也談幾何直觀的培養(yǎng)

程茂山

摘要：幾何直觀是根據(jù)非圖形表征的情境，作圖并用圖，也就是把圖形視為重要的語言，做好“圖形表征”和“圖形分析”。圖形語言具有直觀形象、簡明扼要的特點，可以很好地幫助理解知識和解決問題。小學數(shù)學教學中，培養(yǎng)圖形表征能力，需要引導學生根據(jù)情境特征，確定圖形類型，以及把握圖形本質(zhì)，完善圖意表達;培養(yǎng)圖形分析能力，則需要引導學生通過靜態(tài)觀察、動態(tài)操作，感知、發(fā)現(xiàn)圖形要素之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;圖形表征;圖形分析;小學數(shù)學

作為《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出的數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，幾何直觀“主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣”，包括“感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類;根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì);建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型;利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題的思路”，其“有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”。中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：8。

從內(nèi)涵及要素的角度看，幾何直觀其實就是根據(jù)非圖形表征（包括動作表征和符號表征等）的情境（包括現(xiàn)實情境和數(shù)學情境等），作圖并用圖，也就是把圖形視為重要的語言，做好“圖形表征”和“圖形分析”。從價值與作用的角度看，圖形語言具有直觀形象、簡明扼要的特點，可以很好地幫助理解知識和解決問題，因此，回顧數(shù)學史不難發(fā)現(xiàn)，“幾乎所有重要的概念最初都是從幾何（圖形）中來的”，“幾何（圖形）是數(shù)學思想的搖籃”。

下面就從圖形表征和圖形分析兩個方面談?wù)勑W數(shù)學教學中幾何直觀的培養(yǎng)。

一、圖形表征能力的培養(yǎng)

（一）根據(jù)情境特征，確定圖形類型

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，源于對現(xiàn)實世界的抽象。從表征的角度看，與數(shù)學有關(guān)的各種情境都可以利用圖形來表征或轉(zhuǎn)化為圖形表征。在小學數(shù)學教學中，教師可以引導學生根據(jù)不同的情境，選擇不同的圖形來表征（當然，情境特征和圖形類型不是嚴格一一對應(yīng)的，可以靈活選擇）。

第一，現(xiàn)實情境中的事物可以用示意圖表征，如用一個點（或圓圈、方框、三角形等）代表一個事物，用兩個點之間的連線代表兩個事物之間的關(guān)系。由此，可以方便地發(fā)現(xiàn)事物的數(shù)量屬性及其關(guān)系。

例如，“全班18人去公園劃船，租4只船剛好坐滿，每只大船坐5人，每只小船坐3人，則租的大船、小船各有多少只？”對此，可以畫出人坐船的示意圖（如圖1所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到“大船3只、小船1只”的結(jié)論。

再如，“南山中心小學舉行足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊，如果每兩支球隊比賽一場，則一共要比賽多少場？”對此，可以畫出4支球隊比賽關(guān)系的示意圖（如圖2所示），從而很容易數(shù)出一共要比賽6場。

這里特別值得一提的是，現(xiàn)實情境除了用文字（符號）語言來表征之外，也可以用真實或虛擬的場景或視頻來表征（本質(zhì)上屬于動作表征）。對此，轉(zhuǎn)化為圖形表征雖然不能凸顯直觀形象的價值，但是可以發(fā)揮簡明扼要的作用。

第二，現(xiàn)實情境中事物的數(shù)量屬性、抽象之后數(shù)學情境中的數(shù)，可以用幾何意義，如線段（或矩形、長方體等，即滿足一定幾何度量的圖形）、數(shù)軸上的點（即基于某一“標準”的幾何位置，與其構(gòu)成一定的幾何度量關(guān)系）來表征。由此，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果。

例如，“星河小學美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25，已知女生有21人，男生有多少人？”對此，可以借助數(shù)的幾何意義畫出線段圖（如圖3所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到男生有21×23=14（人）。

再如，計算12+14+18+116。對此，可以借助數(shù)的幾何意義畫出方塊圖（如圖4所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到結(jié)果為1-116=1516。

又如，計算“頭同尾合十”的兩位數(shù)乘法（如22×28）時，可以借助數(shù)及運算的幾何意義畫出矩形圖（如下頁圖5所示），從而通過圖形變換（如下頁圖6所示），引導學生發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律：兩個乘數(shù)個位上的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位的數(shù)，十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位前面的數(shù)。而且，利用兩數(shù)相乘的幾何意義，很容易說明乘法交換律以及乘法對加法的分配律等。

此外，在小學階段學習的各種統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等）本質(zhì)上都是將數(shù)（數(shù)據(jù)）用幾何意義來表征的。

事實上，尤其是對小學生而言，抽象的數(shù)需要借助現(xiàn)實的情境（情境中的量）來理解（如1個人、2棵樹、3個石子、4個珠子）。而人類在數(shù)學史的探究過程中發(fā)現(xiàn)，借助空間的度量來理解，既方便快捷，又符合自身感知的特點（視覺接受的信息最多，而且現(xiàn)代腦神經(jīng)科學研究表明，人類通常是通過“心理數(shù)軸”，基于直觀的空間及其變換來理解抽象的數(shù)及其關(guān)系與運算的。因此，數(shù)和形的聯(lián)系不斷加強，密不可分。這也就使看起來更像是物理學分支的幾何學（物理學主要研究真實存在的事物屬性，數(shù)學主要研究抽象之后的數(shù)量關(guān)系，而空間是真實存在的事物屬性——長度、面積等度量是有單位的，其中可以抽象出數(shù)量關(guān)系），變成了數(shù)學的分支（形式化了的數(shù)量關(guān)系，不管原來表示哪種事物屬性——比如表示時間，都可以轉(zhuǎn)化為表示空間屬性——比如表示長度）。

第三，現(xiàn)實情境中事物的空間形式可以抽象為幾何圖（也是一種“示意圖”）。由此，更容易研究其中的數(shù)量關(guān)系。

例如，“梅山小學有一塊長方形花圃，長8米，在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米，那么原來花圃的面積是多少平方米？”對此，可以畫出原來花圃和后來花圃的幾何圖（如圖7所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到原來花圃的面積為8×183=48（平方米）。

此外，小學數(shù)學中有一類典型的問題，即行程問題，描述的也是事物的空間形式，也可以抽象為幾何圖（一般為線段圖）來解決。

（二）把握圖形本質(zhì)，完善圖意表達

為了更好地理解和分析圖形中的數(shù)量關(guān)系，確定好圖形的類型后，教師需要引導學生充分把握情境信息，準確、全面地構(gòu)造圖形。

首先要把握圖形本質(zhì)。無論用圖形表示事物本身、數(shù)量屬性，還是空間形式，都要把握圖形所表示內(nèi)容的本質(zhì)——數(shù)量關(guān)系。因此，具體形式是點是線、是方是圓等并不重要，但數(shù)量關(guān)系一定要準確反映，不能畫多了或少了。比如，畫圖表示14，可以畫大小不同的多種圖形（正方形、長方形、圓等），可以按不同的方式分所畫的圖形（橫、豎、橫豎交叉等），但是都要平均分成4份，表示出其中的1份。

其次要完善圖意表達。構(gòu)圖的過程實際上是細致梳理、再次明確情境信息的過程。在把握圖形本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要注意完善圖意表達，以全面展現(xiàn)情境信息。首先，要在圖上標出已知（圖形表示）的每個數(shù)據(jù)。其次，要適當?shù)貥耸倦[含的信息。例如，針對“一個直角三角形，兩個銳角相差30°，求這兩個角的度數(shù)”這一問題，畫出直角三角形后，除了標出直角以及“兩個銳角相差30°”這個已知數(shù)據(jù)之外，最好再標示“兩個銳角和為90°”這個隱含的信息。

此外需要指出的是，對于信息比較多的情境，應(yīng)該完整閱讀情境信息，整體把握圖形各部分的關(guān)系，再從核心元素出發(fā)，補充次要元素，以合理的順序畫出全部的圖形，從而確保圖形構(gòu)造的準確、全面。例如，利用線段圖解決行程問題時，要在明確運動時間、運動方向和起止地點的基礎(chǔ)上構(gòu)圖，表示出研究對象的運動軌跡。

二、圖形分析能力的培養(yǎng)

經(jīng)過圖形表征，情境中的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為圖形要素（包括其中的基本圖形）之間的關(guān)系。為了更好地感知、發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，需要分析圖形要素之間的關(guān)系。其具體方式大致可以分為靜態(tài)觀察、動態(tài)操作兩種。

（一）靜態(tài)觀察圖形

一個圖形通常包含諸多要素。教師要引導學生觀察圖形，從不同角度抽取要素，感知、發(fā)現(xiàn)（猜測）它們之間的關(guān)系，得到有用的結(jié)論。

例如，面對問題“如圖8所示，矩形ABCD的邊長為1和x，分別以B、C為圓心，以1為半徑的兩段圓弧交于點M，若圖中的兩個陰影部分的面積相等，則x=”，教師可以引導學生發(fā)現(xiàn)，這一問題中的基本圖形除了矩形，還有兩個半徑為1、圓心角為90°的扇形;除了兩個面積相等的陰影部分，還有兩個面積相等的“扇形剩余部分”。由此，學生不難發(fā)現(xiàn)，兩個面積相等的陰影部分分別加上一個“扇形剩余部分”，得到的兩個圖形（如圖9所示）面積依然相等，而這兩個圖形加在一起就是整個矩形。于是，學生便能夠基于這一數(shù)量關(guān)系，利用扇形面積公式和矩形面積公式，得到方程2×14π×12=1×x，從而解決問題。

（二）動態(tài)操作圖形

有時，圖形要素之間的關(guān)系不夠明顯或簡潔。這時，教師可以引導學生操作圖形，讓圖形“動”起來，從而感知、發(fā)現(xiàn)（猜測）圖形要素之間的關(guān)系，得到有用的結(jié)論。

例如，常見的修路問題“一塊長方形地里有兩條小路（如圖10所示），路寬為2米，這塊地除了路之外還剩多少平方米？”這道題的核心數(shù)量關(guān)系是“總面積-路的面積=剩下的面積”。對此，一部分學生直接根據(jù)圖10先求出路的面積，再做減法;另一部分學生則通過平移操作得到圖11，發(fā)現(xiàn)剩下的面積就是除去路之后的長方形面積，然后求得結(jié)果。顯然，第二種方法更加簡潔，特別是在所修的路斜著（如圖12所示）時。

此外，求三角形內(nèi)角和、平行四邊形等圖形的面積、圓柱等圖形的體積等，都離不開讓圖形“動”起來。

最后需要指出的是，在信息技術(shù)不斷融入教育教學的當下，圖形表征和圖形分析（尤其是圖形的拆分組合和運動變化等）都可以利用有關(guān)軟件來輔助，以實現(xiàn)精準和高效。