基于高中數學核心素養的錯題講評課之探索與實踐

摘 要：錯題講評課是一種重要的課型，教師在講評時，不能滿足于一題一講，也不應止步于形式上的一題多解，一題多變，而應該抓住機會，適時引導，還主體于學生，鼓勵他們獨立思考，類比細究，拓展延伸，歸納感悟.

關鍵詞：錯題講評；思維品質；細究感悟

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）30-0017-04

收稿日期：2022-07-25

作者簡介：施浩妹（1980.7-），女，浙江省杭州人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

如何在數學課堂教學中落實數學核心素養的培養，一直是一線教師的重要課題.錯題講評課是一種重要的課型，它不僅是知識掌握的一個必要環節，可以幫助學生找到思維盲區，糾正錯誤，拓展思維，開發創造性等，也可以幫助老師彌補新授課中的教學不足，同時，也能很好地提升邏輯推理、數學運算、分析問題、歸納概括等能力.但我們經常聽到教師會抱怨，講評過的錯題，為何學生又錯？自認為講清楚了，其實學生還沒有聽懂；自認為簡單的，學生覺得難；自己滔滔不絕40分鐘，口干舌燥，學生卻掌握甚少；學生課堂聽懂了，課下又忘了......很是無奈.不能調動學生積極性，不能讓學生思維處于活躍狀態下的錯題講評課，僅有老師一人滔滔不絕的分析錯因，講解正確思路，哪怕老師講得口干舌燥，學生也未必買賬，效果必然是低下的.那如何能讓講評課收到好的效果呢？現筆者結合自己的教學實踐，從四個方面對錯題講評方式展開探究與思考.

1 由此及彼，類比講評

類比方法是一種重要的數學思維方法，它可以使知識條理化，把復雜的問題簡單化，它能幫助學生融會貫通所學的知識，提高學生分析問題、解決問題的能力，同時能較好地培養學生的邏輯思維能力和創新能力.

題1 已知△ABC為等邊三角形，AB=2.設點P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=；

題2 在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB·AF=2，則

AE·BF的值是.

評注 題1為上完新授課2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義后作業本中的題目，由于當時僅講了數量積的定義，所以在作業講評時僅講了“基底法”，如何選基底，如何運算.題2為上完新授課2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角（二）后作業本中的題目，由于此課時是數量積的坐標表示，所以“坐標法”必然是要講評的.但作為一名教師，如果僅僅會當下學啥就只講啥，那就太片面了，不利于學生數學知識的系統提升.筆者在講評課時，遇到同類、相似問題就很喜歡讓學生往前翻翻作業本，比如講到題2時，等學生領會“坐標法”后，筆者就讓學生翻到作業本57頁，讓學生比對這兩道題，不說多余的話，就給學生充足的時間去比對，去思考，去動手演算，去感悟.結果學生自己就能發現原來這兩道題是同一種題，題1也可以利用正三角形圖形本身的對稱性建系，從而用“坐標法”解決，題2中也可以選擇模長、夾角均已知的BA，BC兩向量為基底，從而用“基底法”解決.代數法（基底法，坐標法）是解決向量問題的重要方法，通過這樣的類比講評，重點突出，從老師引導學生類比，到學生自主類比，從而感悟總結，學生思路更清晰，理解更到位，知識更成系統，學生的思維能力也得到了很好的提升.

題3 若函數f（x）=log₂（x²+2ax-a）的定義域為R，則實數a的取值范圍為；

題4 若函數f（x）=log₂（x²+2ax-a）的值域為R，則實數a的取值范圍為.

評注 題3與題4學生常常將“定義域為R、值域為R”搞混，只知道時而△<0，時而△≥0，但是弄不清楚何時用哪個.如果老師講評時，能將這種“形同而質不同”的題目放在一起進行類比講解，必能激發學生的好奇心、探究欲望，變被動思維為主動自覺思維，從而引發學生仔細掂量，認真剖析，真正從問題本質去挖掘，得到的學習效果也就自然不一樣了.題3是定義域為R，即不管x取何值，對應的整個真數都要大于0，即轉化為x²+2ax-a>0恒成立，所以△<0.題4是值域為R，也就是要確保整個真數能取遍一切正數，一個值也不能落下，那么只能y=x²+2ax-a這個二次函數與x軸有交點了，所以△≥0.學生做錯題目不可怕，可怕的是學生僅停留在簡單的記憶模仿上，時間一長必然忘記.通過類比講評，讓學生悟透問題本質，才能從根源上消除再次犯錯的隱患，類比講評很好地培養了學生的差異性思維，提升了學生的類比分析能力，對提升數學素養大有裨益！

2 借題發揮，拓展講評

拓展講評就是俗話說的在原有題目的基礎上，增加新的東西，延展加深.老師在講評作業本、試卷中的錯題時，不要“就題講題”，我們可以借題發揮，針對錯題進行一題細研、一題多法、一題多變，它實現的不僅僅是表面上數量的變化，而是質量的變化.拓展講評可以拓展學生思維的廣度，挖掘思維的深度，提升思維的高度.

題5 已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且

a·b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍為.

題6 已知角A=60°，a=3，求△ABC的周長的取值范圍.

題7 已知數列a_n，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，求數列的通項.

評注 題5不少學生都做出答案λ>32來了，少數學生錯的題目是不是就不用講評了呢？非也！要知道有時學生答案對，思維未必就嚴密.筆者拋出變式：如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？果然很多同學只考慮數量積小于0，而忽略cosθ>-1這個條件，出來錯誤答案λ>-32.筆者不動聲色，在黑板上寫下答案為λ>-32且λ≠83，大家覺得詫異，勾起了好奇心，開始探究討論，發現其實應該滿足-1

題6是三角函數章節檢測中某題的第二問，少數做對的學生普遍是由余弦定理得b²+c²-9=2bccosA=bc，進而使用基本不等式得到3

題7為初學等比數列后的常見題目，在遞推式的兩邊同時加1，得到a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1），構造出一個公比為3，首項為2的新等比數列a_n+1問題就迎刃而解了.但是如果老師僅僅是就題講題，泛泛而談，尤其是后期復習階段，學生擁有一定的構造能力時，更不能單講題7，老師應抓住此題，借題發揮，進行一題多變，將遞推式變為變式1：a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，變式2：a_n+1=2a_n+3ⁿ⁺¹，讓學生觀察變式1，變式2與原題的不一樣之處，結合學生已經會處理a_n+1=Aa_n+B（B為常數）型的題目了，引導學生如何轉化不熟悉題目為熟悉題目？學生很容易聯想到將3ⁿ⁺¹位置變成常數就可以了，如何變為常數呢？只需兩邊同除3ⁿ⁺¹即可，后面就一切順理成章了.借題發揮沒有結束，繼續拋出變式3：a_n+1=3a_n-4n+2，又將如何呢？似乎不能變成常數來處理了，老師可以再次引導學生觀察原題a_n+1=Aa_n+B（B為常數）型，我們是如何找到一個新的等比數列的？本質是把常數B拆分了，使得左右兩邊剛好a_n+1+C=A（a_n+C），從而構成了新的等比數列.在此引導下，學生就會把握本質，將“-4n+2”進行拆分，找到a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），從而構造出新等比數列.借題發揮結束了嗎？沒有！變式2、變式3是否也可以直接拆分3ⁿ⁺¹呢？事實上變式3可以拆分為a_n+1-3·3ⁿ⁺¹=2（a_n-3·3ⁿ），這樣就直接找到等比數列a_n-3·3ⁿ，而不需要變為a_n+1=Aa_n+B（B為常數）型再去構造等比了.

3 多題一法，歸納講評

在學生的錯題中存在一些“形不同而質同”的好題，它可以事半功倍地提升學生的思維品質、數學素養，但是光有好題不夠，需要有一雙發現它的眼睛，如果針對這些“形不同而質同”的題目，老師只是給一個正確解法，不去深究，那么題目依然是散的，學生聽完后領悟不深刻，下次出錯率依然會很高.

題8 已知tanα=-13，則sinα+2cosα5cosα-sinα=；2sinαcosα+cos²α=.

題9 已知等差數列a_n滿足：a₄>0，a₅<0，數列的前n項和為S_n，則S₅S₄的a·（a+2b）取值范圍是；

題10 平面向量a，b的夾角為60°，且a-b=1，則的最大值為；

評注 題8是在我們學習完“同角三角函數的基本關系”后必能碰到的題型，稱之為“齊化切”思想，利用sinαcosα=tanα，分子分母同除cosα后，問題中的正弦、余弦轉化為正切、常數，從而求值.第二空由于不是分式，引導學生利用平方關系sin²α+cos²α=1將它轉化為分式后就又可以齊化切了.學生初學時覺得很贊，方法很妙，名字“齊化切”也朗朗上口.題9初看一道數列題，抓住首項與公差，轉化為不等式組a₁+3d>0a₁+4d<0a₁>0，d<0，求5a₁+10d4a₁+6d的范圍，然后學生的思路就終止了.題10是2020學年第一學期杭州市高三統測的填空題16題，學生會把條件平方得到a²+b²-ab=1，也會把目標變為求a²+ab的最大值，但是怎么求，沒想法了.為何題8學生耳熟能詳，看到都會做，但是面對題9，題10，卻沒了方向？問題是不是出現在我們老師講錯題時僅僅做到“就題講題”，而沒有很好地去引導學生總結歸納呢？所以學生看到的都是分散的，不系統的.如果我們老師平時講評這些“形不同而質同”的錯題時，能多多引導學生去觀察、感悟、就不難歸納出這里是多題一法，就會發現他們本質是一樣的，都是處理二元問題，那么只需要同“齊化切”一樣，化二元問題為一元問題即可.題9中只需要分子分母同除d，令a₁d=t，則5a₁+10d4a₁+6d=5t+104t+6=54+52·14t+6，而條件變為-42+ab=a²+aba²+b²-ab=t²+tt²-t+1，其中t=ab，二元函數的最值問題變為一元函數的最值問題.我們常說要針對學生的最近發展區實施教學，既然題8是學生耳熟能詳的，那為何不引導學生去悟透呢？三角、數列、向量看似三個不一樣的知識區塊，雖形不同但質同，老師需要實施多題一法，引導學生歸納總結出通性通法，通過有限道題的探究去領悟解決無限道題的數學機智，真正提升學生分析問題，解決問題的能力.

4 角色互換，學生講評

富蘭克林曾說：告訴我，我會忘記，教給我，我可能記住，讓我參與，我才能學會.錯題講評的目的是對學生所學的知識進行查缺補漏，必須充分調動學生的積極性，讓學生直接參與到課堂中來是最有效的方式.故可以采用學生講評和教師講評結合的方式，與教師講評相比，學生的思維相通，通過學生間的語言交流也許更能讓那些不會的同學豁然開朗，學生講評可以使學生在講評中相互啟發，共同提高.

題 10 平面向量a，b的夾角為60°，且a-b=1，則a·（a+2b）的最大值為；

再看題10，筆者講評時為了突出多題一法，所以是引導學生將二元問題轉化為一元問題來處理的.講評完后，立馬有學生舉手示意了，他們有不一樣的想法.這時老師千萬不要因為講評整張卷子時間緊張，而錯失一次讓學生展示、成長的好機會，就該讓他們暢所欲言，各抒己見.

學生1：我是建系做的.令a=（x，0），b=（y，3y），則由條件得到（x-y）²+3y²=1，再使用三角換元，令x-y=cosθ，3y=sinθ，則x=cosθ+sinθ3，y=sinθ3，代入則a·（a+2b）=x²+2xy=cos²θ+4sinθcosθ3+sin²θ=1+2sin2θ3，從而得解.

學生2：建系我也想到了，就是后面要三角換元我沒有想到.

師：很好！學生1講了我們處理向量問題的基本法（坐標法），又很好地幫助我們復習了三角換元，太值得了！

學生3：老師，我當時做的時候，看到問題是求最值，也想到用函數去處理了，但不是像你那樣處理的.因為a²+b²-ab-1=0，用求根公式得到b=a±4-3a²2，因為求a²+ab最大值，所以取b=a+4-3a²2，這樣目標函數中就只有a一元了，雖然后面解析式比較繁，但用導數，也把它求出來了.

學生4：利用求根公式用a表示b，我也想到了，但是后面看著函數關系式太煩，不知道怎么求最值就放棄了，當時忘記用導數了.

師：不錯！雖然計算看起來繁瑣，但是把握住了函數思想的本質，條件給了二元a，b的關系式，必能用其中一個表示另一個，從而實現二元變一元.同時也提醒了大家，求最值的法寶導數.

錯題講評教學在數學教學中有著重要的地位，教師在講評時，不能滿足于一題一講，也不應止步于形式上的一題多解，一題多變，而應該抓住機會，適時引導，還主體于學生，鼓勵他們獨立思考，類比細究，拓展延伸，歸納感悟.教師不只要交給學生數學知識、思想方法，更要教會學生如何思考，探尋從無到有，從有到優的思路，如此才能提升、優化學生的思維品質，這樣的講評課才是有效的.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]