基于歷史名題的高中數學單元復習課教學：龐海燕

龐海燕 王芳 余慶純

[摘? 要] “阿基米德三角形”包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，能夠很好地體現“坐標法”的解題思想，揭示數形結合方法的本質. 圓錐曲線復習教學中存在著學生算理清楚、運算過程卻難以推進和教師例題選擇缺乏整體性的問題，為解決這兩個問題，研究者以圓錐曲線中的“阿基米德三角形”為載體，開展“圓錐曲線的方程”單元復習教學研究. 實踐表明：由“阿基米德三角形”引領的圓錐曲線單元復習課教學浸潤了知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化等維度的數學文化，深刻地揭示了數學史的六類教育價值.

[關鍵詞] 阿基米德三角形;圓錐曲線;單元復習;歷史名題;數學文化

[?]引言

解析幾何，是高中數學的重點與難點，而圓錐曲線是解析幾何中的核心內容. “圓錐曲線的方程”是人教A版新教材高中數學選擇性必修第一冊的第三章內容，是“直線與圓的方程”的后續內容，主要運用“坐標法”探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質，并解決與圓錐曲線有關的幾何問題和實際問題，是對高中平面解析幾何內容的深入學習和研究. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：通過解析幾何單元的學習，學生在平面直角坐標系中，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面幾何中蘊含的數學思想，進一步體會數形結合思想[1].

在圓錐曲線單元教學實踐中發現：一方面，學生通過新課學習熟悉了圓錐曲線的基礎知識，但學生解題的方法零散，解決綜合性問題的能力弱，往往由于運算煩瑣經常算不下去，且解題后缺乏反思和總結;另一方面，教師由于課堂時間緊張，往往只講解題的思路和方法，運算交給學生課后進行，缺乏解題示范和規律總結，缺少對整體性、系統性知識方法的有效建構.

數學歷史名題，是指在數學演進的歷史長河中，對數學發展、社會應用、科學進步等方面產生一定影響的數學問題，展現數學文化的多元內涵.

過圓錐曲線的弦兩端的切線與弦所圍成的三角形被稱為該圓錐曲線的“阿基米德三角形”（見圖1）. 據說，古希臘數學家阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212）在其著作《拋物弓形求積》中提出了一個用三角形窮竭拋物線弓形面積的算法，解決了拋物線弓形面積問題，其中衍生出了“阿基米德三角形”，具有相當多的優美性質. “阿基米德三角形”包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標法”的解題思想和數形結合方法的優勢體現得淋漓盡致，更能在課堂上提升學生解決圓錐曲線問題的能力，落實邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養.

鑒于此，本研究基于“阿基米德三角形”這一歷史名題，開展圓錐曲線單元復習教學研究，擬定教學目標如下：

（1）通過“坐標法”解決直線與圓錐曲線中線段長度問題、軌跡問題、切線問題、最值問題、面積問題等，掌握“應用定義”“應用判別式”“運用向量工具”“運用平面幾何知識簡化”“數形轉化”“與導數結合”6個方面的解題策略，體會數形結合、轉化與化歸的思想方法.

（2）經歷從特殊的“阿基米德三角形”到一般情形的過程，提升學生類比、遷移和抽象的能力;經歷從一般情形中發現特殊的“阿基米德三角形”的過程，培育學生發現問題、分析和解決問題的能力.

（3）了解“阿基米德三角形”問題的歷史演進過程，培育學生的動態數學觀，培育學生的理性精神，讓其品味精彩的數學文化.

[?]史料運用

1. 史料簡析

古希臘數學家阿基米德在其著作《拋物弓形求積》中利用一系列內接三角形逐步逼近拋物線弓形，借助于“窮竭法”解決了拋物線弓形的面積問題（見圖2）. 設AB是拋物線的一條弦，阿基米德證明[2]：

命題1：過拋物線上任意一點P作拋物線對稱軸的平行線，交AB于點C，若AB平行于拋物線在點P處的切線MN，則AC=BC;反之，若AC=BC，則AB平行于拋物線在點P處的切線MN.

命題2：P為拋物線上任意一點，直線AB與拋物線在P處的切線MN平行，交拋物線于點A和B，過P作拋物線對稱軸的平行線，交AB于點C，交拋物線在點A處的切線于點T，則PT=PC.

命題3：過AB的中點C作拋物線對稱軸的平行線，交拋物線于點P，則P為拋物線弓形的頂點.

命題4：設P是拋物線弓形ABP的頂點，Q和R分別是AP和BP所截的小拋物線弓形的頂點，則S=S=S.

命題5：設P是拋物線弓形的頂點，則拋物線弓形ABP的面積等于S.

阿基米德通過命題4得到了S+S=S，繼續對小弓形進行了類似的分割，其后的三角形也有同樣的面積關系. 拋物線弓形ABP的面積可以用所有這些內接三角形的面積和來“窮竭”，也就是可以用幾何級數S+S+S+…的有限項之和逼近，其中S=S[3].

2. 史料融入單元復習課教學的方式

由“阿基米德三角形”引領的圓錐曲線單元復習課例中，采用了數學史融入數學教學的4種方式，具體如下：

（1）附加式. 活動1“發現者：數學構件——基本性質研究”中以“微視頻”的形式介紹阿基米德對拋物線弓形面積的研究方法與積極貢獻，活動2“創造者：數學建構——軌跡探尋”中對“蒙日圓”的介紹，引導學生感悟精彩的數學文化.

（2）復制式. 情境創設環節引入“阿基米德三角形”的定義，引導學生重走數學家研究之路，激發學生的學習熱情、探究興趣.

（3）順應式. 活動1中利用命題4、命題5設計Q4，以及引導學生自己思考解決拋物線弓形面積的方法，在從特殊到一般情形的過程中，提升學生類比、遷移和抽象的能力.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

（4）重構式. 活動3“探究者：數學應用——一般問題探究及溯源”中通過Q6、Q7引導學生發現一般情形中的“阿基米德三角形”，培育學生發現問題、分析和解決問題的能力.

依據“阿基米德三角形”相關的歷史名題來梳理高三單元復習課中的解題規律，化解機械化計算的枯燥. 通過分析問題、解決問題，引導學生利用類比法探究直線與圓錐曲線的位置關系問題的本質，認識到問題背后的規律性，抽象出數學解題過程.

[?]教學實踐

1. 創設情境

課前提前發放《預習單》，引導學生分析和解決問題，洞察問題之間的緊密聯系，為后續復習做好鋪墊.

Q1（教材P136，例5）：經過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

Q2（教材P138，復習鞏固，第6題）：如圖3所示，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

Q3（教材P139，拓廣探索，第12題）：已知拋物線的方程為y2=4x，直線l繞點P（-2，1）旋轉，討論直線l與拋物線y2=4x的公共點的個數，并回答下列問題：（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關系，從圖中你發現直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？（2）y2=4x與直線l的方程組成的方程組的解的個數與公共點的個數是什么關系？

教師引導學生分析并發現《預習單》中Q1至Q3的共性——直線與圓錐曲線相交或相切. 以Q3中的拋物線為例，過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線PA，PB，連接AB，得到△PAB. 在△PAB中，PA，PB是拋物線的切線，AB是拋物線的一條弦，聚焦了相交、相切兩個問題. 教師介紹“早在兩千多年前，數學家阿基米德就用幾何論證、物理方法對這個三角形開展過系列研究”，以“這個三角形究竟有什么神奇之處”“阿基米德又做了哪些工作”等問題激疑，展開對“阿基米德三角形”性質的深入探究.

2. 課堂探究

活動1從最簡單、最特殊的情況——拋物線的焦點弦開始，從點的坐標、直線的方程到弦長、三角形的面積，這些對學生來說，都屬于熟悉的數學問題情境.通過對其研究，引導學生能夠在熟悉的情境中直接抽象出圓錐曲線中的切線問題、切點連線、軌跡問題、線段長度、面積及最值問題的解決方法，明晰算理，并類比、遷移到一般情形，引導學生發現、探究、欣賞與“阿基米德三角形”相關的數學歷史名題.

【活動1】 發現者：數學構件——基本性質研究.

Q4：已知拋物線x2=4y的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動點，且=λ（λ>0），過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M（如圖4所示）.

（1）證明：M在拋物線的準線上;

（2）證明：·為定值;

（3）證明：MA⊥MB;

（4）證明：若AB的中點為C，則MC∥y軸;

（5）求解：設△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達式，并求S的最小值;

（6）過AN的中點D作DE∥y軸，交拋物線于E，證明：S=8S.

其中，Q4（4）對應命題2，Q4（5），Q4（6）對應命題5.

利用“坐標法”完成解答后，進行題后反思.

師：在Q4（1）中，整理切線MA的方程y=x-y，得到MA：xx=2（y+y）. 這個方程的形式具有什么代數特點？若結合M的坐標和AB的方程，又有什么代數特點？可以推廣到一般的情形嗎？請小組合作，研討記錄.

對學生研討的內容進行梳理，得出結論：對于拋物線y2=2px（p>0），若點P（x，y）在拋物線上，則直線yy=p（x+x）為點P（x，y）處拋物線的切線方程;若點P（x，y）在拋物線外，則直線yy=p（x+x）為P（x，y）對應的兩條切線的切點連線的方程.

教師指出：圓、橢圓、雙曲線也都有類似結論.

師：結合Q4（1）、Q4（3），思考兩條切線的交點具有什么幾何特性.

學生再次小組討論，得出結論：兩條切線的交點在定直線上.

師：Q4（4）的逆命題成立嗎？即若AB的中點為C，M在拋物線x2=4y的準線上，且MC∥y軸，則MA，MB是拋物線的切線嗎？若成立，這個命題會給我們帶來什么啟示？

生：只需驗證M

，-1

是否滿足方程xx=2（y+y），這顯然成立！這個結論將啟示我們：作拋物線的切線，它不再是“看得見卻摸不著”了！

師：Q4中的直線AB是過拋物線焦點的，如果改變這個條件，比如說直線AB過點（0，2），類比前面的解答過程，哪些步驟會有影響？結論會有影響嗎？

學生結合演算過程驗證自己的想法.

教師播放與阿基米德相關的微課視頻，主要內容是阿基米德的主要研究工作、拋物線弓形面積的算法（如圖5所示）.

師：對比阿基米德的想法，我們通過對Q4（6）的研究，可以推出弓形AOB的面積嗎？

生：過BN的中點G作GH∥y軸，交拋物線于H，所以S=8S，從而S+S=S，重復這一過程，利用無限個小三角形逼近弓形ABN的思想，得S=S+S+S+…=S.

【活動2】 創造者：數學建構——軌跡探尋.

接著，活動2安排了橢圓兩條切線相交產生的交點軌跡問題，幫助解決絕大多數學生不能有效表征的問題，以及知道算理卻算不下去的問題. 跳出拋物線，引導學生用類比法了解橢圓等其他背景中的“阿基米德三角形”的性質，以及解決以此為背景的問題.在研究橢圓的兩條切線的交點的過程中，讓學生創造發現另一個歷史名題——“蒙日圓”，引導學生深切地感受研究的樂趣，浸潤多元數學文化的芬芳！FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

師：拋物線中“阿基米德三角形”有如此優美的性質，由Q4的討論知道，在給定的條件下，拋物線兩條切線的交點有著自己獨特的軌跡——直線. 那么橢圓呢？請看下面的問題：

Q5：（2014年廣東卷理科第20題）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的一個焦點為（，0），離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若動點P（x，y）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

通過聯立兩條切線方程、采用整體消參的策略可解決Q5（2）. 完成解答后，進行題后總結.

師：通過分析發現，與拋物線類似，橢圓的兩條互相垂直的切線的交點也有著自己獨特的軌跡，它們在一個圓上，這個圓不一般！它是以法國數學家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）的名字命名的圓：在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和（實半軸與虛半軸平方差的絕對值）的算術平方根，這個圓叫“蒙日圓”. 課后，同學們可以查閱資料，深入研究“蒙日圓”的相關內容.

【活動3】 探究者：數學應用——一般問題探究及溯源.

在一般的直線與拋物線相交的情形中，在復雜的情境中，能夠理解“分析問題”中的數學思想，提煉“解決問題”中的數學方法，追根溯源，能夠通過類比、聯想確定線段長度問題、軌跡問題、切線問題、最值問題、面積問題的運算方法并發現和解決新問題.

Q6：（2018年浙江卷第21題）如圖6所示，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

（1）設AB的中點為M，證明：PM垂直于y軸;

（2）若P是半橢圓x2+=1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍.

可利用“設點代點”的思路解決Q6（1），可利用S=PM

y

-y解決Q6（2）. 完成解答后，進行題后反思.

師：Q6（1）不見“阿基米德三角形”的身影，為什么會有與Q4（4）類似的結論？“中點在拋物線上”可以推廣到一般情形嗎？

生：若記PA，PB分別交拋物線于D，C，能不能將結論推廣到AB∥CD？

Q7：已知拋物線C：y2=4x的內接梯形ABCD，其中AB∥CD（如圖7所示）. 求證：

（1）梯形兩腰所在直線的交點P，梯形對角線的交點Q，以及梯形上、下底的中點N，M，都在垂直于y軸的直線l上;

（2）若直線l與拋物線相交于點R，則過點R的拋物線的切線與直線AB平行（同命題1）;

（3）過點P作拋物線的兩切線PE和PF（其中切點為E，F），則直線EF與AB平行，且直線EF經過點Q.[4]

分析問題：

（1）證明同Q6一樣（此處略）.

（2）當直線AB的斜率不存在時，即點R為原點O，結論成立;當直線AB的斜率存在時，k===k，結論成立.

（3）設P（x，y），EF：2x-yy+2x=0，AB：4x-2yy+yAyB=0，EF∥AB顯然成立;記EF的中點Q′

-x，y

，要證直線EF經過點Q，下證Q與Q′重合，即證Q′在直線AC和BD上. 下面以Q′滿足AC的方程進行說明：

AC：4x-（y+y）y+yy=0，下證（y+y）y-yy=4

-x

，又點P（x，y）在直線BC上，故（y+y）y-yy=4x，（y+y）y-yy+（y+y）y-yy=（y+y+2y）y-（y+y）y=（2y+2y）y-2yy=2y=4

-x

+4x，得證！

同理，Q′滿足BD的方程. 故直線EF經過點Q.

生：當D，C分別趨向A，B時，直線AD的方程由4x-（y+y）y+yy=0退化為4x-2yy+y=0，其為拋物線y2=4x在點A處的切線方程，△PAB為“阿基米德三角形”！

師：從Q6的特殊情況推廣到Q7的一般情況，而Q7的極限情況居然又出現了“阿基米德三角形”！這是一個有“阿基米德三角形”背景的問題，看來我們需要用聯系和發展的眼光看問題. 本題中的直線l也不一般，它是弦AB的“直徑”. 古希臘數學家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中給出了弦直徑的概念：圓錐曲線的任意一組平行弦AB的中點在一條直線上，把這些中點的軌跡稱為其中任意某條弦AB的直徑. 從Q7知道，拋物線的平行弦的直徑是一條平行于對稱軸的射線. 課后同學們可以查閱資料，深入研究拋物線、圓、橢圓、雙曲線的平行弦的直徑及相關性質.

3. 課堂小結

師：通過本節復習課的學習，大家有什么具體的學習收獲？

生1：在活動1中，通過“坐標法”系統研究了特殊的“阿基米德三角形”的一些性質，能試著對一般的“阿基米德三角形”進行類比探究.

生2：通過活動2學習了橢圓中的“阿基米德三角形”，讓我發現了“蒙日圓”，我想它應該也會有很多性質，我可以用今天的方法試著再去深入地探究一下.

生3：在活動3中，通過對一個一般三角形的性質的探究，發現它居然也和“阿基米德三角形”有關，還知道了弦直徑. 通過今天的研究方法打開了我對一般問題的研究思路.

[?]學生反饋

課后，任課老師對試教的兩個班100名學生開展了問卷調查，共回收了100份有效問卷，具體結果分析如下.

1. 本節課中，哪個教學環節給你留下了深刻印象？

數學文化運用于課堂實踐，學生對以“阿基米德三角形”為源的圓錐曲線問題有了更加深入的理解，學生對不同的教學環節也表現出了不同的喜好程度，這說明學生的研究意識和對直線與圓錐曲線位置關系的研究方法的掌握程度得到了提升.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

2. 阿基米德對“拋物線弓形面積”的研究工作給你帶來了哪些啟示？

大部分學生表示，阿基米德借助于力學思想，解決數學問題的研究結果超越時代，令人驚嘆！這種“跨學科思維”是分析問題、解決問題的一條可行之路. 還有一些學生指出，現在借助于“坐標法”與“極限工具”可以很快地解決拋物線弓形面積問題，領悟到了數學方法之美，體會到了學習多元數學方法的重要性.

3. 由“數學歷史名題”引領的復習課，給你的學習帶來了哪些影響？

學生普遍談到，由“數學歷史名題”引領的復習課幫助他們認識到了圓錐曲線蘊藏著數學家、科學家及人類無窮的聰明智慧，激發他們對圓錐曲線的不斷探索與深度學習，為圓錐曲線問題的解決模式建立了一個系統性、整體性的認知體系. 期待以后繼續上其他主題的基于歷史名題的單元復習課.

[?]教學反思

充分利用數學歷史名題這一組織材料，實現數理人文的融合與再建. 借鑒“基于數學史的數學文化”內涵分析框架[5]（見圖9），詮釋本節復習課蘊含的數學文化內涵具體如下：

借鑒阿基米德研究拋物線弓形面積的方法，選擇性地進行教學重構. 從特殊到一般，從一般到特殊，“阿基米德三角形”聚焦了解析幾何的核心問題，體現了“坐標法”的解題思想和數形結合方法的優勢，說明浸潤數學文化具有十分的必要性;微視頻中介紹了阿基米德研究拋物線弓形面積的方法，顯示了將物理方法用于數學研究的精彩范例，體現出了數學與物理學“學科聯系”非常緊密;“坐標法”為解決拋物線弓形面積問題、深入探究圓錐曲線的性質均提供了便利，讓研究者擁有了比阿基米德和阿波羅尼奧斯更多的優勢，而圓錐曲線與科研、生產以及人類生活有著緊密的關系，展現了數學重要的“社會角色”;阿基米德將數學問題進行物理轉化體現了學科的“統一美”，而今“坐標法”的運用則突出了數學方法的“簡潔美”;數學趣味方面，“阿基米德三角形”本身具有一系列的優美性質，以其為背景的問題能激發學生探究的興趣，讓學生體驗到“做數學”“當小數學家”的快樂;通過微視頻展示對1830—1969年出版的18種美英解析幾何教科書的考察，發現除定積分外其他4種求拋物線弓形面積的方法——比例法、阿基米德法、切線法和矩形分割法[6]，反映出不同地域、不同時代的數學家對歷史數學問題的研究，讓學生體會到古代不同文明的數學文化，開闊視野，展現了數學“多元文化”的交融.

本課例體現了數學史融入數學教學的6類教育價值. 阿基米德主要從物理和幾何的角度研究了圓錐曲線的性質，而“坐標法”則從代數的角度研究了數量關系，從“形”“數”兩個角度奠定了解析幾何的學習基礎. 設計3個活動體現了直線與圓錐曲線的位置關系的本質，突出研究“阿基米德三角形”的必要性，體現了“知識之諧”. 活動1體現的是從特殊到一般的歸納推理，活動3體現的是從一般到特殊的演繹推理，兩種數學思想方法有機統一，培養學生有邏輯、有條理地分析問題、解決問題，帶領學生體驗“坐標法”的威力、“幾何法”的強大，揭示了“方法之美”. 層層遞進、由淺入深的3個活動，為學生提供了拓展探究的機會與材料，體會到“探究之樂”. 活動1培養的是學生總結反思、類比遷移的能力，活動2通過解決表征不同但本質相同的問題，有助于發展學生的數學抽象能力，活動3通過追根溯源，不斷培養學生提出問題、解決問題、追求創新的能力，實現“能力之助”. 活動1對拋物線弓形面積問題的解決，活動2從一個歷史名題轉接到另一個歷史名題，活動3對阿波羅尼奧斯提出“直徑”的背景的介紹，穿越了不同的數學時空，與多位數學家對話，讓數學課堂充滿了“文化之魅”. 從德育滲透來說，在情感方面，活動1幫助培養學生類比遷移的探究精神，激發其學習興趣;在信念方面，活動2引導學生探索其他圓錐曲線背后的“阿基米德三角形”，建立文化自信;在理性方面，活動3促使學生善于思考，形成不畏困難的學習態度和積極樂觀的學習信念，從而有效落實“德育之效”.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 汪曉勤. 基于數學史料的高中數學問題編制策略[J].數學通報，2020，59（05）：9-15.

[3]? 李文林. 數學史概論[M]. 北京：高等教育出版社，2000.

[4]? 魏定波. 2018年高考數學浙江卷第21題引發的探究[J]. 中學數學雜志，2018（07）：55-56.

[5]? 余慶純，汪曉勤. 基于數學史的數學文化內涵實證研究[J]. 數學教育學報，2020，29（03）：68-74.

[6]? 秦語真，汪曉勤. 美英早期教科書中的拋物線弓形面積求法及其教學啟示[J]. 數學通訊，2020（16）：1-4+36.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF