立足“落差”，巧妙設置問題

張春曉

[摘? 要] 高中數學教學尤其關注學生在學習過程中的自主性、實踐性與開放性等. 實踐證明，真正意義上的深入、高質量的數學教學，必定少不了探究的成分. 巧妙地設置問題是引發學生產生探究行為的基礎，也是當今課堂重要的組織形式. 文章認為，尋找“落差”是合理設置問題的前提，理解“落差”是科學設置問題的基礎，轉化“落差”是巧妙設置問題的關鍵.

[關鍵詞] 落差;問題;數學思維

設置問題是指在教學的關隘處，創設具有啟發性的疑問，以激發學生思考與自主學習的一種教學手段. 問題是聯系師生思維同頻共振的紐帶[1]. 陶行知認為，“發明千千萬，一問是起點，智者問得巧，愚者問得笨.”可見問題對教學有深遠的影響，教師設計的每一個問題都要問得巧、問得妙、問得恰到好處，久而久之能有效地開啟學生的思維，提高學生的數學素養.

當前，高中數學課堂中存在一種現象，即學生對知識的理解程度與知識本質間存在一定的距離，簡稱落差. 想要克服這種現象，需要教師設置合適的問題，以縮短學生的理解與知識本質間的落差. 鑒于此，設置問題于這種“落差”處，是值得每個教師探討的話題.

[?] 尋找“落差”是合理設置問題的前提

羅丹認為，“世界上并不缺少美，而是缺少一雙發現美的眼睛.”數學課堂中，學生的理解與知識本質間的落差一直存在，就看教師是否具備發現這種客觀存在的能力.

案例1 “集合間的基本關系”教學.

有學生認為 并非A的子集，出現這種認識的理由為：若空集中沒有任何元素，那就不存在 中的元素屬于集合A，這與子集的定義不相符. 從學生所闡述的理由分析，可以看出學生在理解“空集為任何集合的子集”這句話上出現了認知與知識實際間的“落差”. 面對這個落差，教師可作如下引導，讓學生自主發現并解決這個落差：

第一步：

問題1：同一句話，常有不同的表達方式，現在我們來看看下面這幾句話是否為一個意思：①我們班的所有學生都待在教室里;②我們班沒有學生不待在教室里.

從這兩句話來看，學生很容易得出，這是同一句話的兩種表達方式，所表達的意思是等價的.

第二步：

問題2：已知集合A為集合B的子集，也就是說集合A中的任何元素均屬于集合B，模仿以上等價的表達方式，可以怎樣換一種說法？

學生經過思考后提出：已知集合A為集合B的子集，也就是說集合A中沒有元素不屬于集合B.

第三步：

問題3：空集 和任何集合A， 中是否存在不屬于A的元素？（ 并不包含任何元素，固然沒有不屬于A的元素）

至此，學生頓時恍然大悟. 此處設置問題的精妙之處就在于問了學生在概念理解中缺乏“等價”而造成的“落差”，這些問題就如同一個撬起學生思維的“支點”，學生的智慧大門隨之開啟，如此設計問題的教學效果遠遠超越機械性記憶.

實踐證明，類似于此的現象在高中數學課堂中較為常見，關鍵就看教師是否擁有善于發現的慧眼. 如“幾何概型”的教學中，筆者就發現了不少學生存在的“落差”，如了解了幾何概型包含無限多的事件后，該怎樣“度量”這些事件發生的可能性呢？怎樣將這種度量自然地與區域測度（長、面積與體積等）相關聯呢？……

結合學情分析，學生出現這些“落差”都是因為對概念的理解缺乏深度或廣度，從而出現了“沒注意”或“沒想到”的情況. 從筆者的執教經驗來看，這些“落差”都是教師巧妙設置問題的“點”，若以這些點帶面，則能讓學生更好地理解其中的“落差”，從根本上解決問題.

鑒于此，教師設置問題前要反復揣摩學生與教材，加深對學情與教學內容的理解程度，盡可能從學生的視角去發現并理解知識的本質與學生認知間存在的“落差”，這是將課堂提問邁向“小而實”的基礎，也是合理設置問題的基本前提.

[?] 理解“落差”是科學設置問題的基礎

發現“落差”是合理設置問題的前提，理解“落差”則是科學設置問題的基礎. 概念解讀體現了教師的專業水平，課堂中發現學生的“落差”彰顯著教師敏銳的洞察力，而理解學生這些“落差”形成的原因以及采取應對措施體現教師的教學能力. 因此，高屋建瓴地搞清楚數學概念的內涵與外延，是獲得知識本質的根本[2].

案例2 “直線的斜率”教學.

本章節教學時，有一個容易被忽略的問題：在已知傾斜角概念的情況下，已經能刻畫出直線的傾斜程度，為什么還要研究斜率的概念呢？定義直線斜率時，用的是k=tanα，為什么不用k=sinα或k=cosα呢？

這是一個實實在在的“落差”，從教材角度出發，可以做出如下解釋：通過復原斜率的形成過程，可發現直線上的動點（x，y）和傾斜角（不變量）并不能建立直接的關系，而需代數化傾斜角，如此才能將變量（x，y）和不變量（斜率k）建立關系.

代數化傾斜角時，用正切而沒有用正弦或余弦，主要原因是正切函數具有單調遞增特征，也就是說不論角為銳角還是鈍角，傾斜角越大，那么斜率則越大，而正弦、余弦這兩類函數無法達到如此的實際效果. 從長遠的角度來看，后繼的導數學習，正切值其實就是直線的瞬時變化率，由此也能看出數學知識間的關聯性與系統性.

若將設置問題的目光瞄向這些小又確實存在“落差”的地方，緊扣這些“落差”進行探究，繞到知識的本質上去瞧一瞧，會讓學生感知這些“落差”后面的實質，對學生的思維能起到重要的引導和促進作用.

案例3 “四個命題”教學.

“四個命題”的教學中，不少教師備課時對教材中所提及的問題“原命題、否命題、逆命題、逆否命題的真假具有怎樣的聯系”感到有些棘手. 同樣，學生也不容易理解這部分內容，遇到此問題時，不少學生選擇了逃避的方式去對待，從而導致一知半解.

教參分析這個問題時，建議學生結合已有的認知結構與教材中所呈現的例題，自主歸納、總結、提煉出：原命題和逆否命題同時是假的或同時是真的，逆命題和否命題同時是假的或同時是真的，也就是說互為逆否命題的兩個命題是同真假命題.

實際教學活動過程中，通過幾組例題的分析與研究，可以總結出：互為逆否命題的兩個命題的真假是一致的，這個結論雖然沒毛病，但從學生的角度來說，確實有點突然，也有不少學生認為這個結論來得不夠嚴謹，并沒有達到知其然且知其所以然的地步. 鑒于此，筆者思考：何不圍繞這個“落差”，引導學生探究一下這個問題的本質呢？于是帶著這個想法，進行了如下教學：

源于此設置問題，教師可作此解釋：從集合的角度來分析，命題“若p則q”，即滿足條件p的所有元素構成集合A，滿足條件q的所有元素構成集合B，若命題“若p則q”成立，則代表任何x∈A，必定x∈B，也就是A?B，因此若x?B，則必然x?A，即逆否命題“若非q則非p”必然成立.

同樣，以類似于集合的觀點，還可以描述后繼遇到的新內容，如充分條件、必要條件、充要條件之間的關系. 由此及彼，只要徹底理解一類邏輯推理的規則與方法，即可形成一種系統的邏輯推理能力.

[?] 轉化“落差”是巧妙設置問題的關鍵

課堂中的每個問題并非隨隨便便就提出來的，問題“這一棒”究竟該打在什么地方呢？實踐證明，設置問題的“點”，應該在學生對概念有所了解，卻無法利用概念去自行解決問題，同時大部分學生在自主探究與教師的點撥下又能完成之處. 這也就是維果斯基最著名的最近發展區理論，將問題設在學生的最近發展區內，可讓學生“跳一跳，摘到桃”.

設置問題的契機把握好了，就要教師去尋找創設問題的難度與學生認知間的“落差”點，一個充滿智慧的問題，是學生思維的腳手架，學生的數學思維能沿著問題的臺階拾級而上，對知識的理解越發深入、廣泛、透徹，為建構完整的認知體系奠定基礎[3].

教師掌握了學生的“落差”，也知道提問勢在必行，但究竟該如何轉化問題呢？相同的內容，使用不同的提問技巧，所形成的教學效果也是千差萬別的. 陶行知先生認為，發明千千萬，起點為一問. 可見，這一問何其重要.

案例4 “等比數列的前n項和公式”教學.

本章節是高中數學的重中之重，堪稱經典教學內容之一. 其中，錯位相減法是推導數列求和公式的典型方法，也是數列求和問題的基本解法之一. 教師都明白這部分知識的重要性，但教材是直接呈現錯位相減法的，學生面對這部分知識，因缺乏一個深入理解的過程，呈現出了“落差”. 不少教師和學生都意識到了這個問題，只是一時半會不知從何著手填補這個“落差”.

課堂中，大多數教師會在此處帶領學生嘗試應用一定方法去探索錯位相減法，筆者也有所嘗試，但效果并不十分理想. 因此，有些教師就放棄了引導學生探索的過程，依然采取直接告知的方式. 這種處理方式顯然過于粗暴，學生并沒有從本質上理解這種推導方法，應用時難免會錯誤百出.

鑒于此，筆者通過查閱資料，并結合學生實際認知水平與認知特點，經過多輪嘗試，取得了較好的成效，現整理如下：

問題1：等比數列{a}的前n項和S=a+a+…+a中，有n個未知量，我們可以怎么計算呢？

生：S=a+aq+…+aqn-1=a（1+q+q2+q3+…+qn-1）.

問題2：怎么求B=1+q+q2+q3+…+qn-1？

……

問題3：怎么將B=1+q+q2+q3+…+qn-1特殊化？

生：取公比q與項數n的一些特殊值，如q=1，則B=n.

問題4：若q=2呢？假設T=1+2+4+…+2n-1，將n取特殊值，可得什么結果？

問題5：能猜想出B=1+q+q2+…+qn-1=qn-1的結論嗎？（顯然q=3就不成立）

問題6：如果D=1+3+32+…+3n-1，那么D和3n-1具有怎樣的關系呢？（猜想D=）

問題7：當q=2時，T=2n-1;當q=3時，D=. 在一般情況下，B=1+q+q2+…+qn-1等于什么？是否可以考慮取q=4進行嘗試？

生：當發現Y=1+4+42+…+4n=時，猜想1+q+q2+…+qn-1=（q≠1），則S=a+aq+…+aqn-1=（q≠1）或S=（q≠1）.

師：通過以上問題的解決，大家可以歸納出等比數列前n項和公式了嗎？

生：目前還不行，以上問題的解決過程，雖然獲得了一定結論，但都屬于猜想，至于其是否正確，還有待周密、嚴謹地證明.

師：那我們怎么證明以上公式是否成立呢？

生：當q=1時，S=na是成立的;當q≠1時，想要證明S=，需要證明S（1-q）=a（1-qn），想要證明此式，需要把等式S=a+aq+…+aqn-1①的兩側同時乘上公比q，得到qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，于是①-②=S（1-q）=a（1-qn），得Sn=.

師：式①右邊的“n-1”項和式②右邊的“n-1”項錯位相同，兩式相減時，消除相同的“n-1”項，這就是本節課的重要內容之一——錯位相減法.

隨著“問題串”的應用，將知識逐步轉化，逐層引導. 學生對錯位相減法認識上的“落差”，隨著一個個問題的突破而化整為零. 同時，學生的思維也隨著循序漸進的問題而逐漸深入. 此過程中，問題既為學生的思維提供了階梯，又充分展示了設置問題的梯度與角度，有效地啟發了學生思維的寬度與廣度.

與之類似的“平面與平面平行的判定定理”教學，教材對此定理提出的要求為直觀感知與操作確認. 學生在實際操作、觀察與感知中，對于為什么該定理要強調兩條直線而不是一條直線，形成了認知上的“落差”. 同時，這兩條直線為什么一定要相交呢？如果不相交可不可以呢？

基于以上幾個“落差”，筆者教學時提出了以下幾個問題：①若一條直線和平面是平行的關系，是否可以判定面面平行？可以找出反例進行驗證嗎？②定理中強調了“兩條相交直線”，如果兩條直線不相交，可否判定面面之間是平行的關系呢？是否有反例可以證明？③通過前面反證法的應用，現在是否可以證明該定理呢？

通過以上巧妙的問題設置，為學生的思維打開了一扇智慧之門. 由此可見，理解并應用好“落差”，往往能給教學帶來新的生命與活力.

總之，設置問題即是一種教育技巧，也是一種教育藝術. 一個好的問題是課堂的潤滑劑，亦是學生思維的催化劑. 因此，一線的數學教師，應有意識地增強自身的設置問題技巧，緊扣學生認知上的“落差”，從不同的角度去轉化問題，讓問題具備細致、小巧、實用等特征.

參考文獻：

[1]? 涂榮豹，王光明，寧連華. 新編數學教學論[M]. 上海：華東師范大學出版社，2006.

[2]? 羅增儒. 中學數學解題的理論與實踐[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.

[3]? 許興震. 設計有價值的問題 促進學生自主建構——以“兩角和與差的余弦”為例[J]. 數學通報，2019，58（01）：36-40.