轉換思維，解決初中數學題中的最值問題

陳煒煒

【摘要】幾何圖形的最值問題是初中數學中常見的問題，旨在考查學生綜合運用數學的能力以及如何轉化數學思維的能力.教學中，教師要注重分類，讓他們轉化思維，進而提升解決問題的能力.

【關鍵詞】初中數學;解決問題;最值問題

最值問題是初中數學教學的部分內容，教師要通過這一專題的訓練，讓學生形成一定的數學思想，掌握一定的解題思路，進而促成數學素養的生成.最值問題涉及的內容比較多，需要運用的認知也多，大多時候題目在表面上就呈現出很復雜的樣子.教師要引導學生學會轉換，以促進問題的解決.

1要讓學生掌握基本的原理與圖形

一般來說，初中幾何涉及到的最值問題它最基本的原理就兩個，一個是兩點之間，線段最短：另外一個是點線之間，垂線段最短.所以教學中教師要引導學生從這兩個原理出發，再一步步地漫溯.萬變不離其中，所有復雜的問題都會轉到這兩個原理上來.基于這兩個原理，學生要掌握兩個對應的基本圖形.如圖1、圖2示.

當然就兩個原理而言，可以派生出多種情況來，比如說，由兩點之間，線段最短可以派生出三角形兩邊之和大于第三邊：點圓之間，點心線截距最短.由點線之間，垂線段最短可以派生出平行線之間，垂線段最短：線圓之間，心垂線截距最短等.除了對原理進行轉化之外也要對題目的問題進行轉化，比如在中，圓的半徑為6，，AC是的切線，則 CD的最小值是多少.

學生是這樣轉化題目問題的，由就知道弧AD是一定的，也就是說 D是定點.同時學生由題目的意思知道 C是直線AC上的動點，他們這樣轉化著，題目要求的就是定點 D到定線 AC的最短路徑，換言之就是要求 CD⊥AC.可以這樣說，抓住圖與基本原理就是解決最值問題的核心.學生首先要能對原理有理性的認識，再將其轉化為圖，形成一定的感性認知.

2學生可通過平移的方法解題

在求最值時，學生有時候會運用到幾何中平移的概念.也就是說，他們在計算具體題目時，可將平移的認知運用到題目的解決中，進而促成問題的化解.例如：如圖4所示，的半徑為1，AB=1，若點 A，B都在直線上，AB=1，記線段 AB到的"平移距離，為d1，求d1的最小值.

學生首先要理解平移的概念，接著要將最小值轉化為求具體的線段，再接著要將平移之后相應的線段求出來，進而推出要求的結果.也就是說，學生可先作等邊△OEF，由點 E 在 x 軸上，求得：OE=EF=OF=1.再接著學生創造性使用條件，設直線交x軸于 M，交 y軸于 N.得出 M（ -2，0），當學生過點 E作EH⊥MN于 H時，他們就知道 EH 就是要求的最短距離.他們先是得出 OM=2，，進而得出，最終得出 EH=EM . .對于平移方法來說，學生首先要能理清其基本的含義，其次要能將平移的性質運用起來，以讓他們將平移前移后的數據融合起來，相互求證，促成問題的轉化.

3學生可通過創設假想圓解題

在求幾何圖形中的最小值時，教師可引導學生將相關的條件放到圓中去.因為放置圓中，就能在點圓之間得出，點心線截距最短的結論;在線圓之間就能得出垂線截距最短的結論;在圓與圓之間就能觀察到連心線截距最短.換言之，如果學生就著原圖假想出圓，相關的結論就更容易發現.

例如：

對于第一問，學生先是猜測可能相等，接著如圖5所示，他們過點A作AMLFD交FD的延長線于點M ，進而證明四邊形AEFM是矩形.再接著學生由“AAS”就可以證明△AEB AAMD，進而推出BE-DM，AE=AM.進一步地，學生可推出矩形AEFM是正方形﹐因此EF= MF，MF=DF+ DM，EF一DF+BE.教師創設第一問也是減輕第二問的難度，給最值問題以鋪墊.

對于第二問，他們先是如圖6所示，取AB中點O，連接OC，由勾股定理可求OC=5.接著他們就假想出一個圓來，即，點E在以О為圓心，OB為半徑的圓上，進而可以推斷當點E在OC上時，CE有最小值.具體地說，由，推出，再進一步推出.同時由二AEB一90°，能假想出點E在以О為圓心，OB為半徑的上.因為有這樣的假想，所以當點E在OC上時，CE有最小值.對于最值問題，學生在心中首先要有一個盤算，即一般有哪些問題，需要運用到哪些認知，進而再對著具體的題目，進行充分地想象，要將最值問題放到最適合的圖像中去.

4學生可通過轉換線段解題

在求某某線段最值的時候，學生會發現直接求解是很困難的，教師可指導學生將相關的線段進行轉換，以使問題變得簡單，以使結論昭然而來.

5小結

本文從四個方面對初中幾何中的最值問題進行了粗淺的研究.學生要掌握一些常見的思維轉化的方法，要將復雜的問題簡單化;要將間接的結論直接化;要將孤立的圖形關聯化.總而言之，就是通過最值這一系列的題目實現學生思維的轉換，進而促進他們能力的提升.