基于歷史名題的高中數學單元復習課教學

編者按

讓數學文化全面融入數學課堂，是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出的重要任務. 浙江省義烏市王芳名師工作室自2010年與華東師范大學HPM（History and Pedagogy of Mathematics）工作室合作，在汪曉勤教授指導下開發了“數學文化與概念教學”方面的二十余個課例. 反思之際，深感“數學文化與解題教學”研究之迫切. 于是以歷史名題為依托，啟動了“單元復習課”研究，借鑒《九章算術》《幾何原本》，提出了一個“以邏輯演繹、運算建模為兩個維度設計歷史名題的問題框架”，并確定十節單元復習課以檢驗研究的可行性與普適性，該研究成果已榮獲2021年浙江省精品數字教育資源優秀獎. 像這種高校學者引領、一線教師擔綱的“數學文化與解題教學”HPM研究尚屬首次. 本期推出的三篇論文體現了從理論到實踐的研究脈絡，以期為數學教師進一步開展數學文化教育提供參考.

[摘? 要] 以單元復習課為研究對象，探討數學歷史名題融入解題教學，縱深推進數學文化教育常態化. 歷史名題具有反映數學本質思想、培養高階數學思維、示范專業學習共同體等獨特優勢. 受《九章算術》和《幾何原本》的啟迪，以“芻甍”為例，探討數學歷史名題運用于高中數學單元復習課的教學策略：從課標、教材、學情等視角進行教學分析，以“邏輯推理”“數學建模”兩種取向為經緯研發歷史名題，構建問題框架，跨越古今中外，滲透數學文化，涵養人文情懷.

[關鍵詞] 數學文化;歷史名題;單元復習;問題鏈

[?]引言

教育部在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》[1]的“課程結構”中要求將“數學文化”全面融入課程內容. 當今，數學概念的文化內涵越來越多地得以挖掘與運用，但日常數學教學的另一主角——數學解題教學的變革相對緩慢，由此出現了：學生在概念學習中激發出來的興趣、創意激情和探究精神被解題沖淡或壓抑，教師在概念教學中的創新突破因解題教學又被“打回了原形”，一些新穎的數學試題尤其是高考中的創新試題，一旦推出就被快速分解為技巧化、程式化訓練……要使數學文化教育向縱深推進，必須謀求解題教學的時代嬗變.

單元復習課是解題教學的常見課型，與章節的“概念教學”緊鄰，對接軌概念教學人文涵養、延續數學文化教育的意義重大. 在現實中，單元復習課并未得到應有的重視，有“以考點關聯緊密的題目來復習知識點”[2]，或“將其設計成專題復習課，有了高三的味道”[3]. 存在著題目組建分散、教學主題模糊、知識內容重復、教育功利化傾向等問題.

章建躍先生認為解題的目的應聚焦于加深理解和掌握“雙基”，學會思考、培養和發展思維能力……這些目標的實現，根本上還要依靠“好題”[4]. 好的數學題能激活學生的思維，激發探究欲望，能調動所學的概念和性質，洞察數學本質，獲得新的學習經驗和認知體驗. 然而，“提出好問題”對于大多數師生而言，并非易事. 早在2006年張奠宙先生就指出“提出好問題，是我們的薄弱環節”[5]，命制大量的“好題”更是難上加難.那么，數學文化中是否有現成的“好題”？如何挖掘與改造以貼合高中數學實際？如何組織與實施以提高單元復習課的教學品質？

[?]聚焦歷史名題，優化單元復習

數學歷史名題是經歷了歲月檢驗而流傳下來的好問題. 所謂歷史名題，是在數學發展歷史長河中形成的，對數學發展、數學應用和數學教學等方面起過或仍然起著重要作用，在數學史上產生較大影響、對數學發展有一定推動作用或在公眾中引起廣泛反響的數學問題[6]. 它們猶如數學世界的璀璨明珠，成為數學文化的鮮活代言. 歷史名題在單元復習中具有獨特優勢.

1. 梳理單元知識，揭示本質思想

歷史名題中蘊含著歷代數學大師的智慧和力量. 例如，狄利克雷函數D（x）=0，x是無理數，

1，x是有理數表達了x與y一一對應的現代函數觀，也是周期為任意非零有理數的典例.通過函數y=ln（x+1）與y=x，y=x-x2，y=x-x2+x3，…隨著求導階數的增加，直觀表現出了麥克勞林在x=0的鄰域中以多項式函數擬合某函數值的數學思想（如圖1所示），揭示了微積分“以直代曲”“以曲代曲”無限逼近的數學本質. 歷史名題還是催生新分支的誘因. 17世紀，“德·梅爾問題”促進了早期概率論的創立;18世紀，“哥尼斯堡七橋問題”啟蒙了圖論的誕生;19世紀，“四色問題”開拓了計算機證明數學定理的前景. 這些名題博大精深，與相應的單元知識天然交融，是培育數學核心素養的有機載體.

y=ln（x+1）

2. 培養理性思維，樹立學習榜樣

對于解題，波利亞（George Polya，1887—1985）曾言“未來的數學家應該是一個聰明的解題者”[7]. 在單元復習課中，各個數學知識不再囿限于新課時序，而被置于同一認知范疇中，此時學生所持有的知識系統與數學家接近，便于彼此對照. 英國數學教育家舍費爾德在《數學解題》中曾比較兩位學生和一位數學家的解題過程，發現數學家的思維要復雜得多[8]，主要表現在：（1）在采用某一方法或解題途徑前對各種可能性仔細地考慮后才動手解題. （2）在陷入思維誤區或思路糾纏時，總能清醒地告誡自己要干什么、已有的信息是什么、根據這些信息做了什么、為什么要這樣做. （3）即使出現了錯誤或曲折，并非簡單地拋棄已有的工作，而是從中汲取有益的成分.利用歷史名題，可以讓學生與數學家進行比較、對照，然后反思，成長為“聰明的解題者”.

3. 示范專業學習，構建研修社群

數學文化意味著數學活動的“社會性”.在此意義上，教室內的學生、歷史上的數學家構成了“共同體”，成員的觀念、行為將受到所屬群體的社會因素的影響.在學習氛圍濃郁的班級可以看到：若干學生聚集討論不同的解法，某學生的解法被贊同后遭受質疑或自我否定，某種不規范解答蘊含了豐富的直覺力與創造力……類似的情形在歷史上也有發生，如“費馬大定理”. 1847年，法國數學家拉梅（Lame，Gabriel，1795—1870）與柯西（Cauchy，Augustin Louis，1789—1857）在同一會場先后宣布自己差不多證明了這一猜想，數月后德國數學家庫默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810—1893）指出他們所依據的一個定理不成立，英國數學家懷爾斯（Andrew Wiles，1953—）在1993年作出了證明又自己發現了缺陷并修補了漏洞. 可見，“學生”與“數學家”組成的兩類共同體存在著行為方式的相似性. 歷史名題以課堂空間換取歷史時間，通過共同體的對話，體驗數學的文化傳統、研究范式與探究精神.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

[?]尋根經典名著，研發歷史名題

一節單元復習課可能用到一個或多個歷史名題，這些名題通常需經過改造才能適用于課堂. 有研究認為：基于數學史料的問題提出策略至少有七類[9]，包括“復制式”“條件式”“目標式”“鏈接式”等，這些方法同樣適用于歷史名題. 簡單的歷史名題需要提升，較難的則佐以鋪墊，“前鋪”與“后陳”之后又會形成多個數學問題.要使諸多問題形成清晰的結構，關鍵要研發這些問題的價值取向. 對此，不妨從數學的傳世名著中尋找借鑒.

1. “演繹推理”取向的歷史名題

《幾何原本》被譽為“世上最美麗的邏輯劇本”[10]，是結構緊致、邏輯嚴密的典范. 以《幾何原本》第一卷“幾何基礎”為例，本卷介紹了定義、公設、公理之后，相繼論證了48個命題. 今擇若干梳理如下.

歐幾里得先根據定義1.15，再根據公理1.1，得到：

命題1.1 已知一條線段可作一個等邊三角形.

推導命題1.2時用了六步，依次根據公設1.1、命題1.1、公設1.2、公設1.3、公理1.3、公理1.1，得到：

命題1.2 從一個給定的點可以引一條線段等于已知的線段.

依次根據命題1.2、公設1.3、定義1.5、公理1.1，得到：

命題1.3 給定兩條不等線段，可以在較長的線段上切取一條線段等于較短的線段.

依次根據命題1.1、命題1.3、命題1.8、定義1.10，得到：

命題1.11 過一條直線上的一個點，可以作該直線的垂線.

依次根據定義1.10、命題1.11、公理1.2、公理1.1，得到：

命題1.13 兩條直線相交，鄰角是兩個直角或者相加等于180°.

依次根據命題1.13、公設1.4、公理1.1、公理1.3，得到：

命題1.14 兩條不在一邊的射線過任意直線上的一點，所構成的鄰角若等于兩個直角的和，那么這兩條射線構成一條直線.

依次根據命題1.11、命題1.3、公設1.1、公理1.2、命題1.47、公理1.1、命題1.8，得到：

命題1.48 在一個三角形中，如果一邊為邊的正方形等于另兩邊為邊的正方形之和，那么，后兩邊的夾角是直角.

將以上命題關系整理成圖2.

通過這個有序組織傳達了該卷主題——公理化思想. 歐幾里得設定“點、線、面、角”為一切存在的始基，從5個公理、5個公設、23個定義出發，把大量有關各種幾何圖形性質的命題以公理化方法組織起來，建立了一個空間秩序久遠而權威的歐氏幾何體系. 沿著歐氏組織各個命題的邏輯線索探究下去，給人一種欲罷不能的、持之以恒的吸引力.

由此得到啟發：

（1）歷史名題的組織要有“整體性”，始終圍繞主干知識與核心觀念. 從圖2可以看出，第一卷從命題1.1至命題1.48，前者有關正三角形，后者有關正方形，歐幾里得用這兩個特殊的幾何圖形作了首尾呼應，形成了渾然天成之感;并且，歐幾里得總是用已證明的命題作為論證的基礎，依靠確切的依據、嚴密的邏輯得出后繼命題，使公理化思想昭然若揭.在課堂中展現這種整體構架，有利于學生快速把握單元復習的內容、重點，宏觀了解教學的推進狀態.

（2）題目之間以“問題鏈”連接，連接的依據是數學的基本要素. 命題1.1→命題1.2→命題1.3，是關于點與線段、長度的等與不等的基本問題;命題1.11→命題1.13→命題1.14，是關于簡單的幾何位置關系（包括角度）的問題;命題1.48是特殊的幾何圖形——正方形的問題. 縱橫兩個方向都采用了“問題鏈”的方式，這種逐層遞進的方式能使學生置身于數學思考的情境，避免陷入“題海”，不僅有助于學生形成良好的學習體驗，還能啟發學生提出新的問題.

（3）“問題鏈”的設計要兼顧“開放性”. 觀察第一卷“幾何基礎”的最后一個命題——命題1.48，與第二卷“幾何與代數”的第一個命題——命題2.1“兩條線段，其中一條被截分成許多段，那么以這兩條線段為邊構成的矩形的面積等于各截線段與未截的那條線段為邊構成的矩形的面積和”構成了新的聯系，比第一卷顯然上了一個層次. 這種開放性為學生探究未知的數學設立了伏筆，雖然它“離開基礎比較遠一些，也應該有所接觸，提高數學思維水平，擴展數學視野”[5].

此外，圖2中所有命題的邏輯推演都運用了定義、公設、公理等，如從命題1.13推導出命題1.14就運用了2個公理和1個公設，根據需要隨時調動數學知識，確保在單元復習課中問題解決與知識復習的兼顧.

2. “運算建模”取向的歷史名題

《九章算術》構造了中國數學的算法體系，是經世致用、運算建模的典范. 它系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，以籌算為基礎、從問題出發、以解決問題為宗旨，提供了諸多簡練有效的運算操作模式. 《九章算術》中的246個題目并非簡單的堆砌羅列，而是通過“舉一反三”以詮釋其操作模式. 以《九章算術》第五卷“商功”中的問題（18）至問題（22）為例.

問題（18）：

今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈. 問積幾何？（注：1丈=10尺，1米=3尺）

答曰：五千尺.

術曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.

芻童、曲池、盤池、冥谷，皆同術.

術曰：倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一. 其曲池者，并上中、外周而半之，以為上袤;亦并下中、外周而半之，以為下袤.

“芻甍”的本義為蓋上草的屋脊，這里指底面為矩形的屋脊狀的楔體，如圖3所示. 問題（18）翻譯成現代文，即a=2丈，b=4丈，c=3丈，h=1丈，求楔體的體積.“術”的意思是把下底邊長b乘2，加上邊長a后乘c，再乘高h，然后除以6，得計算楔體的體積公式V=，代入數據即得芻甍的體積V==5（立方丈）.E227C040-01ED-487B-B6E2-172084992B78

《九章算術》沒有給出公式推導，而是強調“芻童、曲池、盤池、冥谷，皆同術”，其中芻童、盤池、冥谷分別指上下底面皆為長方形的草垛、土坑、墓坑（圖4的左圖），曲池指上下底面皆為扇形的水池（圖5的右圖）. 顯露出對模型進行算法建構與運用的取向，這與單元復習課突出核心思想方法的目標是一致的.

由此得到啟發：

（1）配套同類設計，為學習者架設建模的階梯. 《九章算術》以問題（18）建立模型，隨即給出了問題（19）——“今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？”該芻童可直觀切割出兩個芻甍（如圖4所示），根據“術”，兩次運用公式V=，可得V芻童==26.5（立方丈）. 先幫助學習者熟悉公式V=的結構，然后以問題（20）、問題（21）、問題（22）進行鞏固.

（2）同類問題有變化、引申與拓廣，以增長學習智慧. 問題（20）求的是曲池（圖5的右圖）的體積，運用公式V=，把多面體芻童推廣到曲面幾何體，表達了我國古代數學以常見的幾何體為基本模型、解決實際問題的特點. 其實，這里還隱含著微積分雛形，顯示出“冪勢既同，則積不容異”的數學思想.

（3）為模型賦予實際情境，滲透經世致用與品格陶冶. 問題（21）求的是盤池的體積，之后緊隨了一個“負土筑池”的問題：“今有盤池，上廣六丈，袤八丈，下廣四丈，袤六丈，深二丈. 問積幾何？”[11]隨后根據工人負土行走難度不同制定了工費計算標準：背筐運土往來70步，其中20步上下腳手架，在腳手架上行走每2步當作平步5步計算，身上背筐步履艱難，每10步當11步計算，現場裝卸所用的時間折算成30步……從中可以感受到，數學應用于現實的情境遠比想象的復雜，負土過程描述了勞動的艱辛，步數的折算考驗著管理者的智慧與公平. 類似例子在《九章算術》中大量存在.

[?]教學建議

1. 拓寬分析視角，精選歷史名題

運用歷史名題，忌為歷史而歷史，忌因名題而陷入“題海”，科學分析教學的各個環節，恪守運用歷史名題的初衷，更好地幫助學生進行單元復習. 從課標視角細化單元的教學要求，注意核心素養在不同階段的學習定位、不同單元相應的德育目標;從教材視角分析單元在新版教材中的位置、與前后章節的關系，厘清主干知識與核心思想方法;從學生視角剖析認知特點，關注單元學習過程中的困難，根據群體特點制定學習共同體的建設方案.

把單元教學與歷史名題作為兩大客體進行辯證分析，使歷史名題既凸顯新理念又能回應現實：哪些因素引發了執教者求索于數學史？與該單元相關的歷史名題有哪些？選擇某個歷史名題的依據是什么？以怎樣的方式進入教學？選擇的歷史名題能達到怎樣的教育效果？在擴展視野時，要立足課標教材，尊重課堂學情，使歷史名題更好地匹配于教育教學.

2. 圖式名題關系，構建問題框架

不因追求演繹高度而盲目加大問題難度，也不因諱言操練而回避規律性總結與鞏固. 吳文俊先生認為：“在數學發展的歷史長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反復消長，交替成為數學發展的主流.”[12]《幾何原本》與《九章算術》代表了中西方數學的文化傳統，兩種取向并重，能使歷史名題的教育效果倍增. 不妨借鑒圖4，把這兩種取向作為問題設計的兩個維度. 縱向以“邏輯演繹”為導向設計逐層遞進的“問題鏈”，感悟數學的理性;橫向以“運算建模”為導向設計同類鞏固的“問題鏈”，鞏固落實學習經驗. 雙鏈合璧，形成一個基于歷史名題的問題框架.

以下作一范例：將《九章算術》第五卷“商功”中的問題（18）、問題（19）、問題（20）分別歸作一類，作為問題1.1、問題1.2、問題1.3，完成“了解算法→運用算法→拓廣算法”，形成“運算建模1”——芻甍的體積公式.

通過問題1.1設計問題2.1：證明芻甍的體積公式V=.

作輔助線（如圖6所示），可得直三棱柱EAD-FBC的體積V=S·EF=ach，四棱錐F-BBCC的體積V=S·h=··c·h=，而四棱錐E-AADD的體積與之相等，運用割補法得到芻甍的體積V=V+2V=.

繼續以芻童、曲池、盤池等設計問題2.2……形成“運算建模2”——出入相補原理.

受“負土筑池”的啟發，增加實際情境，設計問題3.1……形成“運算建模3”——合理的數據運算與分析.

將以上問題組織為圖7.

3. 跨越時空交流，彰顯人文內涵

基于歷史名題的單元復習課，不能一味地解題，而是要關注名題的社會背景、文化差異，凸顯各個題目之間的人文關系，開放課堂交流，集結共同體的智慧，共同領略歷史名題的方法之美、探究之樂、文化之魅.例如，用“出入相補原理”求芻童的體積時，可以出現多種方案（如圖8所示）.

方案①②：把芻童分解成2個芻甍;方案③：右側分解出一個芻甍但左側需要繼續切割;方案④：補形出一個更大的芻甍后，所求體積為V-V;方案⑤：補形存在著思維漏洞，即四條側棱延長后未必相交于一點，這與教材中的習題類似（如圖9所示）[13]，是學生學習棱臺概念的典型錯誤. 棱臺由棱錐截得，上下底面平行且四條側棱延長后相交于同一點. 圖9①即芻童，其上下底面平行，但四條側棱卻可以不交于同一點.

該幾何體在現實生活中大量存在（如高臺、凳子等）. 學生難以理解：如此常見的幾何體為什么沒有成為歐氏體系中的“基本幾何體”？從中可見我國古代數學的“實用主義”與西方數學的“抽象主義”的文化差異. 事實上，用芻甍切割芻童比用棱臺、棱錐來切割要顯得簡單，這體現了一種文化的內在和諧性. 在a=b時芻甍即棱柱，又體現了多元文化的互通共融. 兩種取向都具有去粗存精、至精至簡的思想內涵.

[?]總結展望

從數學到解題是智力的角逐，而從解題到數學則是觀念的回歸. 近幾年高考卷中人文色彩濃郁的考題嶄露頭角，顯示出數學文化融入數學解題的廣闊前景. 高中數學課程中存在著大量的歷史名題，如函數導數中的泰勒公式、麥克勞林公式，解析幾何中的阿基米德三角形、阿波羅尼斯圓，數列中的斐波那契數列、奧雷姆問題，等等，它們自帶文化基因，又融合于單元之中，是推進數學文化全面融入高中數學課程的重要載體.

以歷史名題為契機，挖掘數學解題的文化內涵，提升教師設計問題的層次，讓學生經歷高品質的解題過程，從而感受數學理性的思維范式與認識模式，以及獨特的美學維度與價值判斷，實現立德樹人的教育效果.

參考文獻：

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