激起興趣　引發思考　掌握方法

[摘? 要] 教師在教學中要注重引導學生用自己學過的知識尋找解決問題的方法. 研究者以“二元一次方程組的應用”的教學為例，讓學生對比體會方程（組）的優越性，從問題的“啟”到學生的“悟”，教學中注重引導與鋪墊、轉化與類比，使教學難點得到突破，學生思維能力得到提升、興趣得到激發，讓學生知曉問題中所蘊含的數學思想和方法，最終掌握通過尋找等量關系列出二元一次方程組解決問題的方法.

[關鍵詞] 數學文化;方程;數學思維;數學素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》已經明確提出，課程實施要以不斷發展學生的核心素養為宗旨. 課程目標已經從學科體系走向課程育人，教學目標已經從知識記憶走向知識應用[1]. 數學課堂作為數學教學主陣地，應提供合適的學習素材作為載體將學科知識與社會生產生活相聯系，在教學中給學生提供更多貼近其生活的真實生活場景和問題情境，讓學生意識到數學真實、數學有用、數學好玩，引導學生從解題走向解決問題！筆者在執教“二元一次方程組的應用”一課時，以“激起興趣、引發思考、掌握方法”為教學目標展開教學，使教學難點得到有效突破，學生的思維能力得到有效提升.

備課思考

（一）學情分析

學生在本節課之前學習了一元一次方程的解法與應用，由于剛從小學升入初中，長期受到小學列算式解應用題的固化解題方式的影響，不少同學不習慣利用方程來解決應用題，覺得“麻煩”（一是書寫麻煩，二是計算麻煩），覺得將實際問題數量關系轉化為方程問題是“多此一舉”. 實際上，學生從“算術”到“方程”需要經歷一個適應過程，課本在前一章安排的內容是“用字母代替數”，本章是進一步提升學生符號意識. 本節課作為“二元一次方程組的應用”第1課時將是一個教育契機，利用具體問題讓學生通過探究、分析、對比等過程，感悟“現實原型”可以抽象為“數學模型”——方程模型，逐步理解方程這一數學模型對解決數量關系具有直觀、易懂且不易忘記等優點. 通過學習，學生不斷積累解決和分析問題的基本經驗，并將這些經驗遷移運用到后續學習中去（如函數、不等式等），逐步達到理解和掌握.

（二）教材分析

教材在本章章前部分給出了一道選自《孫子算經》中的歷史名題——雉（雞）兔同籠問題. 教師備課時應充分發揮教材在教學和學習中的潛在功能，教材是文化傳播的重要載體，教材的編者也將數學文化滲透在整套教材中，讓學生感悟數學的應用價值，促進學生主動學習，真正把提升數學素養作為教學目標. 這道有趣的數學問題學生早已熟悉，考慮到不同學段學生認知不同這一特點，安排在這里一方面是說明數學在生活中的應用，另一方面也是想讓學生了解數學在人類文明發展中的重要作用，激起學生學習數學的興趣. 更重要的是讓學生在小學知識的基礎上再思考，進一步發展學生的應用意識和創新意識，通過思考、對比促進學生思維更深層次、更高質量的發展，不斷積累知識、方法、策略，進行新、舊知識比較，從而更好地掌握解決問題的方法.

教學過程

（一）拋出考題，激起興趣

出示一組安徽近幾年中考真題（如表1）.

提出問題：為什么中考要考這些問題？

一是考查文本閱讀能力，將生活情境數學化提煉;二是考查數學建模意識，也就是應用能力. 通過情境的“數學化”提煉并解決，考查學生數學核心素養;三是對中國傳統文化的宣傳具有重要的教育意義，能激發學生的民族自豪感.

（二）回歸課本，感受史話

回到“雞兔同籠”這一歷史名題：今有雉（雞）兔同籠，上有35頭，下有94足，雉兔分別有幾只？

介紹問題背景：選自1500年前《孫子算經》下卷第31題.

提出問題：同學們還能記得小學的做法嗎？

此時有許多學生表示忘記了，筆者找了一位還記得的同學分享解法思路，運用的解題策略是假設法：假設全為雞，因為雞有2只足，則共有70只足，而問題說共有94只足，說明不可能都是雞，因為每只兔子比每只雞多2只足，要多出94-70=24只足，則說明一共有12只兔子，從而有23只雞.

算式如下：94÷2-35=12，35-12=23.

筆者引導學生思考，小學熟悉的問題為什么會忘記了？有的學生回答“靠記憶和模仿”，有的學生回答“不好推導”，有的學生回答“逆向思維不好理解”……

筆者發現《孫子算經》給出的解法是這樣的：讓金雞獨立，兔子站立，則一共有47只足，這樣1只雞（頭）1只足，1只兔子（頭）2只足，35個頭47只足，從而得出兔子12只，雞23只. 和學生表述的方法類似，這種解法是借助表格分析頭和足的變化關系，進而梳理出數量關系，這就需要學生充分讀懂題意（分析雞、兔子頭與足的變化關系），把問題聚焦在足的變化分析上，經歷先直觀再抽象的分析過程.

問：我們剛學了一元一次方程，能不能用一元一次方程來解決這個問題呢？

若設雞有x只，則兔子有（35-x），根據足的關系得出方程2x+4（35-x）=94.

解得x=23，從而雞有23只，兔有12只.

能不能用二元一次方程組解決呢？本題有雞和兔子兩個未知量，有什么關系呢？

列出表格（如表2）：

從而雞有23只，兔有12只.

其實二元一次方程組用加減消元法將第二個方程兩邊除以2再減去第一個方程得出y=12，與列算式方法本質上是一樣的. 另外算術法、方程法思維起點也是一致的，算式通過假設數值，得出變化關系;方程直接假設未知量.

問：你更喜歡哪一種解法呢？

設計意圖? 通過回憶小學做法，結合新學內容，培養學生面對問題的決斷力和謀劃力，增加了趣味性，能引發學生的思考，體驗數學問題不同處理策略的優缺點，感受數學的魅力，體會學習的動力源泉——學以致用. 但是由于“雞兔同籠”問題學生太過于熟悉，有些同學“不認可”利用方程組解決問題的優越性.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D

順勢拋出下一個問題：

《九章算術》記載：以繩測井. 若將繩三折測之，繩多五尺;若將繩四折測之，繩多一尺. 繩長、井深各幾何？

讓同學們根據自己的喜好自由選擇方法來解決，可以用算式，也可以用一元一次方程、二元一次方程組，并討論各自的方法.

三種方法分別讓一名學生說明所寫式子的含義，并分析比較各自方法的特點與好處.

算式：需要找出數據之間隱含的關系，往往需要結合圖形輔助分析，較為抽象和晦澀，一旦算式列好計算較為簡單，而且步驟少、計算少，雖簡約但不簡單！

方程（組）：只需要設出未知數，尋找未知數之間的數量關系，最好是直接的關系，這樣就直接“翻譯”出等式，進而計算即可，往往看起來書寫的內容多，但是直觀、思維含量低.

教師總結：算術法——思維是逆向思考，隱含關系難發現，需要借助綜合分析方能得出結果.

方程法——通過設未知數，把未知數當成已知量，只需要列出問題中的相關代數式并建立數量關系即可. 在思維上順向，更直觀和方便，具有很大優越，特別是有些問題很難發現數量之間的算式關系，但用方程法卻很簡單. 方程具有更廣泛的應用性、普及性.

再次讓學生們辨析三種方法的優劣，感受方程的魅力——普遍性、直觀性、優越性！列算式需要反復轉譯數量運算關系，從一種運算轉譯成其逆運算，有時較為抽象，思維較為復雜，而列方程則可以直接將數量關系翻譯出來，較為直接和簡便.

最后引導學生審視列方程的過程，總結出列方程組解決實際問題的步驟：

尋找等量關系、設未知數、列出方程、最后解和答，讓學生經歷“模仿”，當問題所求有兩個未知量時，必須找到兩個等量關系，組成二元一次方程組求解.

例題講解：

李先生從家到公司去上班要先經過一段平路再過一段下坡路. 他走平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，從家到公司需要10分鐘，從公司到家需要14分鐘，求李先生家離公司有多少米？

提示：嘗試畫出示意圖（如圖1），可幫助找到等量關系.

課后思考? 有人說：“凡可用二元一次方程組解決的問題，都可用一元一次方程來解決. 因此，在學過一元一次方程后沒有必要再學二元一次方程組了.”對此，談談你的看法[2].

設計意圖? 通過例題讓學生再次思考解決問題的過程，從中歸納解題步驟，形成解題策略并深刻理解，真正發展解題思維. 對于問題中未知量之間有和、差、倍、分或者有明確的數量關系的情況下，用一元一次方程或者二元一次方程組都可以，遵循簡潔為主. 體會方程的一般性、概括性，是刻畫現實生活一個有效的數學模型.

教后反思

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確要求將數學文化融入課程內容，從而使數學文化從學術形態進入課程形態. 數學文化要發揮育人功能，需要教師不失時機地在課堂中介紹、展示以及解讀，對考題中出現的數學文化考查進行必要的加工，確保生動有趣而又體現數學應用，充分發揮數學文化的人文價值，引導學生發現數學與生活的聯系.

本節課在學生剛學完一元一次方程及其應用和二元一次方程組解法的基礎上，通過章前“雞兔同籠”圖的使用，引導學生尋找解決問題的策略，讓學生用自己已學過的知識嘗試解決，不僅讓學生了解到習題背后的文化內涵，更讓學生知曉問題中所蘊含的數學思想和方法，掌握解決這一類問題的策略. 而且通過引入能激發學生興趣，利用幾個問題的解決強化方程模型思想，感受運用對比體會方程（組）的優越性以及將問題簡單化（列表或畫示意圖）的轉化思想. 這既是一元一次方程組解應用題的鞏固，也為后面三元一次方程組應用做好了鋪墊.

通過教師的問題“啟”到學生的“悟”，教學中注重引導與鋪墊、轉化與類比，使教學難點得到有效突破，學生的思維能力得到有效提升. 學生在問題引領下興趣得到激發，充分參與數學活動，形成數學思考[3]，最終掌握了通過尋找等量關系列出二元一次方程組解決問題的方法.

在數學素養培養中學生除了應具備堅實的數學基礎知識和熟練的數學基本技能，還應掌握一些探究數學問題的經驗和方法. 初等教育階段學生的經驗和方法主要來自于學生自己的觀察和對老師的模仿，教師的課堂設計就顯得尤為重要. 教師要讓學生進行有效的思考與探究活動，讓學生經歷思維發生過程，問題解決的探索過程，新舊問題的轉化過程，問題的發現、提出和解決過程，潛移默化地幫助學生積累數學活動經驗.

作為教師應精心創設問題情境，以學生為中心，以問題為思維載體，適時點撥，讓學生體驗成功，讓學生“動”起來，激發學生的學習欲望，引發學生的思考，促進學生主動學習、自覺遷移，從而真正提升數學能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]新時代數學編寫組. 數學教師用書（七年級上冊）[M]. 上海：上海科學技術出版社，2014.

[3]武前煒. 問題引領讓課堂煥發活力[J]. 中學數學教學，2020（02）：35-38.3B07C8FC-B918-4C58-BC2A-B1B86894886D