初中數學二次函數題型探究

李慶中

【摘要】函數是數學當中非常重要的內容，也是數學中難度最大的知識點之一，很多學生在遇到函數類型的題型時，都會產生一種緊張感，從而導致學生在思考時出現失誤，進而影響到了學生的學習質量.在初中階段，主要是對二次函數進行研究，二次函數也可以延伸出一元二次方程的解、實際問題與二次函數等題型，這種類型的題目具有較高的抽象性，教師在教學時要結合具體的例題去教學，并對問題的解析進行探究.

【關鍵詞】二次函數;做題能力;初中數學

1 一元二次方程的解法

一元二次方程的難度一般都較低，學生在這種例題的計算中有著三種做題的方法，分別是：配方法、公式法、因式分解法.公式法具有固定的做題套路，利用求根公式就可解出最終答案，求根公式為：x=-b± b2-4ac2a，將所對應的系數代入即可.而配方法和因式分解法在運用時則需要進行必要的推導，但是計算的難度會相應地降低.這三種方法學生要根據問題進行分析，使用恰當的方法進行解題.[1]

例1試用三種方法求解一元二次方程的根：x2+6x+8=0.

分析 一元二次方程的求解方法一共有三種，分別是配方法、公式法和因式分解法，在應用時這幾種方法都可以正確的求出答案，在課堂練習時，要盡可能地鍛煉自身計算能力，所以，引導學生依次使用三種方法進行計算.

解 ①配方法：原式轉換為：x2+6x=-8，

兩邊同時加9，得x2+6x+9=-8+9，

等號左邊化簡（x+3）2=1，

開方得x+3=±1，

解一元一次方程得x1=-2，x2=-4.

②公式法：利用求根公式

x=-b± b2-4ac2a，

將系數代入得：x=-b± b2-4ac2a=

-6± 62-4×1×82×1=-6±22，

從而得到x1=-2，x2=-4.

③因式分解法：根據十字相乘，原式可變為：

（x+2）（x+4）=0，

即x+2=0或x+4=0，

從而得到x1=-2，x2=-4.

2 實際問題與一元二次方程

實際生活與數學之間存在著密不可分的聯系，對于一元二次方程來說，它可以作為反映某些實際問題中數量關系的數學模型，在做題中通過列出適當的方程去進行求解，做題的思路是先對未知數進行假設，然后根據題意去列出一個等式，進而去求出最終答案.在教學時教師同樣需要借助實際例題進行分析.

例2 有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，問：每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

分析 這種問題一般都需要設未知數，然后根據題目內容去列出一個等式，最后再求解即可.在本題中，首先需要設每輪平均一個人傳染了x個人，然后根據題意可以發現一共有兩輪傳染，第一個人傳染了x個人，第二輪就是這（x+1）個人傳染其他人，最終感染人數為121人，因此就存在一個等式，從而進行計算和求解.

解 根據題意：設每輪平均一個人傳染x人，

第一輪：第一個人傳染了x人，共有（x+1）人，

第二輪：一共有（x+1）人，所以第二輪會傳染（x+1）x人，

因此可以列出等式為：1+x+（x+1）x=121，

化簡得x2+2x-120=0，

根據因式分解法，原式轉化為（x-10）（x+12）=0，

從而求解出x1=10x2=-12，又因為x這個未知量代表人的數量，

所以x>0，即x2=-12舍去.

綜上所述，平均一個人傳染10個人.

3 列二次函數解析式題型

二次函數在出題時難度并不統一，像本專題中列出二次函數解析式的題型來說，一般情況下這一類型的題型難度較低，學生只需要去考慮題干內容的條件，再根據問題與題干當中的聯系性，結合二次函數的知識點進行思考即可.因此，在教學時，教師就可以在實際例題的引入下進行教學，幫助學生逐漸地擁有這類題型的思考過程.

例3 如圖1，直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD，其中AB，AD是已有的墻，∠BAD=135°，另外兩邊BC與CD的長度之和為30米，如果梯形的高BC為變量x米，梯形的面積為y平方米，則y與x 的關系式為.

分析 這道題就是單純求解析式，所以，學生只需將自變量和因變量找到，再借助圖象中的條件進行綜合性分析即可.本題中是以梯形面積為因變量，因此，學生只需要根據梯形面積計算公式進行列式即可，再進行適當的化簡和轉化，最終得到二次函數的解析式.

解 作AE⊥CD于點E，則有因為∠BAD=135°，則∠ADC=45°，

所以BC=AE=ED.

又因為BC+CE+ED=30，則AB=30-2x，CD=30-x，

故y=12（AB+CD）·BC=12[（30-2x）+（30-x）]·x.

所以y=-32x2+30x（0

4 實際問題與二次函數

二次函數與實際問題這一類的題型，出題時因為具有一些變化，所以要考慮的問題就比較多，這也就增加了知識點的抽象性，從而使學生在思考時遇到了問題.因此，在教學時，教師需要對分析問題的過程、列二次函數的思路進行統一的整理，能夠帶領學生逐漸地培養這類題型的做題思維，從而逐漸地攻克學習難關，促進學習質量的提高，促進學生的核心素養的培養.

例4 某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：在此基礎上，每漲價一元，每星期要少賣出10件，每降價一元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

分析 對于二次函數的實際問題來說，首先就需要將自變量和因變量找到，本題中可以得到自變量為漲價和降價，因變量是商品的利潤，所以根據題意就可以列出一個二次函數解析式.接下來就是對漲價和降價進行分開討論，最后進行對比即可.

解 ①設漲價x元，利潤為y，

則根據題意可列出函數解析式為：y=（60-40+x）（300-10x），

化簡得y=（60-40+x）（300-10x）

=-10x2+100x+6000

=-10（x-5）2+6250.

因此，根據二次函數的幾何性質，得：

當x=5時，y有最大值6250.

所以定價為60+5=65元時，利潤最大.

②設每件降價a元，總利潤為w，

則可列出函數解析式為：

w=（60-40-a）（300+20a），

化簡得w=（60-40-a）（300+20a）

=-20a2+100a+6000

=-20（a-2.5）2+6125.

因此，根據二次函數的幾何性質，得：

當a=2.5時，w有最大值6125，

所以定價為57.5元時，利潤最大.

綜上所述，每件定價65元時，利潤達到最大.

總之，數學相對于其他學科的難度較大，在知識點的理解和學習上都會有困難，而做題則是數學學習中必不可少的過程，在教學時，教師要盡可能的結合實際數學問題，帶領學生逐一分析思考，對例題的做題思路進行討論，幫助學生去明確做題的思考方向，從而培養學生高效的做題能力.對于二次函數的解題探究來說，本文就一元二次方程的解法、列二次函數解析式、實際問題等題型進行綜合性的分析.