一道課后習題的多解與反思

摘要：不同底數不同真數的對數比較大小問題，有沒有規律可循？通過利用教材課后習題，挖掘隱藏在其背后的解題方法、數學思想，從特殊命題拓展出一般性的命題，順利解決了對數比較大小問題，學生在活動過程中培養了四基四能，發展學生數學運算、邏輯推理等核心素養.

關鍵詞：對數；比較大小；數學運算；核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0067-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：俞文銳（1979.8-），男，福建省福清人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題“信息技術環境下教學預設與生成的實踐研究”（項目編號：FJJKXB20-826）.

對數比較大小問題是每年高考的熱點題型，題型雜方法多，重點考查數形結合思想、化歸轉化思想，以及數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養，那么對于底數不同、真數也不同的對數比較大小，究竟要應用什么方法予以解決呢？本文以人教A版必修第一冊一道習題為例對該問題進行探究.

1 試題呈現

例1（人教A版數學必修第一冊P141拓廣探索第13題）比較log23，log34，log45的大小

2 解法探究

我們先比較log34，log45的大小.

解法1（運用作差法+基本不等式比較大小）

log34-log45

=ln4ln3-ln5ln4

=（ln4）2-ln3·ln5ln3·ln4

≥（ln4）2-ln3+ln522ln3·ln4

=（ln4）2-（ln15）2ln3·ln4>0.

評析通過作差和換底公式，出現了ln3·ln5的結構，再利用基本不等式和對數運算性質將它轉化為（ln15）2，從而順利解決問題.作差法結合基本不等式比較大小，符合學生的認知規律，思維難度低.

解法2（運用換底公式+糖水不等式比較大小）log34=ln4ln3>ln4+ln43ln3+ln43=ln163ln4>ln5ln4=log45.

評析糖水不等式：若a>b>0，m>0，則有a+mb+mba（人教A版數學必修第一冊P43綜合運用第10題），充分挖掘教材習題的作用，將不同底、不同真數的對數比較大小問題輕松予以解決.

解法3（運用析整顯微法+指數式比較大小）

log34=1+log343=1+x，

log45=1+log454=1+y，

所以31+x=4，41+y=5.

則3x=43，4y=54.

所以3x-4y=112>0.

即3x>4y.

兩邊取對數得xln3>yln4，

變形得xy>ln4ln3>1，

所以x>y.

即log34>log45.

評析通過對數運算將log34，log45析出非零整數1，顯示出非負小數x=log343和y=log454，因此只要比較x和y的大小， 接著利用對數式與指數式互化比較大小.

解法4（運用析整顯微法+圖象法比較大小）

因為log34=1+log343，log45=1+log454，所以只要比較log343與log454的大小，利用對數函數y=log3x與y=log4x的圖象位置關系（如圖1），可得log343>log454.

評析直接利用函數圖象無法比較log34，log45的大小，但是通過析整顯微法顯示出非負小數

log343和log454，卻可以利用對數函數圖象比較大小.

解法5（運用析整顯微法+放縮法比較大小）

因為log34=1+log343，log45=1+log454，

又因為log343>log443>log454，

所以log34>log45.

評析通過析整顯微法將比較log34和log45的大小問題，轉換為比較log343與log454的大小，接著利用放縮法比較大小.

解法6（運用減數法+分析法比較大小）

要比較log34與log45的大小，只要比較log34-1與log45-1的大小，只要比較ln4ln3-1與ln5ln4-1的大小，只要比較ln4-ln3ln3與ln5-ln4ln4的大小，只要比較ln43ln3與ln54ln4的大小.

因為43>54，

所以ln43>ln54.

又因為ln3ln54ln4.

所以log34>log45.

評析通過減數法將比較log34與log45的大小問題，轉化為比較log34-1與log45-1的大小，再通過分析法發現，只要比較ln43ln3與ln54ln4的大小即可.

解法7（構造函數比較大小）

設函數 f（x）=logx（x+1）（x>1） ，即

f（x）=ln（x+1）lnx（x>1）.

所以f ′（x）=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）（lnx）2.

而函數 g（x）=xlnx 在 （1，+） 上單調遞增，

所以g（x）-g（x+1）<0， 即f ′（x）<0.

所以f（x） 在 （1，+） 上單調遞減.

所以f（3）>f（4）.

即 log34>log45.

評析通過構造函數，研究函數的單調性，利用單調性比較大小，也是我們常用的一種策略，解題教學中要給予充分的關注.

3 解題反思

本題中兩個對數的底數和真數具有規律性，我們可以將它推廣到一般性結論.

性質1當a>1 時，loga（a+1）>log（a+1）（a+2）.

證明由解法7已知結論成立可知命題成立.

性質2當11 時， logab>logambm，

證明因為logab-logambm=logab-1-logambm-1=logaba-logamba

=1logbaa-1logbaam，

因為0

所以1logbaa>1logbaam.

所以logab>logambm .

性質3設b>a>1，n>0，m≥1， 則有

logam+n（bm+n）

證明因為ba=bmam>bm+nam+n>1，

所以lnba>lnbm+nam+n>0.

則lnb-lna>ln（bm+n）-ln（am+n）.

又因為0

所以lnb-lnalna>ln（bm+n）-ln（am+n）ln（am+n）.

即lnblna-1>ln（bm+n）ln（am+n）-1.

即lnblna>ln（bm+n）ln（am+n）.

因此logam+n（bm+n）

性質4若10，則

logab>log（a+n）（b+n）

證明性質3中當m=1時，可得性質4.

利用性質1、性質3、性質4我們可以輕松獲得log23>log34>log45，對于底數、真數呈現以上規律的對數我們可以快速比較大小，那么對于任意的底數不同、真數也不同的對數比較大小問題，我們能否獲得一般性的結論呢.通過引例的證明方法，我們可以得到以下幾條性質.

性質5①若11，xa≥yb，則logax>logby;

②若1

證明logax-logby=logax-1-logby-1

=logaxa-logbyb

=logbxalogba-logbyb

>logbxa-logbyb≥0，

所以①成立.

性質6①設 11，xaN≥ybN，則logax>logby;

②設 1

證明logax-logby=logax-N-logby-N

=logaxaN-logbybN

=logbxaNlogba-logbybN

>logbxaN-logbybN≥0，

所以①成立.

性質7若b>a>1，x，y>0則

（1）logax

logby

（2）logax>logbylogax>logbayxlogby>logbayx.

證明令m=logax，n=logby，則am=x，bn=y.可得bn=yxam，故有 bn-m=yxabm.

logax0bn-m>1

yxabm>1bam

logax

所以logax

同理可得logax

4 高考真題鏈接

例2（2013 年全國Ⅱ卷第8題） 設a=log36，b=log510，c=log714， 則（）.

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析根據性質5，因為1<3<5，63>1，63≥105，所以log36>log510；又因為1<5<7，105>1，105≥127，所以log510>log712，所以a>b>c.

例3（2020年全國Ⅲ卷理科第12 題）已知55 <84，134<83. 設 a=log53，b=log85，c=log138， 比較a，b，c的大小.

解法1a-b=ln3ln5-ln5ln8=ln3·ln8-（ln5）2ln5·ln8， 因為 ln3·ln8

由已知可得

5ln5<4ln8，4ln13<5ln8，

b-c=ln5ln8-ln8ln13，

因為ln5ln8<45， ln8ln13>45， 所以 b

所以 a

解法2根據性質5，若1<5<8，35<1，35≤58，則log53

根據性質6可知，比較log85，log138的大小，可以轉化為比較log85，log13885的大小（或者比較log138，log13885的大小），根據性質5，58<85138=6465<1，所以log85

所以log85

所以a

比較大小問題是經典的題型，教材中蘊含有多種解題方法，如作差法、構造法、單調性法、基本不等式法、不等式性質法、分析法、中間量法、圖象法等，充分挖掘教材中的解題方法，通過一題多解教學，培養學生的數學運算能力，促進數學思維的發展，培養學生發散思維能力，同時也讓學生進一步體會到不同知識之間的緊密聯系.通過對習題的拓展，學生依據從特殊到一般的推理，從特殊的命題log34>log45出發，得到一般性的命題：若b>a>1，n>0，m≥1， 則有logam+n（bm+n）

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2020年修訂版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.