高中數學教材研究

趙聯利

摘要：教材是教師教學的重要工具，也是學生獲得知識和技能的重要途徑，所以，學會分析教材對教師來說尤為重要。本文以高中教材中“三角函數”所在章節為例，從知識背景、教學功能、知識結構等方面分析初高中教材中知識的深淺銜接，希望能彌補當前初高中數學教材中存在的部分知識結構銜接上的不足，進而不斷修正和完善教材，進一步促進初高中數學教學的銜接與過渡，為教師完成數學教學的銜接工作提供參考。

關鍵詞：三角函數;教材銜接，數學教學

引言

“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”.數學抽象反映了數學的本質特征，是形成理性思維的重要基礎，它包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的聯系，以及從事物與事物之間的聯系、事物內部要素之間的聯系中抽象出一般規律和結構，并用數學語言加以表征.數學抽象同時也作為數學學科六大核心素養之一，占據著十分重要的地位.《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《新課標》）中指出教材編寫應“在數學內容的表述中體現數學學科核心素養，編寫出數學內容與數學學科核心素養融為一體的教材.”數學教材是實現數學課程目標的重要教學資源，也是培養數學抽象素養的重要載體。基于此，本文將著眼于數學抽象素養，對依據《新課標》編寫的人教A版高中數學新教材中《三角函數》這一章節內容展開分析。

一、教材的定義

狹義地講，教材的根本是相關學科的培養目標和教學任務，以此組織和編寫的具有一定深度和廣度的知識和技能體系。日本教育大學歡喜隆司教授對“教材”提出了廣義的定義：教材實際上是源于生活、科學、藝術、文化的各個領域，而后被有計劃地組織到一起，形成了一套完整的知識體系和能力體系。隨著社會的發展和教育的改革，“教材”的定義不再是傳統的定義，它被賦予了新的意義，不只是簡單地將定理、定義和法則呈現在書面上，而是把教材看作課堂上教師與學生聯系的紐帶，學生把教材上的知識當作一個話題來討論，教師對學生加以引導，使其進行自主學習和合作探究，并得出結論，進而充分發揮學生的主觀能動性。

二、知識背景分析

知識背景會一直滲透在學習和教學中，不管在歷史情境中還是現實環境中，都會作用于學生，學生會更容易理解和掌握知識。了解數學知識的發展可以更深入地理解其中蘊含的數學思想實質和數學發展規律，更準確、更靈活地把握數學教學知識。高中數學所學的三角函數的根源都歸于三角學，它本來的意思是“三角形的測量”，后來人們把關于三角形和其他圖形的研究，以及研究三角函數的性質和應用的學科統稱為三角學。

學生最終會走向社會，所以數學教材中還要引導學生了解相關的社會應用，使學生可以從教材中獲取數學建模的素材，更廣泛地了解教學內容的意義和價值。當今世界應用廣泛的數學知識之一就是初中學習的直角三角形中邊角的關系，銳角三角函數在現實生活中有很大的應用價值，可以解決很多現實問題，如人們常常遇到的距離、高度、角度等測量問題，一般情況下，這些實際問題的數量關系都可以歸結為直角三角形中邊和角的關系問題。

三、教材內容分析結果

1.獲得數學概念和形式

數學概念是抽象的重要產物之一，且概念知識本質的提取過程也反映了數學抽象邏輯性、層次性的發展過程.史寧中將數學抽象劃分為三個階段：一是簡約階段，即把握事物的本質，把繁雜問題簡單化表達;二是符號階段，即去掉具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物在內的一類事物;三是普適階段，即通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物.在教材的章引言部分，介紹了許多現實生活中周而復始的運動變化現象，使學生體會圓周運動的現實背景.進一步引到單位圓上點P的圓周運動，給出任意角和弧度制等預備知識

2.認識數學結構與體系

從整體上來看，在學習三角函數一章之前所學的是函數的概念與性質以及指數函數、對數函數，這樣集中安排函數內容學習有利于函數學習經驗的運用、函數知識的系統構建;從章節內部來看，教材是按照“背景—概念—性質—應用”的邏輯呈現，通過波動、簡諧振動等典型而豐富的周而復始的運動變化進行引入，讓學生感知周期變化的普遍存在，以說明研究三角函數的必要性，這是“來龍”;將抽象的知識運用到實際生活中以解決周期運動一類的問題，這是“去脈”，同時三角函數也是后續研究幾何問題的重要工具.這樣的編排方式有利于形成數學知識縱向和橫向的完整結構，既符合學科知識邏輯，又關注到了學生的心理發展。

3.形成數學方法與思想

數學方法與思想的形成既是抽象的重要產物，又有助于對抽象過程的理解，兩者是相輔相成的.在三角函數定義形成的過程中體現了抽象與概括、特殊與一般、對應等思想;在利用“單位圓”這一腳手架推導三角函數圖象與性質的過程中體現了數形結合、對稱性與不變性的思想.教材在呈現三角函數性質時，是從概念中要素的關系、概念間的聯系到與其他知識的聯系，循序漸進的編排方式有助于學生自然地理解借助幾何直觀、從特殊到一般的基本過程;且在三角函數公式的推導和證明中都用到了單位圓，反復利用的目的在于形成一般化的研究路徑和研究方法，使學生體會理解基本的知識形成過程及蘊含的數學思想。

四、思考與建議

1.深化數學概念認知以涵育抽象思維素養

抽象和概括是獲得數學概念的主要思維方式，概念教學則是培育數學抽象素養的重要路徑.數學概念的學習包括觀察客觀現象并提出研究問題，通過比較、概括等方式提取事物的本質特征，在抽象形成必要的概念基礎之上探索事物的內在規律，應用定理、性質等解決問題;在此基礎上，應著力深化學生對概念內涵與知識意義的認知，促使概念知識和思維能力進一步升華為抽象思維素養。

2.豐富模型應用情境以提升抽象概括能力

基于數學抽象素養的教學應重視情境的創設和問題的提出，因為設計情境和提出問題的目的是啟發學生思考，引導學生有效參與數學活動，促使學生理解數學內容本質.在課堂教學中，除了提供數學情境以及教材所給的問題情境外，可以設計與學生生活經驗相吻合的個人情境、反映時代氣息的社會情境以及與其他學科融合的科學情境下的問題等，以豐富學生的模型應用經驗，提高靈活應用的水平;也可考慮設置相互之間具有聯系、相互統領的問題情境背景以增強內容間的關聯性。

總結：總之，教材是教學的重要手段，教師在備課時要深入研究教材，掌握知識的產生背景和在實際生活中的應用，以及前后知識的聯系，還要選取適當的方法，明確教學給學生帶來的價值。筆者經過分析發現，初高中教材中的三角函數整體上比較銜接，符合教材的層次性、整體性和等級性，但通過知識結構分析得出，三角函數相關知識在初中階段分布過少，可以適當地將角的概念的推廣和弧度制放在初中學習，以此減少學生在高中學習的壓力。

參考文獻：

[1]陳晨基于學生認知發展的初高中數學銜接教學的實踐研究[D].上海：上海師范大學，2020.

[2]謝金芮.初高中數學教材知識結構銜接研究[D].重慶：西南大學，2014.