基本不等式的應用技巧

摘要：基本不等式的應用技巧主要有轉化、乘1、配湊、消元、放縮等技巧，應用時要注意條件，即一正、二定、三相等，這三個條件缺一不可.常用于求最值、范圍與證明等方面.

關鍵詞：基本不等式;技巧;點評;教學反思

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）16-0081-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡介：袁加順（1966.12-），男，云南省祥云縣人，本科，中小學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

基本不等式是高中階段學習的一個重要的不等式，也是高考常考的考點，應用較為廣泛.常用于求范圍、最值與證明等. 在應用基本不等式思考問題時，要關注一正、二定、三相等這三個條件是否滿足，缺一不可.如果應用好這三個條件，掌握一些解題技巧，用基本不等式求最值等很多問題就能迎刃而解.

1 轉化技巧

把方程或者等式利用基本不等式放縮為不等式，從而達到求解問題的目的.

例1已知正實數a，b滿足ab=a+b+3，則a+b的取值范圍是（）.

A.[9，+∞）B.[6，+∞）

C.（0，9]D.（0，6）

解析利用基本不等式把ab=a+b+3轉化為a+b+3=ab≤a+b22，當且僅當a=b時取“=”，整理，得a+b2-4（a+b）-12≥0.

化簡，得a+b+2（a+b-6）≥0.

因為a>0，b>0，所以a+b≥6，故選B.

點評題目需要求a+b的取值范圍，只有把積ab用基本不等式轉化為和a+b的形式，也就是把等式轉化為不等式，問題就可以解決了.

2 乘1技巧

例2已知x+2y=xy（x>0，y>0），則2x+y的最小值為.

解析由x+2y=xy（x>0，y>0），

可得2x+1y=1.

則（2x+y）2x+1y=4+1+2yx+2xy≥5+

22yx·2xy=9，當且僅當2yx=2xy且2x+1y=1，即x=3，y=3時取等號.此時取得最小值9.

點評同一道題目，如果用到幾次基本不等式，條件必須要統一，否則就不能使用，如果用乘1法，用一次基本不等式就能解決問題.

3 配湊技巧

3.1 配系數

有時候求解兩個式子之積的最大值時，需要這兩個式子之和為常數，但很多時候其和并不是常數，需要對其中某些系數進行調整，使得其和為常數.

例3當x∈0，2時，求函數f（x）=x（4-2x）的最大值.

解析f（x）=x（4-2x）=12·2x（4-2x）≤122x+4-2x22=2.

當且僅當2x=4-2x，即x=1時取等號.所以函數f（x）=x（4-2x）的最大值為2.

點評由x∈0，2可知4-2x>0，要滿足和為定值，只有通過湊系數進行轉化才可以用基本不等式求解.

3.2 配項

例4設x>3，求函數f（x）=x+16x-3最小值.

解析f（x）=x+6x-3=x-3+16x-3+3≥

2（x-3）·16x-3+3=11.

當且僅當x-3=16x-3，即x=7時取等號.

因此函數f（x）=x+16x-3的最小值為11.

點評要求和的最小值，必須積為定值，通過加上或減去項的方法可以實現.x+16x-3積不為定值，只要減去3得x-3+16x-3+3，就能湊成基本不等式的模型，從而達到解決問題的目的.

3.3 配次方

例5求函數y=x3-x2，x∈-3，3的值域.

解析2y2=2x23-x23-x2

≤2x2+3-x2+3-x233=8，

當且僅當2x2=3-x2，即x=±1時取等號.

所以函數y=x3-x2的值域為-2，2.

點評由于x∈-3，3，給出積的形式，要考慮用基本不等式，和必為定值，根據式子結構特點，兩邊平方乘以2即可.

3.4 復雜的配湊技巧

例6設x>-1，求函數f（x）=x2+2x+2x+1最小值.

解析f（x）=x2+2x+2x+1=x+12+1x+1=x+1+1x+1，因為x>-1，由基本不等式得

x+1+1x+1≥2x+1·1x+1=2，

當且僅當1x+1=x+1，即x=0時取等號.

故函數f（x）=x2+2x+2x+1的最小值為2.

點評若分子的次數高于分母的次數，則可考慮裂項，變為和的形式，然后“拼湊定積”.4 消元技巧

消元法是不等式中的兩元問題，用一個字母表示另一個字母，再構造為基本不等式的標準型.

例7已知m>0，n>-1，且m+n=1，求m2+3m+n2n+1的最小值.

解析已知m>0，n>-1，且m+n=1，

所以n=1-m<1.

所以2-m>0.

所以m2+3m+n2n+1=m+3m+（1-m）22-m

=3m+12-m=12·m+（2-m）·3m+12-m

=12·3+m2-m+3（2-m）m+1

≥12·4+2m2-m·3（2-m）m

=4+232

=2+3，

當且僅當m2-m=3（2-m）m時取等號.

故m2+3m+n2n+1的最小值為2+3.

點評考慮消元，由m+n=1得n=1-m，代入m2+3m+n2n+1=m+3m+（1-m）22-m，通過適當的變形，利用基本不等式，問題就能解決.

例8若正數x，y滿足1x+1y=1，求1x-1+4y-1的最小值.

解法1因為正數x，y滿足1x+1y=1，

所以x>1，y>1.

1x+1y=1可變形為x+yxy=1.

可得xy-x-y=0.

化為（x-1）（y-1）=1.

所以y-1=1x-1.

因此有1x-1+4y-1=1x-1+4（x-1）≥

21x-1×4（x-1）=4，當且僅當1x-1=4（x-1），即x=32時取等號.

故1x-1+4y-1的最小值為4.

點評思考從不同的角度消元，由1x+1y=1，得y-1=1x-1或x=yy-1，代入1x-1+4y-1，適當變形，利用基本不等式，問題就能解決.

5 放縮技巧

有些代數式根據式子的結構特征經過拆、拼放縮后，再用基本不等式求最值.

例9設由a>b>c>0，則2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2的最小值為（）.

A.2 B.4 C.25D.5

解析2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2=a2-ab+1a2-ab+1ab+ab+a2-10ac+25c2

≥2（a2-ab）·1a2-ab+21ab·ab+a-5c2≥2+2+0=4.

當且僅當a2-ab=1a2-ab 且 1ab=ab且a=5c，即a=2，b=22，c=25時取等號.

故2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2的最小值為4.

故選B.

點評同一題目用幾次基本不等式，相等的條件必須要統一，不能互相矛盾.換句話說，當且僅當a2-ab=1a2-ab，1ab=ab，a=5c，這三個等式中的a，b，c值要滿足a>b>c>0才行.

參考文獻：

[1]?吳曉英.中學數學解題思想方法技巧[M].西安：陜西師范大學出版總社，2012.

[2] 劉彥永.一題一課高中數學好題賞析[M].杭州：浙江大學出版社，2018.

[責任編輯：李璟]