數形結合思想在高等數學教學中的應用

陳清池

摘要：數學是研究現實世界的數量關系與空間形式的科學，代數與幾何的聯立推動了數學學科的發展進程，具有不可磨滅的價值，也是數學思想的傳承。數形結合思想方法，能揭示其幾何直觀，解釋內在關聯，刻畫數與形的和諧。當直觀圖形與精確的數量關系巧妙地結合在一起時，能幫助人們尋求解題思路及發現新命題，使問題化難為易、由繁到簡。基于此數形結合的思想，本文綜合自身相關高等數學教學實際，對數形結合思想在高等數學教學中的應用展開了淺要剖析。

關鍵詞：數形結合思想;高等數學;教學應用

引言：從數學學科的發展歷程來看，"形"表示整個客觀世界，最初的"數"來源于對"形"計量，隨之，"形"又擴充了"數"的理論。而在新時代中，高等數學教學需要走向深度，兼顧知識技能與數學思維，以思想方法引領學生探究，理解知識技能。只有教師認同數學思想方法的教育價值，重視并滲透于課堂教學，學生才會有所受益。數形結合思想方法與數感、幾何直觀的形成聯系密切，支撐學生深層次理解高等數學知識，進而有助于學生體會高等數學本質，培養數學多維度思維。

一、梳理教材，做到心中有數

教材是課程理念的有效載體，研讀教材是教師的必修功課，縱觀教材編寫體系有助于教師把握教學目標。教學首先要明確某一課時具體內容，由具體知識輻射至大概念的橫縱聯系，理解教學內容背后的數學思想，關聯學生學科素養。首先，讀懂教材以具體課時出發，理解教學內容，把握教材重難點。教材內容包括主題圖、插圖對話、定理規則、示意圖及課后練習等，教師需對照課程標準了解編者意圖，從這些資料中精準定位教學重點。讀懂教材力求在深度加強，除了顯性知識還需兼顧隱性知識，挖掘教材中的數學思想、數學學習品質、數學文化等。數形結合思想以暗線的形式體現在高等數學教材中，教師需留心插圖、留心探究過程才能發現。例如"函數與極限"中，極限作為整個微積分的教學基礎，也是最為抽象、難懂的高等數學知識點之一。可采用數形結合的思想，在函數圖像中以某個點為帶入，進行具體某點極限的幾何解釋來幫助學生加深理解、加強記憶。

其次，讀透課本從單元整體入手，明確課時在單元中的地位。往常教師備課總是關注本課時的內容，很少關注知識的縱向發展，先見森林在見樹木，見過森林才知樹木的價值。因此將課時放至大單元的背景中，幫助教師把握教材深度的發展脈絡，制定教學目標才更準確。如"定積分"的整體單元，通過梳理教材，教師會發現定積分的學習可以綜合曲邊梯形面積、橢圓公式與坐標系象限的數形結合思想簡化計算。在不同的階段的學習中，數形結合的作用也不相同，初步認識是利于數形結合思想的直觀性，真實情景再現，貼近學生生活。性質學習是將代數與幾何聯系，從形發現規律，從數描述關系。

第三，讀通教材這是關注關鍵概念之間的聯系，如極限、數列極限、函數極限、微積分理論等都是高等數學階段的關鍵概念，分為不同的章節進行學習，但是數學知識是相互聯系的，這與關鍵概念之間有區別也有聯系。教師可以從關鍵概念中提取相同點，這便是"度量"，學習方法上也存在共性，就是建立統一的標準量來度量，而這與數與代數中數的累加就是計數單位的累加完全相同。可見，數學學習結構相似，方法類同，讀透教材有助學生方法遷移。

最后，讀活教材是富有創造力的活動。教學具有開放性，教師對教材的解讀是個人意義的知識建構，"教教材"與"用教材教"是完全不同的層次。只有教師對教材了然于胸，熟悉知識的橫縱聯系，才能從思想的高度理解教材，理解學生，讓教學源于教材還高于教材。

二、明確學生主體地位，融合結果性知識與過程性知識

新時代教育改革中，三維目標成為最大亮點，打破了原來只重視知識技能，忽略過程方法與學生情感態度的局面。現在教育改革近十年，從教學目標的表述來看教師習慣了用三維目標來制定教學標準，掌握了用過程性動詞描述探究過程，注重學生情感態度的培養。但是為何在教師教學中仍然"緊盯知識"，忽略思想方法呢？躍然紙上的定理、公式教師總能輕松把握課程重點，而隱性的數學思想容易忽視。數學思想最能體現數學的思維過程，對學生學科素養的培育起重要意義，教師是教學的引導者，帶領學生超越知識領悟思想。數學是符號的教學，符號是知識的表征形式，多年之后學生有可能會忘記某一公式、定理，而隱藏在背后的數學思想方法卻長久的影響著人們。

深度教學應以學生為主體，超越知識的符號表征，讓學生理解知識的內在邏輯與思考方式，發展學生學科核心素養，教學目標應融合結果性知識與過程性知識。知識的產生必然有火熱的思考與曲折的探索，學生經歷知識的形成過程，從問題或現象出發，經過探究形成結果性知識，積累過程探索經驗。數形結合思想自然蘊含在知識形成的過程中，既是學生探究的手段，也是學生的思想指引。不論從學生認知特點還是教學內容，高等數學起始教育階段是滲透數形結合思想的關鍵期，通過觀察數、形特點理解概念。高等數學中間階段，教師可以協調數與形，從不同教學思考問題，嘗試用函數、微積分解決數的問題，用標準量定量描述形特征，使數形結合思想明朗化。高等數學進階階段，可讓學生有意識地應用數形結合方法，感悟數形結合思想的價值。數形結合思想方法帶有"過程性"，只有學生在理解的基礎上實踐嘗試，在對比中遷移才會感受到數形結合的應用價值。因此，教師在教學中，應鼓勵學生的創作，讓學生自主生成建構，在團體的交流表達中優化完善，通過量的積累必定會產生質變。

結束語：綜上所述，抽象嚴謹的數與直觀形象的形是學習者的"兩只眼睛"，數理邏輯與直觀感知交織在知識形成、發展和應用中，貫穿于學生數學學習的始終。伴隨學習的深入，學生有意識主動地應用遷移，在問題解決中進行數與形轉換推理，在數形探究中感受數形之美，逐步形成系統化思維。數形結合思想幫助學生從不同的角度看待問題，使繁雜的問題簡明化，隱性的條件明朗化，抽象的思維直觀化，對學生數學素養與思維發展影響深遠。因此，根據學生主體特點，在教學中重視并應用數形結合思想方法，是數學優秀文化的傳承，也是數學教育的必然選擇。

參考文獻：

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