函數與方程思想在高中數學解題中的應用

陳華

◆摘? 要：函數與方程思想是解決數學問題的一種常用思想。在解題過程中，學生可以利用變量與函數之間的關系，把未知轉化為已知，通過分析和探究的方式來解決問題。學生在探究中需要主動思考各種數學變量，在邏輯思考中建構方程和方程組，明確函數關系，找到解題思路。

◆關鍵詞：高中數學;函數與方程思想;解題

函數知識在高中數學中具有重要的地位，是高考熱點，也是考試重點。為了順利解決函數問題，學生就要學會函數與方程思想來分析問題，找到相關數據靈活轉化，在梳理中理順思路，解決問題。學生通過主動思考會感受到函數的變化和變量的動態，在分析中學會運用聯系的觀點來分析解題思路，找到解題方法，提高解題能力。

一、運用函數與方程思想進行邏輯思考

為了使學生快速而準確地解決問題，教師要引導學生在解題過程中學會邏輯思考。數學知識的邏輯性很強，通過一步步推理和分析的方式，學生會了解各種數量之間的邏輯關系，在思考中把握數量關系，理順解題思路。例如：二次函數y=x2+2（a-1）x+2在區間（-∞，1]上時減函數，則 求實數a的取值范圍。在解題過程中，學生很容易把二次函數的對稱軸理解為x=-=1-a，所以1-a=1，a=0。這種思考方向是錯誤的，學生要避免這種錯誤的思考方向要認真考慮單調區間的區域及端點是否使函數有意義，通過邏輯思考的方式進行判斷。

學生通過一步步思考，會找到解決問題的方法，學會把函數知識轉變為方程，通過解方程的方式來解決問題，提高解題能力。

二、利用函數與方程思想客觀推理判斷

《高中數學課程標準》指出教師要引導學生學會推理判斷，調動學生的主動性，促進學生通過主動思考的方式來理解知識，提高運算能力，學會建構模型，提高空間想象能力。學生通過主動推理判斷會成為課堂的主人，在思考中結合自己的能力進行分析判斷，通過主動思考的方式提高學習能力。學生運用函數與方程的思想進行推理，會快速找到解題思路，明確各種數量關系，提高解題效率。例如函數f（x）=2x--a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是多少？分析中，學生通過推理判斷會認識到，因為函數f（x）=2x--a在區間（1，2）上單調遞增，又函數f（x）=2x--a的一個零點在區間（1，2）內，則有f（1）·f（2）<0，所以（-a）（4-1-a）<0，即a（a-3）<0，解得0<a<3。有了函數思想作為解題的指導，學生會快速形成解題思路，把數學思想和方法運用到具體的解題過程中，提高學生的分析能力和探究能力，促進學生在對數據的加工中靈活轉化，構造出函數的表達式，快速解題。

三、巧用函數與方程思想進行發散思維

函數與方程思想在解題中的應用會實現化繁為簡，化難為易，讓學生在建構函數關系時活躍思維，在發散思考中提煉出有效數據，形成對知識的客觀性認識。學生在探究中會把抽象的數學知識具體化、形象化，把握各種數據之間的千絲萬縷關系。通過函數與方程思想，學生會拓展思路，學會從不同角度分析問題，探究解題方法，在主動思考中解決問題。例如：某景區提供自行車出租，該景區有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出;若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛.為了便于結算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入。

（1）求函數y=f（x）的解析式;

（2）試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？

在解答第一問時，學生會從題目中的已知信息進行思考和分析，把生活中的實際應用知識轉變為函數知識，通過數學的方式解決問題。思考中，學生會認識到當x≤6時，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3。因為x為整數，所以3≤x≤6，x∈Z.當x>6時，會得到y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115。經計算認識到6<x≤20，x∈Z.函數的值為y=在解答第二問時，可以看到y=50x-115（3≤x≤6，x∈Z），顯然當x=6時，ymax=185;而對于y=-3x2+68x-115=-32+（6<x≤20，x∈Z），當x=11時，ymax=270。通過比較和分析，可以看到日租金定為11元時，收益最多。在分析中，學生會主動思考，通過思維活動的方式了解各種數據之間的關系，形成客觀性認識。學生通過思考和分析會了解隱藏在題目中的各種數據之間的千絲萬縷的關系，促進學生提高理解，快速解題。

總之，教師要鼓勵學生在解題過程中靈活地應用函數與方程的思想。學生了解了函數與方程的思想，在解題過程中會充分地發揮主觀能動性，建構函數關系，梳理未知量之間的關系，在分析中簡化問題，建構出知識規律。學生了解了解題方法會主動建模，掌握解題方法，在實踐中提高解題能力，落實核心素養。

參考文獻

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