初中數學綜合題的解題教學

孔文進

【摘要】初中數學綜合題考查的知識點較多，難度相對較大.教學實踐中，為提高學生解答綜合題的能力，增強其學習的自信心，應結合具體例題，認真落實解題教學活動，給學生帶來良好的解題啟發.

【關鍵詞】初中數學;綜合題;數學解題

綜合題是初中數學非常重要的一類題型，在中考中常作為壓軸題出現.為使學生掌握解題的相關思路與技巧，避免在解題中走彎路，應做好初中數學綜合題題型匯總以及解題示范.

1 “圓”綜合題的解題教學

“圓”是初中數學中的重要幾何圖形.解答與圓相關綜合題應認真審題，充分挖掘題干中的隱含條件，尤其為更好地找到解題思路，可從問題出發，逆向推理，構建與已知條件之間的關系實現順利突破目標.

例1 如圖1，圓O是△ABC外接圓的圓心，其中BC為直徑，長為16.D為圓外一點，∠ACD=∠B.點E為AC的中點，弦FG過點E，且EF=2EG，連接OE.

（1）求證：CD為圓O的切線;

（2）求證：（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF;

（3）當FG∥BC時，求弦FG的長.

（1）證明：由BC為圓O的直徑，則∠A=90°，∠B+∠ACB=90°，而∠ACD=∠B，則∠ACD+∠ACB=90°，∠BCD=90°，BC⊥CD，則CD為圓O的切線，得證.

（2）證明：連接AF，GC，則∠AFE=∠ECG，而∠AEF=∠GEC，則△AFE∽△GCE，則AEEF=EGCE，即，AE·CE=EG·EF.因點E為AC的中點，則AE=CE，即，CE2=EG·EF.又因O為圓心，則OE∥AB，∠A=∠OEC=90°，則△OEC為直角三角形.由勾股定理可得：CE2=OC2-OE2=（OC+OE）（OC-OE），即，（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF，得證.

（3）延長EG與CD交于點M.過點O作ON⊥FE于點N.因BC=16，則OC=8，因FG∥BC，則四邊形OCMN為矩形.設EG=x，則EF=2x，FG=3x，NG=1.5x，則NE=0.5x，EM=8-0.5x，由（2）可知OC2-OE2=2x2=CE2，OE2=OC2-2x2=64-2x2.在直角△ONE中ON2=OE2-NE2=64-2x2-0.25x2=64-2.25x2.在直角△CME中，由勾股定理可得CE2=EM2+CM2，而CM=ON，則2x2=（8-0.5x）2+64-2.25x2，整理得到：x2+2x-32=0，解得x=33-1，則FG=3x=333-3.

2 “四邊形”綜合題的解題教學

初中階段學習的四邊形主要有平行四邊形、矩形、正方形、菱形.開展“四邊形”綜合題的解題教學活動時應注重與學生一起回顧以及相關的性質，靈活運用三角形全等、三角形相似構建相關參數之間的內在聯系.

例2 如圖2矩形ABCD中AB=2，AD=4，點E、F分別為線段BD，BC上的點，∠AEF=90°，線段AF和BD交于點H.（1）當AE=AB時，①求證FB=FE;②求AH的長;（2）求EF長的最小值.

（1）①因ABCD為矩形，則∠ABC=90°，又由∠AEF =90°，AF=AF，AE=AB，則△ABF≌△AEF，則FB =FE，得證.

②由①可得AH垂直平分BE，則∠AHB=90°，而∠BAD=90°，∠ABH=∠ABH，則△AHB∽△DAB，則AHAD=ABBD，由勾股定理可得BD=22+42=25，則AH =825=455.

（2）過點E作MN∥AB分別和AD、BC交于點M、N，如圖3，設AM =x，則DM =4-x，由MN∥AB，易得△DME ∽△DAB，則MEAB=DMDA，則ME=2-x2，EN=x2.因∠AEF=90°，則∠FEN+∠AEM =90°，而∠AEM+∠MAE=90°，則∠FEN=∠MAE，則△FEN∽△EA M ，則AEEF=AMEN=2，則EF=12AE，因此，當AE最小時，EF最小.顯然當AE和AH重合時最短，此時AE=455，則EF =12×455=255.

3 “二次函數”綜合題的解題教學

“二次函數”在初中數學中占有重要地位.解答二次函數綜合習題不僅需要熟練掌握二次函數的相關性質，而且應根據題干創設情境，合理推測出相關參數，靈活運用幾何知識，順利求解出相關參數.

例3 如圖4，在平面直角坐標系中直線y=2x+8和x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過點A、B.（1）求拋物線的表達式;（2）P為拋物線上一點，且位于直線AB上方，過點P作PM∥y軸，PN∥x軸，分別和直線AB交于M，N.①當MN=12AB時，求點P的坐標;②連接OP交AB于點C，當點C是MN的中點時，求PCOC的值.

（1）由點A、B為y=2x+8和x軸、y軸的交點，可得A（-4，0），B（0，8），將其代入到y=-x2+bx+c中，得到-16-4b+c=0c=8，解得b=-2c=8，則y=-x2-2x+8.

（2）① 設點P（m，-m2-2m+8），根據題意易得點M（m，2m+8），則PM=-m2-2m+8-（2m+8）=-m2-4m.因PM∥y軸，PN∥x軸，易得∠PNM=∠OAB，∠PMN=∠OBA，則△PMN∽△OBA，則PMOB=MNAB，當MN=12AB時，PM=12OB=4，即，-m2-4m=4，解得m=-2，則點P（-2，8）.

② 過點C作CD⊥x軸，延長PM交x軸于點E，則PE∥CD，如圖5，當點C為MN的中點時，易得MC=CN=PC，因PM∥y軸，PN∥x軸，則CNCP=CACO，CPCM=COCB，則AC=BC=OC，點C為AB的中點，則DO=2，CD=4，設點P（t，-t2-2t+8），則PE=-t2-2t+8，OE=-t，由PE∥CD，則△OCD∽△OPE，則PEOE=CDOD=2，則-t2-2t+8-t=2，解得t=-22，則PCOC=DEDO=22-22=2-1.

4 結語

綜上所述，初中數學綜合題解題教學時為獲得預期教學目標，既要做好與之相關基礎知識的總結，幫助學生構建系統知識網絡，又要為學生展示經典例題解題過程，使學生掌握相關解題思路，把握解題細節，促進綜合題解題能力的有效提升.

參考文獻：

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