高中數學解題技巧及思路分析

張景勝

【摘 要】 高中數學一直是學生的學習難點，數學對學生的邏輯思維能力要求較高，加上涉及的知識點較多，學生在實際的解題過程中會遇到很多的困難，導致學生無從下手.高中數學考驗的就是學生對綜合知識的運用情況，高中階段是為以后深入學習奠定基礎的關鍵階段，學好數學對學生具有重要的意義.從學生的角度出發，掌握更多的解題技巧和思路，為加強數學知識的理解和掌握奠定基礎.教師可將數學解題思路和解題方法實現有效的融合，幫助學生更好的學習高中數學.基于此，文章對高中數學解題技巧及思路展開了深入探討，并采用不同的解題方法對題解思路進行了分析，從而為學生解答數學難題提供參考.

【關鍵詞】 高中數學;解題技巧;解題思路

眾所周知，高中數學較為抽象，邏輯思維能力較強，在實際的學習中，如果學生沒有掌握一定的解題技巧和思路，是很難正確的解答出題目來的.隨著學習難度的增加，解題技巧和思路的重要性也逐漸顯現.由于沒有掌握解題技巧，所以在面對不同的數學例題時不知道該怎么解答，從哪入手，這也是導致很多學生不喜歡數學的原因.為了幫助學生掌握更多的解題技巧，還需要教師在教學中采用不同的方法來教學，讓學生加深對解題方法的應用，從而幫助學生提高數學學習能力.數學在生活中應用較多，與生活存在緊密的聯系，學好數學對學生具有重要的意義.在培養學生解題技巧的同時還要直面學生存在的數學問題，在應用解題技巧的同時，提高學生的邏輯思維和思考能力，從而理順解題思路，正確的解決數學問題.學生可形成自己獨特的解題思維，提高數學成績.

1 高中數學解題技巧和思路的重要性

數學是高中的主要課程之一，隨著新課改的深入，數學的內容也是不斷的更新和增加.數學在高考中所占的比重非常大，關系著學生以后的發展，因此學好數學是至關重要的.要想提高自身的數學水平，不僅要具備較強的邏輯思維能力，掌握一定的解題技巧也是非常關鍵的[1].數學知識涵蓋的內容較多，不同的知識點對學生技巧的應用也存在一定的差異，不管是函數、方程還是公式，在數學教學中都是通過大量的習題來進行鞏固學習，但是如何正確的解答習題是非常關鍵的，學生要運用自己所學的知識和自身掌握的技巧來合理的運用，確保解題思路清晰才能正確的解答數學問題.掌握必要的解題技巧不僅可以幫助學生節省更多的時間，還能提高學習效率，加深對數學知識的理解，對學生具有重要的作用.

2 高中數學解題技巧及思路分析

2.1 學案學習方法

學案是專門為高中生在課堂環節設置的一種自主學習方法，學生應用學案學習方法來對數學知識進行學習，可以幫助學生更好的探討數學知識，延伸數學知識內容.學案是包含學習目標、自主檢測、總結反思等一系列內容的一種學習方法，學案方法注重學生之間的探究協作，可以幫助學生提升解題思路.

例如 學生應用學案方法解答以下數學習題，說在△ABC，角 A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA：sinB：sinC=2：1：2，b=2.讓求（I）求a的值;（II）求cosC的值;（III）求sin2C-π6的值.學生在解題中制定解題目標，并應用學案法依次進行解題，首先確定解題思路，然后分工合作，分為三組，讓學生根據解題思路從而通過學案來解答習題，不僅快速的解答出答案，還樹立了學習信心.

2.2 生活化學習

數學與生活緊密聯系，生活中處處能看到數學的影子，該學習方法是指學生在課堂中可以根據教師的指導來形成自己獨特的解題思路和技巧，并運用生活經驗來解答習題.數學學習對學生的邏輯能力和思維能力要求較高，為了加深理解在解題時可以適當的進行文字敘述，并結合自身的經驗來解答出更準確的答案[2].教師為了提高學生的生活化學習技巧，可以提出數學問題，讓學生來進行解答.

例如 學生在解答某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？這一問題時可以從生活的角度進行分析，從而來幫助自己理解，以此來提高自己的思維能力，清楚的呈現出解題答案.

2.3 特殊轉換法

特殊轉換法是學生在解題中常用的方法，特殊轉換法的優點就是可以降低出錯率，在解題中不容易出現錯誤，該方法主要在數學填空題中運用的較多，題干中雖然一般都會給出不確定變量，但是需要結合題干來進行填入數值或者結論[3].而特殊轉換法就可以得到很好的應用，將給出的不確定變量進行轉換，從而能快速的得出計算結果，方法不僅簡單，而且出錯率低，理順了解題思路，有利于提高邏輯能力.例如在解答數學三角函數習題時，就可以采用特殊轉換法，善用cosa ·seca=1，sinacosa=tana=secacsca等轉換公式，從而解決函數問題.

2.4 構造法

構造法在數學解題中也較為常見，但是針對不同的數學題目在應用過程中也存在一定的差異，可能有時會簡化數學解題過程，但也可能會導致解題過程復雜化，這主要是由于題目給出的條件不同在應用時造成的差異，但構造法可以通過構造出的新數學模型從而使解題流程更加的規范和清晰，從而得出解題答案[4].

例如 假設an是公差為2的等差數列，其前8項和為64，求an的通項公式 ，解：等差列數an的公差為d，前n項和Sn，從題目中知道d=2，Sn=64，然后可以帶入構造的Sn =na1+n（n-1）d2，從而解出a1=1，所以an通用公式為a1=2n-1.以上將構造法帶入已知條件中，就可以確定解題思路，從而獲取答案.

2.5 換元法

高中數學本身涉及的知識內容較多，在學習過程中經常會遇見很多復雜的數學題，增加了學生的解題難度.面對復雜的數學題，例如存在多個變量且涵蓋的數據表達方式較多的，要想找出正確的答案可以采用換元法來進行分析，換元法的優勢就是將復雜的公式簡單化，具體可以借助變量符號來代替公式，簡化后在進行數據計算.

例如 假設F（x）為復雜的關系式，為了簡化公式，可以采用換元法，中間公式可以用k（n）=a，可以得出F（x）=M[k（n）]=M（a）[5].簡化后的公式明顯比之前復雜的公式更容易解決問題，換元法為學生提供了便利，在一定程度上提高了學生的數學成績，在解決復雜數學習題中取得了良好的應用效果.

2.6 直接法

直接法顧名思義就是不需要進行復雜的轉換，直接來解題.直接法就是直接根據給出的已知條件確定好思路直接解題，但是直接法一般是應用在選擇題中，該方法要求學生掌握基本的數學知識和解題技巧，經過計算直接給出答案.直接解題技巧可以提高學生的思維創新能力，一般適合基礎數學習題的解答，在基礎相對薄弱的學生中應用較為廣泛[6].

例如 習題a，b>0，且ab=a+b+3，求ab的取值范圍.直接由平均不等式得，a+b≥2ab，所以ab≥2ab+3，把它看作關于ab的一元二次不等式，解得ab≥3，ab≥9，當且僅當a=b=3時等號成立，從而直接求出取值范圍.

2.7 特例法

特例法在高中數學解題中也是非常重要的一種解題技巧，可以快速的幫助學生解答習題，應用也較為廣泛.眾所周知，高中數學試卷包含選擇題、填空題等題型.高中數學考試時間為2個小時，為了合理的控制好時間，還需要將選擇題控制在40分鐘左右，在進行選擇題解答時可以選擇特例法技巧來解答，從而節省時間，提高解答效率.并不是所有的從選擇題都適合特例法，具體還要結合選擇題類型來應用，特例法是運用數學題干中可變的因素，在此基礎上從而考慮問題的答案，可變的因素不是單一的函數表達，還包括數量、向量等等.在具體的特例法應用時，可以將選項中的已知數據依次帶入到給出的題干中，從而看看哪個答案符合，就能選出正確的答案.

例如 ?給出題干（1+tanA）（1+tanB）的值（其中A+B=45度）這個時候你就完全可以帶A=0，B=45進去，求得2，這樣就能填2進去.還可以在判斷題中叫你判斷：x2+2x是否恒大于0時，可以采用特例法，只要把x=-1帶進去，發現小于0，就可以判斷它是錯誤的.特例法不僅簡單，還能節省考試時間，為后面答題預留了充足的時間，掌握特例法技巧在考試答題中具有重要的意義.

2.8 分組求和法

分組求和法在數列解題中應用比較廣泛，就是將數列的項分成二項，而這兩項往往是常數或是等差（比）數列，進而利用等差數列或等比數列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數列的和.每組數列內，分別選擇具有共同屬性的算術序列，然后進行合并，通過運用分組求和法，可以通過給出的數據找出特殊的序列類型，從而能發現單獨個體的共同特征，將公式帶入，可以將問題從復雜變得簡單，最終得出答案.

例如 已知an=n+12n-1，求數列{an}的前n項和Sn.解：設bn=n，cn=12n-1;則：

{bn}的前n項和=1+2+…+n

=n（n+1）2，cn的前n項和

=1+12+122+…+12n-1

=2×1-12n

{an}的前n項和Sn={bn}的前n項和+{cn}的前n項和

所以Sn-n（n-1）2+2×1+12n

2.9 錯位相減法

高中數學中經常會遇見錯位相減法解題技巧，高考中也會涉及該解題方法，也是數列求和其中的一種.如果數列的各項是由一個等差數列HYPERLINK"https：//baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97"＼t"_blank"和一個等比數列HYPERLINK"https：//baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97"＼t"_blank"的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和Sn可用錯位相減法來求和.

例如 已知數列{an}中，a1=3，點（an，an+1）在直線y=x+2上.（1）求數列{an}的通項公式;（2）若bn=an`3n，求數列{bn}的前n項和Tn.

解 因為（an，an+1）在直線y=x+2上，所以an+1=an+2，即an+1-an=2，又因為數列{an}是以3為首項，以2為公差的等差數列，所以an=3+2（n-1）=2n+1.知bn=an·3n 所bn=（2n+1）·3n，得到Tn=3×3+5×32+7×33+…+（2n-1）·3n-1+（2n+1）·3n ①

3Tn=3×32+5×33+…+（2n-1）·

3n+（2n+1）·3n+1 ②

由①-②得

-2Tn=3×3+2（32+33+…+3n）

-（2n+1）·3n+1

=9+2×9（1-3n-1）/（1-3）

-（2n+1）·3n+1

=-2n·3n+1

Tn=n·3n+1

3 結語

綜上可知，高中數學是一門非常深奧的課程，學生要想學好數學，還應掌握解題方法，提高自己的解題思維，而清晰的解題思路和熟練的解題技巧才能提高數學解題思維，快速的完成大量的數學習題.因此，學生要積累解題經驗，掌握更多的解題技巧，熟練的應用特殊轉換法、換元法、分組求和法等各種解題技巧，理順思路，節省解題時間，提高解題效率，從而提高自己的數學水平和成績.

參考文獻：

[1]古智良.高中數學不等式易錯題型及解題技巧分析[J].考試周刊，2021（52）：75-76.

[2]郭天月.高中數學數列試題教學中的解題思路與技巧初探[J].中學課程輔導（教學研究），2019，13（8）：211.

[3]方誠.探討高中數學解題中多思維技巧的應用及優化[J].數理化學習（教育理論），2018（3）：3-4.

[4]黎燕芳.高中數學解題中的化歸方法及其教學研究[J].新課程，2021（4）：68-69.

[5]金子鑫.淺談高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].考試周刊，2018（8）：77.

[6]孟賢偉.高中數學立體幾何的解題技巧研究[J].中國高新區，2019（1）：141.