聚合·回歸·發(fā)散：數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的實(shí)踐路徑

蔡林斐

［摘 ?要］ 復(fù)習(xí)課要啟發(fā)學(xué)生的“聚合”“回歸”與“發(fā)散”思維進(jìn)行整體復(fù)習(xí)。關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確把握其生長(zhǎng)點(diǎn)，注重思維的發(fā)散，達(dá)成概念的本質(zhì)回歸。向?qū)W生滲透事物間互相聯(lián)系、互相依存的辯證思想，適當(dāng)進(jìn)行拓展與延伸，讓知識(shí)的內(nèi)涵與外延得到充分的解讀與展示。培養(yǎng)學(xué)生有序思考、歸納整理的能力，推動(dòng)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，在真實(shí)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步成長(zhǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 單元復(fù)習(xí)；教學(xué)設(shè)計(jì)；策略探究

復(fù)習(xí)課，不能簡(jiǎn)單粗暴地套用新授課的模式，如果這樣，勢(shì)必讓學(xué)生索然無(wú)味；如果瘋狂刷題，也只能事倍功半。多年的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明，復(fù)習(xí)課，除了注重知識(shí)的梳理，關(guān)注各知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)，還要準(zhǔn)確把握其生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)行綜合性的鞏固訓(xùn)練，適當(dāng)進(jìn)行拓展與延伸，讓知識(shí)的內(nèi)涵與外延得到充分的解讀與展示，達(dá)成知識(shí)的本質(zhì)回歸。

一、聚合，厘清知識(shí)關(guān)聯(lián)

“知識(shí)聚合”在這里包含兩個(gè)層面：第一是“知識(shí)點(diǎn)的聚合”，從內(nèi)容層面梳理一節(jié)課、一單元甚至一整冊(cè)的知識(shí)，厘清各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性；二是“數(shù)學(xué)方法聚合”，不僅僅是聚合某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法，更需要學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)思想方法為線(xiàn)索架構(gòu)知識(shí)體系。基于以上分析與思考，“面積”復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐可以借助思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行知識(shí)的聚合，來(lái)厘清知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。

（一）回憶式摘錄，重現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)

就像電影里的閃回，用較短的時(shí)間將單元內(nèi)容在頭腦中回顧一遍，然后以摘記的形式呈現(xiàn)出來(lái)。回憶的過(guò)程就是一次知識(shí)的整理過(guò)程，這時(shí)候講得再多、再生動(dòng)、再細(xì)致也是徒勞的，教師必須舍得“浪費(fèi)”時(shí)間。像“面積”單元的復(fù)習(xí)，面積和面積單位，長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算，面積單位間的進(jìn)率……一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)都會(huì)在學(xué)生頭腦中一一重現(xiàn)。這種機(jī)械式呈現(xiàn)，看似將知識(shí)碎片化了，但一旦經(jīng)過(guò)大腦的作用，就會(huì)自動(dòng)在一個(gè)個(gè)孤立的堡壘之間產(chǎn)生千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。如講到長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，當(dāng)長(zhǎng)方形的寬延長(zhǎng)到與它的長(zhǎng)一樣時(shí)，就變成了正方形，所以說(shuō)正方形實(shí)際上就是特殊的長(zhǎng)方形。這個(gè)時(shí)候，教師只要給予學(xué)生充分的鼓勵(lì)，給予學(xué)生更多的思考時(shí)間和表現(xiàn)機(jī)會(huì)，就能很好地建構(gòu)起數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）表格式對(duì)比，厘清知識(shí)關(guān)聯(lián)

制表梳理不失為一種較好的復(fù)習(xí)方法。從周長(zhǎng)和面積的意義、計(jì)算公式、單位名稱(chēng)，到相鄰單位間的進(jìn)率，再到兩者的聯(lián)系，項(xiàng)項(xiàng)點(diǎn)點(diǎn)，清晰羅列，精準(zhǔn)比較，使學(xué)生對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與面積的異同點(diǎn)、關(guān)聯(lián)點(diǎn)一目了然（如表1）。通過(guò)自制表格對(duì)所要復(fù)習(xí)的內(nèi)容已有所了解，課堂上學(xué)生急于表達(dá)自己復(fù)習(xí)時(shí)的收獲和困惑。這個(gè)時(shí)候，教師可順?biāo)浦郏瑢r(shí)間交給學(xué)生，讓他們?nèi)フ故窘涣鳌?/p>

通過(guò)交流，學(xué)生明白，關(guān)于意義的區(qū)別在于，周長(zhǎng)是講長(zhǎng)度的，面積是講大小的。面積的單位名稱(chēng)要在長(zhǎng)度單位名稱(chēng)前加上“平方”兩字。相鄰單位的進(jìn)率是10與100的區(qū)別，正方形就是特殊的長(zhǎng)方形。當(dāng)然，交流的形式可以不拘一格。可以先在小組內(nèi)展開(kāi)，因?yàn)閷W(xué)生在小組內(nèi)的交流是最無(wú)拘無(wú)束的，最能將其真實(shí)的想法展示出來(lái)。然后，以小組匯報(bào)的形式，集中展示典型思想，其他學(xué)生可以從中得到及時(shí)的提醒和啟發(fā)。學(xué)生在傾聽(tīng)的同時(shí)，也作合理的補(bǔ)充，真正實(shí)現(xiàn)“學(xué)學(xué)相長(zhǎng)、共同提高”，這其實(shí)就是課堂上的一道亮麗風(fēng)景。

（三）導(dǎo)圖式勾勒，形成合理認(rèn)知

繪制思維導(dǎo)圖的過(guò)程是使知識(shí)點(diǎn)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。教師要在復(fù)習(xí)課前就布置學(xué)生結(jié)合內(nèi)容繪制思維導(dǎo)圖，讓他們自己先梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，雖然制作思維導(dǎo)圖不是件容易的事，是個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，特別對(duì)于三年級(jí)的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維導(dǎo)圖只是整理知識(shí)點(diǎn)的一種手段，他們繪制的思維導(dǎo)圖可能很幼稚、不完整，甚至有錯(cuò)誤，但是在繪制思維導(dǎo)圖的過(guò)程中，他們經(jīng)歷了一場(chǎng)暴風(fēng)驟雨式的頭腦反思與洗禮。在“面積復(fù)習(xí)”這一課中，學(xué)生根據(jù)自己的整理，繪制出輻射圖、括號(hào)圖、樹(shù)狀圖、魚(yú)骨圖等形式的思維導(dǎo)圖（圖2），圖文并茂，條分縷析，真是可圈可點(diǎn)。從圖中可以看出，有學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的形式雖然不同，但都是殊途同歸。這個(gè)時(shí)候，教師要安排一次交流，讓其他學(xué)生指出思維導(dǎo)圖的優(yōu)缺點(diǎn)后，留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行自我反思，尋找課前自己繪制的思維導(dǎo)圖中的不足，做進(jìn)一步的調(diào)整與修改。這樣的復(fù)習(xí)課，有效進(jìn)行了學(xué)科融合，在建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、形成知識(shí)體系的同時(shí)，鍛煉了學(xué)生的口語(yǔ)交際能力，培養(yǎng)了他們欣賞美和表達(dá)美的情感。開(kāi)放的課堂，趣味性強(qiáng)，既生動(dòng)又活潑，學(xué)生樂(lè)在其中，復(fù)習(xí)的有效性不言而喻。

二、回歸，夯實(shí)本質(zhì)概念

學(xué)生已經(jīng)基本弄清各知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也已經(jīng)明白復(fù)習(xí)課不僅是一個(gè)單元的整體復(fù)習(xí)，還是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，也是相關(guān)聯(lián)知識(shí)間的整合復(fù)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的聚合、思維的發(fā)散之后，更要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的鞏固，讓數(shù)學(xué)魅力得到充分發(fā)揮，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)回歸。

（一）暴露缺陷，填補(bǔ)知識(shí)漏洞

課堂進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)，目的是想通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的鞏固。設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)，教師既要考慮知識(shí)的廣度和深度，也要考慮習(xí)題的梯度，讓所有學(xué)生都能夠暴露知識(shí)的缺陷，便于及時(shí)彌補(bǔ)知識(shí)漏洞。有這樣三道題目：

1. 比較大小

7平方米○75平方分米

20000平方厘米○20平方米

3平方千米○3公頃

800米○800平方厘米

2. 用一張長(zhǎng)2分米、寬18厘米的白紙，剪邊長(zhǎng)為3厘米的小正方形，最多能剪幾個(gè)？

①36個(gè) ? ②40個(gè)

③12個(gè) ? ④120個(gè)

3. A、B兩個(gè)花壇（圖3），花壇中間有條石子路，這兩個(gè)花壇的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？

由于題目涉及的知識(shí)范圍較廣，思維含量較高，學(xué)生必須“用自己的頭腦去分析”。習(xí)題的設(shè)計(jì)相對(duì)而言比較優(yōu)秀，具有較高的層次性和啟發(fā)性。課堂上，教師首先要求學(xué)生獨(dú)立思考自主完成相應(yīng)的練習(xí)，接著在全班范圍內(nèi)訂正答案。學(xué)生自行訂正后，暴露出本單元的知識(shí)掌握缺陷之處，便于接下來(lái)的條分縷析，加強(qiáng)針對(duì)性的練習(xí)，來(lái)填補(bǔ)這一知識(shí)的漏洞。

（二）條分縷析，提升思維品質(zhì)

一節(jié)課最精彩的部分必定來(lái)源于學(xué)生。質(zhì)疑提問(wèn)、生生互動(dòng)，這一條路必須堅(jiān)持走下去，做到真正地把時(shí)間還給學(xué)生，把課堂還給學(xué)生。對(duì)于上文三道題目的訓(xùn)練所暴露出來(lái)的知識(shí)缺陷，筆者組織學(xué)生進(jìn)行深入的探討與分析，尋找錯(cuò)誤原因并對(duì)癥下藥。第1題中學(xué)生暴露的主要問(wèn)題是單位之間的換算是乘以進(jìn)率還是除以進(jìn)率弄不清，第4小題出現(xiàn)大于號(hào)也大有人在。這是把長(zhǎng)度單位與面積單位混為一談了。第2題則簡(jiǎn)單地認(rèn)為20×18÷（3×3）=40（個(gè)），這種計(jì)算，從理論層面來(lái)講，是完全正確的，殊不知實(shí)際裁剪時(shí)，長(zhǎng)邊只能剪6次，寬剪6次剛好，正確答案應(yīng)該選①36個(gè)。錯(cuò)誤原因是脫離了生活實(shí)際。第3題很多學(xué)生認(rèn)為，A花壇的周長(zhǎng)大于B花壇，只要?jiǎng)邮钟霉P畫(huà)一畫(huà)，正確答案是顯而易見(jiàn)的。兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)都是長(zhǎng)加寬再加石子路的長(zhǎng)度，是一樣長(zhǎng)的。錯(cuò)誤原因還是沒(méi)有把長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的概念弄清楚。學(xué)生明白，這個(gè)過(guò)程中，一定要用“表達(dá)”的方式發(fā)表自己對(duì)習(xí)題的審題與分析、解題的方法與思路、解題的過(guò)程與體會(huì)，不人云亦云，要能夠“用自己的語(yǔ)言去支撐自己的分析”，并逐漸地樹(shù)立起自主學(xué)習(xí)的意識(shí)和思維品質(zhì)。

（三）綜合運(yùn)用， 獲得知識(shí)技能

抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)光靠口頭描述，部分學(xué)生會(huì)難以接受，更難以進(jìn)一步地深入和拓寬知識(shí)面。這里拓寬的不僅有學(xué)習(xí)技能的空間，還有實(shí)踐運(yùn)用的空間。為了更好地彌補(bǔ)知識(shí)的漏洞，夯實(shí)本質(zhì)概念，教師要加強(qiáng)對(duì)這些知識(shí)的綜合訓(xùn)練。

1. 仔細(xì)推敲，認(rèn)真辨析。

（1）一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)是4分米，它的周長(zhǎng)與面積相等。（ ? ?）

（2）面積相等的一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形，它們的周長(zhǎng)一定相等。（ ? ）

2.小芳家準(zhǔn)備將客廳地面鋪上地板，有兩種規(guī)格的地板可供選擇，第一種長(zhǎng)90厘米，寬10厘米，第二種長(zhǎng)120厘米，寬20厘米，已知客廳長(zhǎng)8米，寬4米5分米，請(qǐng)你幫忙算算各需多少塊？

3. 第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)比第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)長(zhǎng)3厘米，第一個(gè)正方形的面積比第二個(gè)正方形的面積大57平方厘米，求每個(gè)正方形的面積。

習(xí)題的設(shè)計(jì)相對(duì)而言比較優(yōu)秀，針對(duì)性強(qiáng)，具有較高的層次性和啟發(fā)性。第1題辨析，是針對(duì)學(xué)生把周長(zhǎng)和面積概念混淆設(shè)計(jì)的；第2題是針對(duì)學(xué)生脫離生活實(shí)際設(shè)計(jì)的；第3題就是一道集綜合性和挑戰(zhàn)性于一體的題目，讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)一下。通過(guò)綜合訓(xùn)練，學(xué)生在獲得各種認(rèn)知策略、發(fā)展反思、元認(rèn)知等能力的同時(shí)，認(rèn)知水平不斷攀升，知識(shí)體系牢固建構(gòu)，知識(shí)技能不斷獲得，解決問(wèn)題也得心應(yīng)手。

三、發(fā)散，展示數(shù)學(xué)魅力

在思維上，數(shù)學(xué)知識(shí)的整理與復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)該體現(xiàn)“發(fā)散”，把數(shù)學(xué)核心知識(shí)置于多維度的問(wèn)題情境之中，并以其為中心進(jìn)行拓展、發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生形成多角度的思維，并建立知識(shí)間的多元聯(lián)系，做到形散神不散。常用的綜合訓(xùn)練是對(duì)學(xué)生進(jìn)行“發(fā)散”思維訓(xùn)練的重要形式。

（一）橫向擴(kuò)散，培養(yǎng)思維的廣闊性

橫向擴(kuò)散就是指由一道題目橫向發(fā)散出一類(lèi)題目，粗看面目很相似，細(xì)細(xì)思考卻別有洞天。學(xué)生通過(guò)學(xué)一道題，獲得解一類(lèi)題的本領(lǐng)，呈現(xiàn)“一把鑰匙開(kāi)多把鎖”的大好局面，能幫助自己認(rèn)清知識(shí)間的關(guān)系，培養(yǎng)思維的廣闊性，加深對(duì)知識(shí)的理解。

用20厘米長(zhǎng)的鐵絲可以圍成幾種不同的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)和寬均為整數(shù)），計(jì)算圍成長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，填入表2。然后觀察表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)說(shuō)你都知道了什么？

通過(guò)進(jìn)行排列分析，可以得到五種情況，發(fā)現(xiàn)不管長(zhǎng)與寬怎么變化，周長(zhǎng)都不會(huì)改變，但隨著長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度差距逐漸減少，面積則逐漸變大，正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積都大。由此橫向擴(kuò)散至“一張邊長(zhǎng)是10厘米的正方形紙中，沿邊緣剪去一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形。剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長(zhǎng)呢？”的剪紙問(wèn)題和鋪地板問(wèn)題，都可以用這種排列的方法解決。運(yùn)用排列的方法，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的系統(tǒng)性，培養(yǎng)學(xué)生全盤(pán)考慮問(wèn)題的能力。這樣的訓(xùn)練越多，學(xué)生的思維就會(huì)變得越縝密，分析問(wèn)題的能力也會(huì)不斷提升，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性大有裨益。

（二）逆向求異，培養(yǎng)思維的靈活性

逆向求異是指一道習(xí)題，由于不同學(xué)生所審視的方向各有不同，因此解題思路也就不同。這是一種訓(xùn)練力度較大的思維活動(dòng)，開(kāi)放的條件，開(kāi)放的結(jié)論，必定通過(guò)開(kāi)放的思維方式來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)生練了太多的順向思維的習(xí)題，碰到逆向思維的習(xí)題就束手無(wú)策，顯得思維的靈活性不夠。求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，往往要先知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是多少，然后按照公式代入計(jì)算即可。這種順向思維的問(wèn)題是比較容易解決的。然而，有這樣兩道題目，如右上。

1. 在方格紙上畫(huà)幾個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，使它們的周長(zhǎng)都相等，然后比較一下它們的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？

2. 畫(huà)出面積是24平方厘米的長(zhǎng)方形（長(zhǎng)寬是整厘米數(shù)），并計(jì)算出這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

這兩道題目已知周長(zhǎng)和面積，長(zhǎng)與寬都是開(kāi)放的，只有在厘清它們的內(nèi)在聯(lián)系后，方能理順彼此的關(guān)系，找到科學(xué)的解決辦法。在復(fù)習(xí)課習(xí)題教學(xué)中，教師要抓住一切有利時(shí)機(jī)，經(jīng)常有意識(shí)地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)思考不同的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

（三）縱向挖掘，培養(yǎng)思維的深刻性

縱向挖掘，就是由一道基礎(chǔ)題，不斷增加條件，習(xí)題的難度跟著一步步加大。對(duì)于這些縱向挖掘的習(xí)題而言，其復(fù)雜程度可想而知。這就需要教師對(duì)固有條件進(jìn)行綜合剖析，找準(zhǔn)變量與不變的量，進(jìn)行變式訓(xùn)練。

1. 學(xué)校操場(chǎng)原來(lái)長(zhǎng)50米，寬20米，這個(gè)操場(chǎng)面積多少平方米？

2. 學(xué)校操場(chǎng)原來(lái)長(zhǎng)50米，寬20米，擴(kuò)建后長(zhǎng)增加50米，這個(gè)操場(chǎng)面積增加多少平方米？

3. 學(xué)校操場(chǎng)原來(lái)長(zhǎng)50米，寬20米，擴(kuò)建后長(zhǎng)增加50米，寬增加20米，這個(gè)操場(chǎng)面積增加多少平方米？

課堂上，學(xué)生讀題后提問(wèn)：這三道題，有什么不一樣？通過(guò)讀題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第2題只有一個(gè)變量，第3題有兩個(gè)變量。看得出來(lái)，由第1題演變出的2、3兩題頗具挑戰(zhàn)性。這類(lèi)“變式”訓(xùn)練，極易激發(fā)學(xué)生參與挑戰(zhàn)的欲望，讓他們?cè)诒容^中尋找解決問(wèn)題的方法，在挑戰(zhàn)中享受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。通過(guò)一題多探、一題深探的課堂實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)了真正意義上培養(yǎng)學(xué)生探究能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力以及思維的深刻性。

總而言之，鞏固舊知，又獲得新知，在不斷循環(huán)的過(guò)程中，學(xué)生的認(rèn)知水平得到螺旋上升。教學(xué)中，教師善于啟發(fā)學(xué)生的多維思維進(jìn)行整體復(fù)習(xí)，向?qū)W生滲透事物間互相聯(lián)系、互相依存的辯證思想，不僅有利于加深對(duì)面積單元知識(shí)的鞏固，還有利于培養(yǎng)學(xué)生有序思考、歸納整理的能力，推動(dòng)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，在真實(shí)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步成長(zhǎng)！