拓展錯題資源，培養學生數學思維品質

宋友慧

摘要：在初中數學學習過程中，錯誤的產生是不可避免的。作為數學教師，我們首先要正確看待錯誤現象，同時也要善于挖掘錯誤資源并充分利用錯誤的教育價值，將其轉化為“錯題資源”，引導學生在分析錯誤、思考錯誤和改正錯誤的過程中不斷修正認知，鞏固所學知識，進而促進學生數學思維品質的深化與發展，進一步提升初中數學課堂的有效性。

關鍵詞：初中數學;錯題資源;思維品質

很多教師會對學生在學習過程中出現的錯誤持唯恐避之不及的態度，在解決方式上也是嚴厲批評學生，生硬地督促學生盡快訂正，卻很少引導學生對錯題原因進行剖析及分類整理。這樣的處理方式在很大程度上會使學生對“錯誤”產生恐懼感，進而對該學科的學習也產生排斥與畏懼心理，久而久之，造成的負面影響則是不可估量的。作為初中數學教師，我們要正確認識并充分利用學生出現的錯誤，將其轉化為促進教師調整教學行為、引導學生培養數學思維的有力武器，以此提升數學課堂的教學質量，推動學生的發展與進步。因此，從這個方向出發，本文主要圍繞追本溯源、對比辨析、變式練習及反思聚合這幾個方面展開具體探討，以發揮錯題資源在培養學生數學思維品質方面的積極作用，培養學生良好的數學思維與素養。

1? ?追本溯源，培養深度思維

錯題追本溯源是指要進行錯因剖析，這是非常重要的環節。只有在正確認識錯誤原因的基礎上，教師才能及時發現教學中的薄弱環節，反思并糾正自己的教學行為。學生也能結合錯因進行針對性的查漏補缺，修正錯誤認知，不斷完善個人知識體系。在這個過程中，學生的數學思維也會獲得縱深發展，有利于促使學生養成良好的思維習慣，提升學生的數學思維能力。

例如，以一道數學題目來講：已知關于x的方程（m-2）2 x2+（2m+1）x+1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（? ? ）？

A. m> 3/4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. m≥ 3/4

C. m>3/4且m≠2? ? ? ? ? D. m≥3/4且m≠2

學生的解答過程是：由題意，得a=（m-2）2，b=2m+1，c=1，則Δ=b2-4ac=（2m+1）2-4（m-2）2×1=4m2+4m+1-4（m2-4m+4）=20m-15>0，解得m>3/4，便選擇了選項A。但是，這樣的答案是錯誤的，教師可以讓學生再次讀題分析題意，看自己忽略了哪個條件。很明顯，學生的解答過程用到了根的判別式的知識點，對應題干后半句“方程有兩個不相等的實數根”的條件，計算過程也沒有問題，錯因就在于學生忽略了前半句話“關于x的方程”，方程有兩個不相等的實數根，那么此方程必為一元二次方程，所以二次函數的二次項系數（m-2）2≠0，學生的錯解就在于漏掉了m≠2這個隱含條件。通過對這道題的錯因分析，學生也意識到這類題目很容易忽略根的判別式使用的前提條件是一元二次方程，在解題時，要牢記二次項系數不為零的條件，暴露出學生的基礎知識不夠扎實，同時也了解了這類型題目的“陷阱”所在，效果較好。

一般來說，學生出現錯題的原因包括對知識的基本概念不清楚，對知識掌握的熟練度不夠以及不善于對問題進行整體系統思考，不能多維度地思考知識點之間的聯系，還包括粗心大意、計算失誤等。針對不同的錯因，采取的補救措施自然也不盡相同。因此，對錯題進行追本溯源、尋根問底是教師要重視的環節，并要結合錯因采取改進措施，提升學生分析問題、解決問題的能力。

2? ?對比辨析，培養批判思維

在新課標所倡導的教育理念中，學習不是教師將知識灌輸給學生，而是要讓學生自主建構和獲取。同樣，對待錯題，教師也應讓學生自主發現與探究問題所在，思考解決錯誤、修正認知的方法與策略。因此，教師可以利用對比辨析錯題的方式引發學生思考，讓學生運用批判性思維分析錯題，突破思維障礙。

例如，以分析拋物線與坐標軸的交點情況的數學題目為例，題目一：拋物線y=2x2+4x+c與坐標軸有兩個交點，則c的取值需要滿足的條件是______？題目二：拋物線y=2x2+4x+c與x軸有兩個交點，則c的取值需要滿足的條件是______？這兩道題目非常相似，很多學生認為這兩道題的解法都是應用根的判別式，已知有兩個交點，則判別式△=b2-4ac>0=42-4×2×c>0，解得c<2。用這樣的解法解答題目二是沒有問題的，但用這樣的思路解題目一就大錯特錯了。教師讓學生細致地對比這兩道題的不同，學生發現一個是與坐標軸有兩個交點，一個是與x軸有兩個交點，這才恍然大悟，坐標軸包括x軸和y軸，所以要解答題目理應結合圖像分情況討論。具體包括兩種情況：二次函數過原點，也就是拋物線與x軸、y軸都有唯一交點，只需要將（0，0）代入解析式得c=0;再一個是△=0，拋物線與x軸與y軸各一個交點，解得c=2。就這樣，通過對比可以使學生更加直觀地認識到這類題目的考點與易錯點，有助于加深學生的印象。

也就是說，批判性思維可以促使學生透過錯題現象洞悉知識本質，形成良好的獨立思維判斷力。之所以很多學生會出現同類型錯題反復出現的情況，一個很重要的原因就是學生缺乏對錯題的深入思考與批判性認知，仍停留在簡單的訂正上，這樣產生的學習效果微乎其微，需要引起教師警覺，防止學生進入無效訂正與刷題的惡性循環中。

3? ?變式練習，培養創新思維

在經過追本溯源、對比辨析的錯誤反思環節之后，接下來要讓學生及時訂正錯題，并通過多次變式訓練、錯題重考等形式加深學生對數學知識的理解與掌握程度，避免同類型錯誤反復出現。變式練習的方式可以幫助學生從多變的考查形式中理解知識的本質，把握不變的規律，能起到幫助學生鞏固完善知識體系的作用。同時，教師在題目的形式變化上也可以創新，提升學生習題訓練的興趣與積極性，培養學生創新思維的品質。

例如，以解三角形知識點相關的易錯題來說，學生很容易出現三角函數定義不清晰、邊角關系混淆的錯誤，比如，在Rt△ABC中，如果將各邊長都擴大為原來的2倍，那么銳角A的正切值（? ?）？學生若給出擴大2倍的答案則證明對三角函數的定義掌握得不夠，教師可以引導學生利用畫圖分析的方式進行思考，明確三角函數在本質上只是一個比值，銳角A的正切值不變。教師通過相應的變式題目幫助學生針對性地鞏固了相關知識點，克服了思維障礙。

也就是說，變式練習是對學生普遍存在的錯題進行不同角度、不同層次、不同情形的變式，通過暴露問題的本質特征深化學生認識的一種教學策略。教師要善于通過變式練習等方式培養學生思考問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生在已有經驗的基礎上進行創新創造，對問題進行多角度、多渠道的思考，理解數學知識的本質，這樣才能幫助學生消除思維定式的影響，有效訓練學生思維的完整性與創造性。

4? ?反思聚合，培養建構思維

在建構主義學習理論中，學生學習的過程不是由教師向學生的傳遞，而是自己建構知識的意義，獲得思維發展的過程。那么，建構思維就可以理解為學生在學習中不斷進行思考，通過理解和建構新的知識和信息豐富原有的知識經驗，實現新的認知平衡的思維方式。這就啟示教師要重視錯題反思的重要性，讓學生從錯題中收獲知識的鞏固與思維的深化，使之形成再生資源，幫助學生養成良好的學習習慣。

例如，二次函數相關的題目是初中數學考查的重點內容，教師在平時的訓練中不僅要指導學生分析與訂正錯題，同時也要引導學生對錯題進行分類整理，總結常出現的易錯點并記錄下來，形成體系。如二次函數考查題目中的易錯點包括忽略字母系數的限制條件，學生常出現的錯誤還包括判斷二次函數y=ax2的增減性時未分類討論、忽略頂點式y=a（x-h）2+k中的符號、函數圖像平移時出現方向錯誤、求二次函數最值時忽略自變量的取值范圍等。教師要利用好這些易錯題資源，帶領學生歸納總結，幫助學生以分類整理錯題的方式系統地完善與充實個人的知識體系。

心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻。”錯誤本身并不可怕，它的出現可以暴露學生平時學習時的知識漏洞，或者缺乏把知識內化的能力。針對不同的錯誤，教師要引導學生深刻地反思與剖析，對知識點進行分析和總結，以減少在同類題型或者同一知識點出現錯誤的頻次，進而幫助學生提高學習效率，并對后續學習進行調整與優化。

5? ?分解推理，培養邏輯思維

推理是數學核心素養之一，也是學生學習數學的基本方式。很多學生出現數學錯題的原因就在于對問題本身未進行有效的挖掘與推理，對題目中的信息不能充分利用。因此，教師在帶領學生剖析錯題的時候，要注重引導學生樹立捕捉信息、處理信息的意識，強化信息處理能力與推理能力，在此基礎上推動學生逐步形成與發展邏輯思維意識與能力。

例如，對于定理分析的數學題目來說，需要學生對數學定義及概念進行深入剖析，將定理及相關推論真正理解透徹。下列說法錯誤的是（? ? ）？

A過一點有且僅有一條直線與已知直線平行

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.若a□b，b□c，c□d，則a□d

D.同一平面內，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它與另一條也相交

在解答這道題目的時候，很多學生選擇的選項是B或者C，這暴露出的就是學生對于平行公理及其推論沒有理解透徹。教師要讓學生逐一理解選項，首先我們來看A選項，看似表述跟平行定理非常相似，但卻少了至關重要的一個條件，那就是“過一點”一定要為“直線外一點”，否則就和已知直線重合了，這時過一點有且僅有一條直線與已知直線平行就不成立，所以A選項的說法是錯誤的。B選項和C選項都是平行定理的推論，如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行，且對三條或三條以上的平行線都具有傳遞性，所以B選項和C選項都是對的。D選項中同一平面內，若一條直線與兩平行線中的一條相交，那么它與另一條也相交，根據相交與平行的關系可得也是正確的。所以，通過逐一分解推理可得，選項A的說法是錯誤的。教師在剖析這類型錯題時，不僅要關注學生的答案是否正確，還要讓學生逐一解釋每個選項為什么正確，錯誤的錯在什么地方，這樣才能有效加深學生對相關數學定理及推論的理解與記憶，加深對知識的印象。

學生的學習是連貫的，相互影響較大，一道綜合性的題目可能會涉及不同年級、不同階段的知識點，這就對學生的邏輯思維能力及靈活應用知識的能力提出了很高的要求。作為初中數學教師，我們不僅要利用錯題資源幫助學生培養邏輯思維能力，還要將其融匯在日常教學過程中，從點滴做起，為學生的數學思維品質培養奠定基礎。

6? ?聯系對比，培養發散思維

在糾錯、改錯上，如果學生只是錯一道題、改一道題，不對同類型的題目進行有意識的聯系對比，那么就很容易出現相同錯誤反復發生的情況，學生也很難得到長足的進步與思維能力的提升。因此，要想將錯題拓展為有效的教學資源，教師就要善于引導學生就相似的錯題展開對比分析，從中總結該類型題目的“陷阱”所在，實現知識的良性遷移。

例如，以實數相關的內容來說，題目是這樣的：一個非負數的平方根是2a-1和a-5，求這個非負數______？很多學生出現的錯解是9或81，原因就在于錯誤地理解了問題中對應的情況，誤認為此時有兩種情況，2a-1和a-5相等或者2a-1和a-5互為相反數。但通過對題目的推理，要滿足一個非負數的平方根是2a-1和a-5，只存在一種情況，那就是（2a-1）+（a-5）=0，解得a=2，所以這個非負數是（2a-1）2=（2×2-1）2=9。在此基礎上，教師可以趁熱打鐵，再讓學生通過習題訓練辨析和理解這類型題目，如已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a和m的值。這種題目就需要學生進行分情況推理分析。所以我們綜合兩道題目來看，一方面是要讓學生學會判斷情況，選擇正確的情況求解;另一方面則需要學生綜合考慮題目中的條件，學會分情況討論。這樣的易錯題訓練對于促進學生的發散思維能力發展有很大幫助。

學生在就錯題展開聯系對比、拓展延伸的時候，其發散性思維能力也能得到一定的發展。在這個過程中，學生的思路要不拘泥于一個途徑、一個方法，向各種可能的方向擴散，從而有利于促使其從不同角度、不同方面和不同關系去思考問題，厘清問題的易錯點，準確分析錯誤及其成因，真正發揮錯題資源的價值，幫助學生掃除思維死角，探究有效的糾錯措施。

總而言之，通過對錯題進行針對性分析與訂正，可以在培養深度思維、批判思維、創新思維及建構思維方面發揮積極作用。當然，這只是教師轉化與利用錯題資源的一個方向，其與初中數學課堂的融匯點還有很多，需要教師在具體的教學實踐中不斷思考與探索，這樣才能巧妙合理地利用錯題資源，讓學生在糾錯中發散思維，獲得進步，有效提升學生的數學學習能力和教師的數學教學能力。

參考文獻：

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