“面”。例如，在教學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”中“梯形的面積”時(shí)，教材第94頁提供的數(shù)學(xué)史料是：我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用“出入相補(bǔ)”原理計(jì)算平面圖形的面積。“出入相補(bǔ)”原理是指把一個(gè)圖形分割、移補(bǔ)，而面積保持不變。教材展示的是利用這個(gè)原理可以推導(dǎo)出梯形的面積公式。用這樣鮮活的數(shù)學(xué)史引入，可以增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和認(rèn)同感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

在教學(xué)中，教師可以沿著數(shù)學(xué)家的足跡帶領(lǐng)學(xué)生探究梯形面積的計(jì)算，讓學(xué)生明白：利用“出入相補(bǔ)”原理把梯形轉(zhuǎn)化成為平行四邊形，在轉(zhuǎn)化的過程中雖然形狀變了，但是面積卻沒有改變。利用“出入相補(bǔ)”原理求出梯形的面積以后，學(xué)生深入思考三角形，甚至一些不規(guī)則圖形是否也可以利用這個(gè)原理去求它的面積，促進(jìn)知識(shí)的正遷移，同時(shí)體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

“出入相補(bǔ)”原理這個(gè)數(shù)學(xué)史料不僅僅是放在例題學(xué)習(xí)后面的拓展知識(shí)中的一個(gè)“點(diǎn)”，教師要善于融合相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)“點(diǎn)”放大到整個(gè)“面”，讓它貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，并把這種思想方法運(yùn)用到今后的各科學(xué)習(xí)中。

教師在研讀教材時(shí)了解數(shù)學(xué)史產(chǎn)生和發(fā)展的大背景，能夠豐富教師的專業(yè)知識(shí)儲(chǔ)備，幫助教師更好地理解教材內(nèi)容，適時(shí)、適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)史融入教學(xué)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，提升教師教學(xué)的深度思考，促進(jìn)教師對(duì)數(shù)學(xué)史文化的認(rèn)識(shí)，提升其數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)。

二、觀察生活現(xiàn)象，思考數(shù)學(xué)本質(zhì)

在備課過程中，教師要深入思考，依照教材上的單元內(nèi)容搜尋相應(yīng)的數(shù)學(xué)史料，設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家探究、發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過程，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史淵源，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)效果。

例如，生活中可能性的現(xiàn)象處處可見，人們一般用拋硬幣的方法來決定事件的概率。在教學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“可能性”時(shí)，教師要研讀教材、深度思考和理解教材，查閱文獻(xiàn)，巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過程，引導(dǎo)學(xué)生通過試驗(yàn)掌握技能、技巧，認(rèn)真觀察試驗(yàn)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)。在課堂教學(xué)中，教師可以把全班學(xué)生隨機(jī)分為8個(gè)小組。每個(gè)小組成員每人拋10次硬幣，記錄數(shù)據(jù)填入小組表格中。小組完成試驗(yàn)后，記錄員將本組的總計(jì)填入班級(jí)總表中進(jìn)行合計(jì)。教師提醒學(xué)生注意思考：硬幣正面朝上的次數(shù)與總次數(shù)之間有什么關(guān)系？通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)拋硬幣次數(shù)較少時(shí)，正面朝上的可能性并不一定就是總次數(shù)的[12，] 數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性。但是，當(dāng)我們把全班各小組所拋次數(shù)合計(jì)后，便能發(fā)現(xiàn)隨著拋硬幣的次數(shù)增加，正面朝上及反面朝上正面朝上和反面朝上的次數(shù)會(huì)逐漸接近，也就是出現(xiàn)可能性相等，這與歷史上一些數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn)結(jié)果是相同的，具體如表1所示。

通過研讀數(shù)學(xué)史，教師巧妙地將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生沿著歷史的足跡研究數(shù)學(xué)，讓學(xué)生不知不覺地將自己當(dāng)作數(shù)學(xué)家一樣做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，理解算理，體驗(yàn)再創(chuàng)造的快樂，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作、合作共贏的意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生向數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，感悟堅(jiān)持不懈的努力才會(huì)越來越接近成功的道理。

數(shù)學(xué)與人類的生產(chǎn)勞動(dòng)緊密相連。生活中處處有數(shù)學(xué)，如人體的構(gòu)造、大自然中樹葉和花瓣的組成，一切美的造型都與黃金分割相關(guān)。古代人巧用大自然中日出、日落的周而復(fù)始和滴漏壺現(xiàn)象，巧妙制造出日晷、銅漏壺等記錄時(shí)間的工具。數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，神奇的斐波那契數(shù)列等無不體現(xiàn)了古人的智慧、數(shù)學(xué)的神奇和偉大。在教學(xué)中，教師要以數(shù)學(xué)教學(xué)為主軸，同時(shí)考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，深度思考如何將數(shù)學(xué)史材料適當(dāng)?shù)厝谌虢虒W(xué)，使之助力于課堂教學(xué)，拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力。

三、閱讀數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化、感受數(shù)學(xué)思想的重要載體之一。在數(shù)學(xué)史輔助教學(xué)的過程中，由于教材內(nèi)容和學(xué)生接受能力的不同，教師需要對(duì)數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行必要的加工。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”思想正好可以說明此類問題。

在重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和發(fā)展思維的數(shù)學(xué)課堂上，教師從分析教學(xué)的需要入手，深入研究教材、靈活處理教材，通過考查知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展、教學(xué)目標(biāo)，以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和知識(shí)水平來構(gòu)建具體的課堂教學(xué)，再選擇合適的時(shí)機(jī)，恰到好處地引入數(shù)學(xué)史知識(shí)，將有利于學(xué)生全面理解數(shù)學(xué)知識(shí)，拓展思維，舉一反三，提升學(xué)生的遷移能力，提高課程教學(xué)效果。這對(duì)教師的教學(xué)提出了更高的要求。教師需要深入閱讀并思考才能更好地設(shè)計(jì)課堂教學(xué)。在教學(xué)實(shí)踐的過程中，教師的反思和批判能力也能得到提升。

例如，在教學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)“簡便運(yùn)算”時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和舉一反三的能力，教師在備課中可以把著名數(shù)學(xué)家高斯的故事融入課堂教學(xué)。通過實(shí)踐讓學(xué)生體驗(yàn)計(jì)算“1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = ？”如果將這個(gè)連加算式一個(gè)一個(gè)地運(yùn)算，既難以確保正確率，又費(fèi)時(shí)、費(fèi)力。教師可以引導(dǎo)學(xué)生換一種思維，換一種角度，巧妙搭配，分組計(jì)算。由于1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101，…，49 + 52 = 101，50 + 51 = 101，這樣等于101的組合一共有50組，答案就是101 × 50 = 5 050。這樣的思路簡明易懂，正是數(shù)學(xué)王子高斯解決1連加到100的簡算方法。教師深度思考、有效安排教學(xué)過程，先讓學(xué)生自由、獨(dú)立計(jì)算，通過實(shí)際操作活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)自己的算法既煩瑣，又容易出錯(cuò)，不容易得出正確答案。而通過探究，領(lǐng)悟到高斯的巧算思維，能快速、準(zhǔn)確地知道結(jié)果，又學(xué)習(xí)、感悟了等差數(shù)列求和的相關(guān)知識(shí)，巧妙搭建了相關(guān)知識(shí)之間的橋梁。此時(shí)，教師可以恰當(dāng)引導(dǎo)，教育學(xué)生今后在遇到新問題時(shí)，都應(yīng)該先思考、類比之前學(xué)過、做過的相關(guān)習(xí)題和解決方法，綜合思考后找到最佳方案，采取最優(yōu)方法解決問題。由此可見，教師深入理解教材、思考教學(xué)環(huán)節(jié)，把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)是有必要的。

四、品讀數(shù)學(xué)家故事，培養(yǎng)優(yōu)秀品質(zhì)

1. 借鑒數(shù)學(xué)家故事，培養(yǎng)良好品格

榜樣對(duì)人有很大的影響。數(shù)學(xué)史中眾多鮮活、生動(dòng)的數(shù)學(xué)家故事，能夠啟迪和促使學(xué)生形成良好的品格。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適時(shí)融入相關(guān)的數(shù)學(xué)家故事。

例如，在教學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)“圓”時(shí)，教師可以讓學(xué)生經(jīng)歷用“割圓術(shù)”探究圓周率的過程，感受數(shù)學(xué)家孜孜不倦的探究精神。中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的說法，即圓的周長約是它直徑的3倍，這個(gè)數(shù)值在很長一段時(shí)間里被用來進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算。但是，劉徽認(rèn)為用“周三徑一”計(jì)算出來的周長，實(shí)際上并不是圓的周長，而是圓內(nèi)接正六邊形的周長，其數(shù)值要比實(shí)際的圓周長小很多。于是劉徽決定繼續(xù)分割，做成一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形、正二十四邊形……按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的周長一直算到了正3 072邊形，并因此而求得了圓周率為3.141 5和3.141 6這兩個(gè)近似數(shù)值，最后還指出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

正因?yàn)閯⒒詹粷M足于已有的結(jié)論，才會(huì)孜孜不倦地進(jìn)行探索。要進(jìn)行如此精密的計(jì)算，在當(dāng)時(shí)是一項(xiàng)極為細(xì)致而艱巨的腦力勞動(dòng)，而且還需要日復(fù)一日地重復(fù)這種狀態(tài)，一個(gè)人要是沒有頑強(qiáng)的毅力，是完成不了這項(xiàng)工作的。教師利用數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)家故事，不僅可以為學(xué)生指明道路，而且對(duì)學(xué)生樹立遠(yuǎn)大理想也起到了促進(jìn)作用。數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，堅(jiān)持不懈、勇于探索的精神，能夠讓學(xué)生感到震撼，激勵(lì)學(xué)生攻堅(jiān)克難、奮發(fā)圖強(qiáng)。

2. 對(duì)比探索成果，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)史上有很多數(shù)學(xué)問題吸引了一位又一位數(shù)學(xué)家研究并完善。例如，教材五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”時(shí)，教師可以以教學(xué)“哥德巴赫猜想”的發(fā)展為例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：早在1742年，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫就提出了這一著名的猜想“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”。當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家用舉例驗(yàn)證的方法，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都是正確的，但卻無法證明。直到1920年，挪威數(shù)學(xué)家布朗利用篩法證明了每一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)因數(shù)不超過9個(gè)的數(shù)之和，簡稱“9 + 9”；1948年匈牙利數(shù)學(xué)家蘭恩易開辟了另一種新方法，證明了“1 + 6”；1966年，我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了“1 + 2”，轟動(dòng)了全世界，它與“哥德巴赫猜想”的“1 + 1”只有一步之遙。如今“互聯(lián)網(wǎng) + 數(shù)論”的新時(shí)代，哥德巴赫猜想的最終證明還有待我們繼續(xù)去探索。

教師要查閱相關(guān)文獻(xiàn)，研讀數(shù)學(xué)史，通過今昔對(duì)比，了解到數(shù)學(xué)家不滿足現(xiàn)有知識(shí)結(jié)論，多途徑、多角度、多樣化的解決策略，在分析問題時(shí)追求數(shù)學(xué)知識(shí)嚴(yán)密性的精神，數(shù)學(xué)發(fā)展才能攻克一個(gè)又一個(gè)難關(guān)。教師在“哥德巴赫猜想”發(fā)展史的研究中，發(fā)展數(shù)學(xué)思維并逐漸得出精密科學(xué)結(jié)論，同時(shí)滲透邏輯推理的思想，感受今昔對(duì)比，探尋未來，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

由此可見，教師研讀教材，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后的大背景，利用數(shù)學(xué)史深度思考、合理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)教師的專業(yè)發(fā)展起到了促進(jìn)作用，對(duì)于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情、培養(yǎng)創(chuàng)新人才也有明顯的效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡天新. 數(shù)學(xué)的故事［M］. 北京：中信出版集團(tuán)，2018.

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