基于大數據挖掘的初中數學教學內容重點發現研究

樂惠驍 賈積有

摘 要：了解初中數學的教學重點對于促進教師教學具有重要意義。但是一般教師對于教學重點的把握主要靠教學經驗，已有的研究主要采用問卷調查等方法對教師觀念中的教學重點進行探討，得到的結論主觀性較強。本文梳理了教學重點的概念，從發生認識論的視角入手，基于在線學習者的380萬條行為日志數據以及87萬余套試題文本，將人教版初中數學教材的每章知識點及其關系用三個量化指標進行客觀描述：概念網絡、成績網絡以及對后續成績的影響。本文在分別計算了三個指標并進行三位一體的可視化呈現后，得到三個結論：初中數學的學習過程中早期學習的知識往往更重要;代數與幾何的知識是初中數學中的教學重點，但是學習者代數知識的掌握情況對于后續學習有更大的影響;代數和幾何的銜接類知識在初中數學學習中有著獨特的重要性。本文提出并實現的基于大數據挖掘的教學內容重點發現技術及其結論對數學和其他各個學科的教和學都具有重要的參考價值。

關鍵詞：初中數學;教學重點;知識結構;教育大數據

中圖分類號：G4 文獻標志碼：A 文章編號：2096-0069（2022）03-0049-09

收稿日期：2021-12-12

基金項目：2017年度中央電化教育館全國教育技術研究規劃重點課題“基于智能技術和大數據分析的個性化教學研究”（176220009）;2020年度北京大學教育大數據研究項目“基于大規模學生學習活動數據挖掘的自適應性智能教學系統研究”（2020YBC07）

作者簡介：樂惠驍（1995— ? ），男，浙江嘉善人，北京大學教育學院教育技術系博士研究生，研究方向為人工智能教育應用;賈積有

（1969— ? ），男，河南獲嘉人，北京大學教育學院教育技術系主任、教授、博士生導師、北京大學教育信息化國際研究中心主任，研究方向為教育技術學和人工智能教育應用。

引言

教學重點是在初中數學教學一線經常聽到的一個詞，對于教師和學生來說，了解教學重點，有針對性地開展教學和學習才能事半功倍。然而對于一般教師來說，精準地把握初中數學中的教學重點并不容易。

對于教學研究者來說，識別初中數學中的教學重點也是不小的挑戰。一方面，由于跨文化的基礎教育的差異性，可供參考的研究大多集中于國內，且不同地區的初中數學使用的教材不盡相同，這為識別教材重點增加了難度，也不便研究結論的推廣。另一方面，研究者往往將教師作為研究對象，希望以教師的觀點來支撐研究結論的合理性，相關研究方法局限于對于師生的問卷調查與訪談。但是教師自身對于教學重點的把握有時也是模糊且主觀的。這造成了已有結果之間無法形成有效的對話，且對于“哪些知識點是教學重點，這些知識點有多重要”的回答較為模糊。此外，囿于研究成本的限制，已有的研究大多局限于對單個教學重點的分析，對于全局的初中數學教學內容中教學重點的研究寥寥無幾。

近年，學習分析的興起為識別教學重點提供了新的思路。在線學習平臺中，學習者產生的行為日志中蘊藏著海量信息，研究者可以使用數據挖掘的方法將其中有價值的信息挖掘出來并獲得有意義的發現。在這一視角下，本文對某在線數學學習平臺上學習者參與初中人教版數學在線練習累計的380萬條日志數據以及87萬余套試題進行分析，結合學習者的在線學習活動指數[1]，以期依靠大樣本的數據和定量的分析方法獲得對初中數學教學中的教學重點的掌握。

一、文獻綜述

（一）教學重點識別的相關研究

朱珍通過對教師的問卷調查，整理教師的觀點后得到確定初中數學教學重點的依據：其一是考慮課程標準這一大綱性的指導文件;其二是教師根據具體每一節課的教學目標設計其中的教學重點。此外，其論文中還指出了教師教學重點把握不當的問題[2]。徐百靈對教師和學生對于初中數學教學重點的認知差異進行了探究，發現從總體上來說教師和學生對于教學重點的認識不存在差異，主要是“數與代數”和“空間與圖形”兩大領域，且教師和學生對于教學重點認知的一致性隨著教學的開展而提高[3]。張勝利探究了數學概念在數學教科書中的呈現規律，與此同時也調查了初中數學教師認知中的關于初中數學的核心概念，其中排名前10的概念中，數與代數概念有6個，空間與圖形概念有4個[4]。此外，一線教師也探討了在某一知識點對應的課堂教學中應該把握的教學重點[5][6]。

已有的研究中也存在著這樣的一個問題：這些研究中確定教學重點的方法都是對教師進行定性的調研，教師作為一線工作者的經驗和觀念被用作論證什么是教學重點、什么不是教學重點的依據。然而，從一線教師的一些觀點來看，教師整個群體中存在相當部分的教師無法有效地把握教學中的重點[7]。那么教師掌握的教學經驗究竟是否能夠反映真實的教學重點的情況呢？局限的個體經驗能否推廣到一個一般性的結論？這是已有教學重點方面的研究面臨的一大挑戰。

（二）教學重點的概念梳理

教師對于教學重點把握模糊的一個重要原因在于教學重點概念本身的多重意義。筆者通過梳理教學重點的不同概念，發現教學重點這一概念本身有著三種意義。

第一種是從教學目標出發的。對于教學目標來說教學重點是最核心的內容，也是課程標準的制定者希望學習者必須掌握的基礎內容，例如基本的概念、原理、定義和公式等。

第二種是從學生的認知發展出發的。教學重點是課程結構的主要線索，掌握了這部分內容，對于學生學習新知識和鞏固舊知識都有決定性的作用。這種認識下，教學重點則是那些在教材的所有知識結構中承上啟下的關鍵知識點。

第三種來自教師對于教學績效的認識，教學重點就是考試的熱點。以往教師確定教學重點的依據之一就是通過教材內容掌握高頻考點[8]。對于教師來說，他們希望學生學得好，考試考得好，在平時教學中比較關注高頻考點和熱點，而這一類考點自然也就成了教學的重點。

如果從課程標準和教材編寫以及綜合性考試的出題組卷這一完整的教學系統運作的邏輯來看，第一種和第三種觀念下的教學重點雖然概念不同，但是最終這兩種不同概念定義的教學重點的內容在很大程度上是重合的，都是描述“教什么”的問題：綜合性考試的目的是對學生的知識掌握情況進行測試，而測試要具有良好的內容效度，其中重點考查的知識就必須與課程標準所明確的教學重點相一致。綜合性考試中的熱門、高頻考點往往傳達的是教育部門要求學生重點掌握的知識。學生的學業成績是教師重要的績效指標，教師在教學中會特別強調學業考試考查的內容，以高效地提升自己的績效[9]。

對于教師而言，有課程標準的指導，相對于“教什么”，“怎么教”才是一個大問題。教師對于知識結構中的教學重點的把握并不充分。初中數學教學內容是一個龐大的結構化的知識體系，從教學全局出發，在按照教材開展線性教學的過程中，教師往往需要確認哪一個知識點需要花費更多的時間與精力進行講授，才能使得學生在整體的知識掌握上有更好的表現。比如，在常用的人教版初中數學教材中，知識結構中的教學重點有哪些，這是廣大教師特別關注的一個問題，也是本文的研究問題。

為了解決這個問題，本文著重就知識結構中的教學重點進行探討，依據一個在線數學教學系統中初中數學人教版的大量學習測驗記錄及其題庫，以定量數據識別人教版初中數學中的教學重點。

（三）知識結構中的教學重點——發生認識論的視角

池次郎.諾納卡（Ikujoro Nonaka）等人認為，個體知識的建構，或者說個人學習的發生過程，可以用這樣的三個階段來描述：信息的獲取、信息的轉義以及知識的建構。在信息獲取階段，學習者通過比較環境中的外部信息與自身知識結構的差異發現環境中的有用信息;在信息轉義階段，學習者將感興趣的信息與自己已有的知識進行組織和整合;在知識建構的階段，學習者調整了自身的知識結構，從而獲得了能在不同情境中應用的有意義的新知識[10]。深受發生認識論影響的奧蘇伯爾也對知識的獲取有類似的觀點。他認為知識獲取是新知識與學習者認知結構中已有觀念建立非人為的、實質性聯系的過程，學習者能否習得新知識的關鍵在于其認知結構中是否有適當的、能起固定作用的觀念[11][12]。由此，從發生認識論的角度出發，在知識獲取的過程中，學習者已有的知識結構是一個重要的變量。如果其已有的知識結構中有著能有效地對新的內容進行同化的錨點，那么新知識的習得會變得更有效。

在這一視角下，初中數學的教學過程其實是不斷發展建構學習者知識結構的過程，在教師講授每一個新知識點的時候，學習者能否有效地對這一知識點進行同化的關鍵在于其現有知識結構能否整合這部分教學內容中的信息。例如，學習者在理解全等三角形這一概念時，教學內容傳達的信息將會與學習者已建立起來的三角形、角、邊等數學概念發生聯系，而學習者能否有效習得全等三角形相關概念的關鍵在于其知識結構中是否已有完整的三角形、角、邊等概念。所以，初中數學教學的過程就是搭建學習者知識結構的過程，如果學習者知識結構中先前的“地基”沒有打好，那么對之后新內容的有效同化也很難發生。

綜上，在發生認識論的視角下，知識結構中的教學重點的概念就是在學習者的知識結構中與大量其他知識點發生聯系，能作為許多知識同化過程中的固定錨點的知識點。基于此，本文進行了進一步的研究設計，以發現學習者知識結構中的教學重點。

二、研究設計

（一）研究對象

本文的研究對象為某在線教學系統中初中數學人教版的學習測驗記錄及題庫[13][14]。在該系統上，測驗以闖關的形式呈現，每關對應一套測驗題，題型為選擇題或者填空題。學生必須依次做對每道題才算闖關成功。若單道題未能答對，則可以重復做題直到答對或超時為止。系統記錄的主要信息包括學生做該套題所用的時間、提交錯誤答案的次數、測驗得分等。該系統中的題庫來自一線教研人員和教師的命題，測驗中命題的內容、形式和難度與實際綜合性考試中的試題相仿，有較好的內容效度和效標效度。數據集中共有試卷87萬余套。有關初中數學人教版的做題記錄有380萬條，涉及4萬余學習者。當然，并非學習平臺上的學習者都完成了人教版初中數學所有單元的學習，本文篩選出83名完成了平臺上初中數學人教版全部章節內容學習，且在每章上至少進行了5次學習活動的學習者。

人教版初中數學共29章，其中的知識點可以概括為4類：幾何類、代數類、數理統計類、銜接類。

（二）研究方法

基于教學重點的概念，本文提出3個指標來描述某一知識點在知識結構中的重要性：概念網絡、成績網絡以及知識點掌握程度對后續學習的影響。

1.指標一：概念網絡

在學習者學習新的概念時，新的概念會與學習者已經習得的概念發生聯系，這種聯系的強弱影響了學習者對新知識同化的程度。在知識圖譜的研究中，圖和網絡是一種常用的表征知識結構的數學工具。可以用圖中的頂點表示知識內容，而用頂點間的邊表示知識間的某種關系。類似地，本文用圖對初中數學中的知識點及知識點概念間的聯系進行演示，圖的頂點代表知識內容，而頂點間的邊則代表兩個知識在概念上的聯系，邊的權重代表概念聯系的強弱。

在知識點的顆粒度大小的選擇上，過小的顆粒度會增加圖的復雜度，同時降低進行統計推斷時的樣本量，影響結論的信效度;而過大顆粒度的知識點則會降低研究的意義和價值。本文用每個單元的內容作為圖的頂點。

圖的邊表示兩個知識點在概念上的聯系，本文假設概念網絡是一個無向全聯通圖，即其中的所有知識點之間都有聯系，只是在概念上聯系的強弱不同。本文使用知識點對應的試題文本在語義上的相似度來度量兩個知識點概念間的聯系強弱，相似度越高，則說明聯系越強。對于某兩個知識點i和j，保留名詞、動詞等實詞，使用文檔-逆文檔頻率（TF-IDF），為詞向量中的不同詞賦予特征權重，相似度就是兩個詞向量的歐式距離。

當一個知識點與許多知識點之間有很強的概念上的聯系，那么這個頂點所代表的知識點在初中數學的概念網絡中就更重要。本文使用Pagerank算法（網頁排序算法）對圖中頂點的重要性進行度量。對于知識點構成的網絡來說，Pagerank值更大的知識節點在概念網絡中就占有更重要的位置，也是教學中應該關注的教學重點。

2.指標二：成績網絡

如果在學習者的考試題數據中發現這樣一種情況，如果知識點B的學習需要知識點A作為其錨點，或者是在知識點A的基礎上展開的，那么知識點A與B的掌握程度之間就會存在這樣一種因果關系：學習者對知識點B的掌握程度在一定程度上取決于其對知識點A的掌握程度，而在一個學習者群體的觀察數據構成的樣本中，這種因果關系就會在一定程度上表現為學習者在知識點A與B的成績間的相關性。本文用圖結構來描述初中數學中的知識點及知識點間掌握程度的關系，并構造一個初中數學知識的成績網絡。其中，圖的頂點代表知識內容，而頂點間的邊則代表兩個知識點在掌握程度上的相關性，邊的權重代表掌握程度的相關性強弱。

測驗是測量學習者對某一知識的掌握程度的常用手段，本文采用賈積有等人提出的在線學習行為指數來衡量在線學習的測驗成績，包括質量、速度和數量三個維度[15]。

成績網絡的頂點表征數學教材中的某一單元。成績網絡的邊表示兩個知識點在掌握程度上的聯系，用學習者群體在兩個單元的測驗成績之間的皮爾森相關系數表征其權重;為了保證研究的效度，若該邊表示的相關系數不能通過對其相關性的假設檢驗（p>0.1），則不考慮這兩個知識點在掌握程度上的聯系性。成績網絡也使用頂點的Pagerank值作為重要性的度量。

3.指標三：知識點掌握程度對后續學習的影響

概念網絡和成績網絡雖然可以通過知識點內容和學習者學業表現的相關性來描述知識點間的關系，但是初中數學的知識點教學是以順序結構展開的，學習者對先前學習知識的掌握程度會影響到其對后續知識的學習。本文用如下多元線性回歸模型來描述學習者在知識點i上的平均得分Avg、知識點i前所有單元平均成績Avgbefore、知識點i后所有單元的平均成績Avgafter之間的關系。

Avgafter=a*Avgbefore+b*Avg + c（a為Avgbefore系數，b為Avg系數，c為常數）

三、研究結果

（一）概念網絡

對系統87萬余套試題，計算各單元文本詞向量的TF-IDF值及其相似度，得到人教版初中數學的概念網絡，如圖1（見下頁）所示，其中去除了權重小于所有邊平均權重的邊。從概念網絡來看，幾何知識與代數知識的重要性均遠大于數理統計知識。

（二）成績網絡

根據83名學習者在各單元上學習的質量和速度數值，計算各單元間知識的相關性，可以得到測驗網絡的邊的權值，再去除權重小于所有邊平均權重的邊，進而畫出成績網絡，如圖2（見下頁）所示。從成績網絡來看，幾何知識與代數知識的重要性遠大于數理統計知識。與此同時，銜接類的知識在成績網絡中的重要性很大。

（三） 知識點掌握程度對后續學習的影響

表1呈現了以各章知識點掌握程度（Avg）和知識點i前所有單元平均成績（Avgbefore）為自變量、知識點i后所有單元的平均成績（Avgafter）為因變量的多元回歸結果。因為第一章“有理數”和最后一章“投影與視圖”分別位于學習序列的首尾，分別缺少Avgbefore和Avgafter，所以不計算這兩章的回歸公式。

可見第二章和第三章知識點的Avgbefore項的系數偏小，說明在初中學習的開始階段學習者的可塑性很強，以往的學習成績并不能很好地預測之后的學業表現。代數類知識的掌握情況對后續學習的影響大于幾何類知識。銜接類的知識對后續學習有很大的影響。

（四） 三個指標的三位一體可視化呈現

為了全面考察三種指標之間的關系，本文采用三位一體的可視化方法，如圖3（見下頁）所示。其中橫軸為知識點在概念網絡中的pagerank值，表示知識點在概念網絡中的重要程度;縱軸為知識點在成績網絡中的pagerank值，表示知識點在學習網絡中的重要程度。縱軸為知識點在成績網絡中的重要程度，知識點對應的氣泡大小表示知識點對后續學習的影響程度，點越大，則對后續學習的影響越大。兩條垂直于坐標軸的虛線與坐標軸的交點分別是各章知識點在該軸上的投影點的均值。

可以看出，七年級的知識內容（包括第二章、第三章、第四章和第六章）都處于整個知識體系的右上方，說明這些知識點不但在測驗網絡中占據有影響力的位置，而且對后續學習的影響也較大。二次根式與勾股定理在初中數學的知識結構中起到承上啟下的作用，一方面銜接了關于二次函數的代數知識，一方面又與角、三角形等幾何知識發生聯系。這一結果暗示著在教學中關注綜合銜接這一類知識對于學習者全局掌握初中數學知識有很大的幫助。

四、研究結論和討論

不同于與以往研究中經常采用的對教師展開問卷調查和訪談等方法，本文梳理了教學重點的概念，并從發生認識論的理論視角入手，重點探究初中數學知識結構中的教學重點，并基于更為客觀的學習者的行為日志數據和平臺題庫，將其操作化為三個可量化的指標。大體而言，本文從知識點在概念上的重要性和在學習者學習表現中的重要性入手，用不同角度刻畫了初中數學中一個知識點的重要程度。概念網絡有助于教師把握初中數學教學中的概念上的重點，對一些基礎的、重要的概念在教學中加以強調，有利于學習者之后的學習。當然，數學知識中很大一部分并非單純的陳述性知識，過程與方法性的知識也是初中數學知識的重要組成部分。相對而言，成績網絡和前后知識掌握的回歸方程彌補了概念網絡的缺陷，有助于教師以學習者測驗成績為績效目標，把握教學重點，合理分配教學精力。

在對知識點進行三個維度的描述和三維一體的可視化呈現基礎上，本文得出了三個結論：初中數學的學習過程中早期學習的知識往往更重要;代數與幾何的知識是初中數學中的教學重點，但是學習者代數知識的掌握情況對于后續學習有更大的影響;代數和幾何的銜接類知識在初中數學學習中有著獨特的重要性。這些結論對于初中數學教學具有較大的參考價值。

與徐百靈的研究結論相符，初中數學中的代數和幾何這兩部分的內容顯得同等重要[16]。這與代數類知識大多在初中數學學習的前期開始教授有關，也可以用皮亞杰的兒童認知發展階段理論解釋：具體思維運算階段的運算離不開具體事物的支持， 還不能組成一個結構的整體和一個完整的系統，而形式運算階段學習者的思維能從理論出發，不受具體事物的限制。相比于直觀的幾何知識，抽象的代數符號更難于被這一階段的學習者所理解。加之代數類知識講授較早，所以能夠很好地構建起數與代數的體系，在初中數學學習者的知識獲取過程中顯得更為重要。早期知識內容的重要性也不難理解：從學習者的學業表現間的比較來看，小升初后先行知識的差異對其最終整個初中的學業表現的影響是有限的，在學習的開始取得的微小優勢會逐漸累加。另外，從知識獲取的過程來看，這部分知識是所有初中數學知識的基礎，之后新知識的學習過程中都需要這部分知識作為固著點。

就研究結論的信度而言，平臺本身的練習題由一線教研人員制定，其中不乏一些地區的大型考試真題，保證了題庫內容較好的效度，也保證了概念網絡能較好地反映真實數學知識點間的概念聯系。此外，本文采用了犧牲外部效度保全內部效度的設計方法，只保留了學習投入最高的83位學習者，不存在某些章節內容上缺失數據的問題，行為日志也能更真實地反映其學習過程和能力水平。就研究的外部效度而言，研究的樣本來自全國不同地區、學校的線上學習者，在人口統計學上有較好的代表性，但是值得注意的是由于在線學習的特殊性，作為研究對象的83位學習者是完成了平臺上所有初中數學學習內容的人，相較于其余數萬學習者而言有著極高的學習投入，這一點對結論的外部效度提出了一些挑戰，雖然并不能明確其影響，但是最終結論有可能只適用于“好學生”群體。此外，本文采用的數據集是人教版初中數學的相關試題和學習者活動日志，未來可以對更多版本教材中的教學重點進行分析，以印證研究結論并擴充研究的外部效度。

從方法上而言，本文采用的方法具有較好的可移植性，可以分析所有課程科目的包含題庫文本和學習者測驗成績的數據集，發現教學內容中的重點，為教師的教和學生的學服務，實現減負增效效果。同時，本文提出的方法避免了以往對教學重點研究中過度依賴專家與教師的個體主觀經驗的問題，能從數據中得到客觀的知識點的重要程度度量。當然，本方法還有許多的不足，例如，其中的成績網絡中知識點間的關系使用了相關性進行度量，無法剝離出各知識點間復雜的因果路徑以及存在的中介效應。未來研究可以著眼于知識點間的影響并進行更嚴謹的因果推斷，發現各知識點間影響的因果效應，以獲得更加精確的對知識點重要程度的估計。

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（責任編輯 孫志莉）

Research on the Discovery of the Math Teaching Content Focus of Junior High School Based on Big Data Mining

LE Huixiao，JIA Jiyou

（Graduate School of Education，Peking University，Beijing，China 100871）

Abstract： To understand the teaching focus of junior high school math is of great importance to the promotion of teacher teaching. But generally，teachers’ understanding of teaching focus mainly depends on teaching experiences.The informed research mainly adopted method like questionnaire survey to make a discussion of teaching focus in teachers’ beliefs， obtaining the result of strong subjectivity.This paper has combed the concept of teaching focus，starting from the theoretical perspective of genetic epistemology，based on 3.8 million behavior log data of online learners and 0.87 million set of exam texts，has done an objective description of each chapter’s knowledge points of junior high school math textbook of people’s education edition and its relation by using three quantitative indexes，namely，concept network，performance network， and the influence on follow-up performance. This paper，after calculating three indexes respectively and doing visual presentation of three dimensions in one， obtained three conclusions：in the learning process of junior high school math，the knowledge learned in the early period is often more important;the knowledge of algebra and geometry is the teaching focus of junior high school math，but learners’ mastering of algebra knowledge will have greater impact on the follow-up study;the connection knowledge of algebra and geometry is of unique importance in the learning of junior high school math.The teaching content focus discovery technology and its results based on big data mining and put forward and realized by this paper are of great referent value to the teaching and learning of math and other disciplines.

Key words：? junior high school;teaching focus;knowledge structure;education big data