例講二次函數與一元二次方程習題

張舒

【摘要】二次函數與一元二次方程是初中數學的重點與難點.為使學習者清晰地認識兩者之間的關系，掌握解答相關習題的思路與方法，促進其解題能力有效地提升，習題教學中應做好相關習題的篩選與講解，并做好解題的點評，使學習者更好地把握解題細節.

【關鍵詞】初中數學;二次函數;一元二次方程

眾所周知，二次函數與一元二次方程在一定程度上可以互化[1].為更好地解答二次函數一元二次方程習題，通過例題的講解為學習者展示兩者之間互化的具體過程，把握互化的注意事項，促進其解題能力的有效提升.

例1 已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，4），B（2，4），則關于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解為.

解析 由拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，4），B（2，4）可得，ax2+bx+c=4時x=-1或x=2.由a（x-3）2-4=3b-bx-c，可得a（x-3）2+（x-3）b+c=4.則y=a（x-3）2+（x-3）b+c圖象可看做由y=ax2+bx+c圖象向右平移三個單位得到，對應的x=-1+3=2或x=2+3=5，即，關于x的一元二次方程a（x-3）2-4=3b-bx-c的解為x=2或x=5.

點評 該題較為抽象，技巧性較強，間接地考查二次函數圖象的平移問題.解題時需要認真觀察，巧妙的變形構建已知與要求解問題之間的聯系.拋物線表達式中含有三個參數，因此，將兩個點的坐標代入并不能求出其具體的值.解題時需要另辟蹊徑，運用二次函數與一元二次方程之間的關系，借助圖象平移進行巧妙解答.

例2 關于x的一元二次方程ax2+bx+12=0，有一個根是-1.若二次函數y=ax2+bx+12的圖象的頂點在第一象限，設t=2a+b，則t的取值范圍是（? ）

（A）-1

（C）-12≤t<12. （D）12

解析 由一元二次方程ax2+bx+12=0，有一個根是-1，將其代入得到：a-b+12=0，即，b=a+12，由t=2a+b，可得a=2t-16①，b=2t+26②;

又由二次函數y=ax2+bx+12的圖象的頂點在第一象限，可得-b2a>0，12-b24a>0;

將①②分別代入解得-1

點評 解答該題需要充分運用已知條件進行等價轉化，尋找相關參數之間的不等關系.該題難度不大，解題的關鍵在于能夠理解題意，構建參數之間的內在聯系.但是該題運算量較大，運算時應認真，細心.

例3 已知關于x的一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0（m

（A）m

（C）a

解析 根據題意將一元二次方程：x2-（m+n）x+mn+3=0，拆分成y=x2-（m+n）x+mn和y=-3;對于y=x2-（m+n）x+mn，令其值為0，則由根與系數的關系可知，其兩根分別為m、n.

由函數圖象可知，a、b為y=x2-（m+n）x+mn和y=-3圖象交點的橫坐標.

在同一平面直角坐標系中畫出其圖象，如圖1所示：

由圖可直觀地看到m、n、a、b的大小關系為m

點評 該題考查學習者對二次函數以及一元二次方程關系的理解深度，難度中等.解答該題需要具備靈活的思維，結合函數圖象加以巧妙地分析.該題給出的已知條件雖然較為簡單，但是解題難度較大.如沒有正確思路，很難得出正確答案.解題的關鍵在于將方程拆分成兩個函數，而后聯系二次函數與一元二次方程之間的關系，運用數形結合思想進行作答.

例4 拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=2，若關于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t為實數），在1

（A）0≤t<8或t=-1. （B）t≥0.

（C）0

解析 該題需要先根據已知條件求出b的值，而后將問題轉化為方程對應的二次函數和x軸在1

由拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=2，可得x=-b2=2，則b=-4，則關于x的一元二次方程為x2-4x+3-t=0.

根據題意可知該拋物線的對稱軸為直線x=2.

當該拋物線和x軸只有一個交點，此時滿足題意，即，Δ=16-4（3-t）=0，解得t=-1.

當該拋物線和x軸只有兩個交點，即，Δ=16-4（3-t）>0，解得t>-1.

由拋物線的對稱性可知，要想滿足題意，當x=1時，x2+bx+3-t≤0且x=5時，x2+bx+3-t>0，解得0≤t<8，

即，此時t的取值范圍為0≤t<8;綜上可知t的取值范圍為0≤t<8或t=-1，選擇A項.

點評 該題難度較大，很多學習者并不能從已知條件以及函數圖象抽象、概括出對應的不等關系.究其原因在于其不能正確運用二次函數圖象的對稱性，因此，實踐中可借助多媒體技術為學習者動態的展示函數圖象，以幫助學習者更好地理解，真正地吃透與掌握該種習題的解題思路[2].

綜上所述，二次函數與一元二次方程聯系緊密.為提高學習者解答相關習題的能力，應做好基礎知識講解[3].同時，還應在課堂上與學習者一起剖析相關習題解題思路，暴露出學習者學習不足的同時更好地拓展其視野，啟發其在課下多進行總結與反思，自覺堵住知識漏洞，積累解答不同習題的經驗與技巧.

參考文獻：

[1]靳瀟涵，謝祥.兩個“二次”手牽手——二次函數與一元二次方程的綜合應用[J].今日中學生，2022（Z3）：25-31+80.

[2]盧奕.初中數學探究式教學的實踐——以“二次函數與一元二次方程”為例[J].中學數學教學參考，2021（33）：3-4.

[3]張開.初中數學中的“三角”關系——“二次方程、二次函數、二次不等式”之間的關系[J].中學生數學，2020（14）：7-8.