巧用函數(shù)思想指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)解題

費(fèi)秀鳳

【摘要】函數(shù)是數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要概念，也是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科體系的重要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，函數(shù)的內(nèi)容是比較重要的.但與函數(shù)不同的是，函數(shù)思想是一種解題的思維方式，利用函數(shù)思想的內(nèi)涵，可以快速、高效的解決許多數(shù)學(xué)難題，這也是函數(shù)思想能夠受到重點(diǎn)關(guān)注的原因之一.本文針對(duì)函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)中的解題應(yīng)用做了簡(jiǎn)要的分析，以供參考借鑒.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想;初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)解題

函數(shù)思想不是簡(jiǎn)單意義上的使用函數(shù)來解決函數(shù)問題，而是運(yùn)用函數(shù)概念的內(nèi)涵，將內(nèi)涵轉(zhuǎn)化為解題的思路，來解決任意難度的數(shù)學(xué)問題，包括函數(shù)問題及非函數(shù)問題的重要方法.可以說，掌握了函數(shù)思想，就能夠很好地解決中學(xué)階段的多種數(shù)學(xué)問題，甚至是解決一些數(shù)學(xué)難題.在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的都是比較簡(jiǎn)單的運(yùn)算方法，而隨著學(xué)習(xí)階段的提升，數(shù)學(xué)的難度也在增加，簡(jiǎn)單的運(yùn)算法則已經(jīng)不足以解決越來越復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也需要跟隨著知識(shí)體系的深入而不斷地提高.掌握更加全面的解題方法，是提升數(shù)學(xué)能力的必由之路.

1 研究的背景及意義

函數(shù)是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的分水嶺，函數(shù)概念出現(xiàn)后，數(shù)學(xué)開始由常量進(jìn)入變量，解題方式也從單一的公式運(yùn)算，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)形結(jié)合，可以說，函數(shù)打開了中等數(shù)學(xué)的大門，將數(shù)學(xué)帶入了一個(gè)新的高度.新課程改革的不斷推進(jìn)，使得數(shù)學(xué)學(xué)科的考察重點(diǎn)也由知識(shí)考察轉(zhuǎn)變?yōu)榱四芰疾欤瑪?shù)學(xué)的能力在于解題，而學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就成為了解題的關(guān)鍵.函數(shù)思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維，為解題創(chuàng)造了更多的方式方法，能夠顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.在整個(gè)中學(xué)階段，函數(shù)都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中，函數(shù)也是重要的組成部分.從初中開始，函數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)的教學(xué)體系，也是由函數(shù)開始，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)開始出現(xiàn)了明顯的差距，換句話說，在義務(wù)教育的初級(jí)階段，數(shù)學(xué)的功能在于滿足日常的生活所需，而到了初中階段，數(shù)學(xué)真正體現(xiàn)出了人才選拔的功能.函數(shù)所帶來的變量數(shù)學(xué)，加深了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，但同時(shí)也創(chuàng)造了更多的解題方法，許多常量數(shù)學(xué)當(dāng)中的難題，在變量數(shù)學(xué)中變得簡(jiǎn)單易解，這得益于函數(shù)內(nèi)涵的靈活性、廣泛性.可以說，掌握了函數(shù)思想，就掌握了多種解題方法，就能夠?qū)?shù)學(xué)能力進(jìn)行有效的提升，因此，將函數(shù)思想引進(jìn)初中數(shù)學(xué)，是具有重要意義的.如何指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想來進(jìn)行解題，是值得每一位初中數(shù)學(xué)教師研究的課題.

2 函數(shù)思想解題的應(yīng)用

函數(shù)思想解題的應(yīng)用，就是將函數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為解題的方式，在初中階段，對(duì)于函數(shù)思想解題的應(yīng)用主要有三個(gè)方面，即分類思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化的思想.

2.1 分類思想的解題應(yīng)用

分類思想是函數(shù)思想的一個(gè)重要內(nèi)容，其解決的問題，主要是一類研究對(duì)象沒有定性的問題.研究對(duì)象的定性，就是ax+b=0（a≠0）這類問題，a≠0就是對(duì)a的定性，等式當(dāng)中明確了a的取值范圍，因此，學(xué)生很容易就能夠求出x的值.而研究對(duì)象的不定性，就是對(duì)a的取值范圍沒有明確的規(guī)定，即ax+b=0，這時(shí)，要求出x的值，就需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行分類.通過分類思想，能夠?qū)?fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單化，先“拆整為零”，再“聚零為整”，將所有的可能性全覆蓋.應(yīng)用分類思想進(jìn)行解題，可以有效地鍛煉學(xué)生思維的全面性，有了思維的全面性，不僅是在數(shù)學(xué)解題的方面，在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)方面，也有很大的幫助.

在對(duì)北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第五章《二元一次方程組》的學(xué)習(xí)當(dāng)中，教師在課本內(nèi)容的講解之上，可以使用分類思想的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題能力的拓展.

例1 已知關(guān)于x的方程（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0沒有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

這道題目就是一道典型的研究對(duì)象不定性的題目，因此，在求取a的取值范圍時(shí)，就需要應(yīng)用到分類思想.通過題目可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于x的方程是一次方程還是二次方程是沒有明確指出的，因此，在求解時(shí)，首先就要分析x2的情況，即a2+1=0和a2+1≠0兩種情況.若a2+1=0，則（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0就是一道簡(jiǎn)單的一次方程，即2（a-1）x+1=0，只有一個(gè)解，這時(shí)，學(xué)生就可以很容易的求出a的取值范圍.若a2+1≠0，則（a2+1）x2+2（a-1）x+1=0就是一道一元二次方程，這時(shí)，就需要使用一元二次方程的解法來求取a的值.將兩種方法得出的值結(jié)合在一起，就是這道題目最終的結(jié)果.可以看出，這道題解題的關(guān)鍵，就是對(duì)x2的分類討論.

2.2 數(shù)形結(jié)合思想的解題應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想，是將抽象概念具象化的應(yīng)用.數(shù)學(xué)當(dāng)中的許多概念都是抽象的，這對(duì)于學(xué)生的解題存在著一定的難度，若能夠使用圖象的方式，將這些抽象的概念具體表現(xiàn)出來，數(shù)量關(guān)系就能夠更加直觀地進(jìn)行展現(xiàn)，就會(huì)加深學(xué)生的理解，有助于學(xué)生解題.此外，數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，空間思維是學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵，有了良好的空間思維，在學(xué)習(xí)幾何的過程中就更加能夠理解圖形.因此，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的作用是多方位的.

拓展 北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)《一元一次方程》的學(xué)習(xí)，就可以有效的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思想，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升.

例2 函數(shù)y=2x+3、y=-2x-2與y=2x、y=-2x之間有何聯(lián)系？

一般情況下，要解出這兩組函數(shù)的關(guān)系，首先就要對(duì)其進(jìn)行求值，通過求出的值，才能夠進(jìn)一步的分析它們之間存在的聯(lián)系.但若是使用數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行解題，求出相應(yīng)的值后，只需要畫出函數(shù)圖象，就能夠輕易發(fā)現(xiàn)二者之間存在的聯(lián)系（圖1）所示.

可以看出，通過對(duì)兩組函數(shù)圖象的繪制，它們之間存在的聯(lián)系也十分清晰、直觀地呈現(xiàn)出來了，這就是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的精妙所在.其實(shí)，這類型的題目還有很多，只需教師在日常的教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行挖掘，就可以有效培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，迅速提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

2.3 轉(zhuǎn)化思想的解題應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題過程當(dāng)中，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，主要是將復(fù)雜的、抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、具體的問題，特別是將一些陌生的問題，轉(zhuǎn)化為已知的問題，利用題目當(dāng)中所給出的信息，可以進(jìn)行條件的轉(zhuǎn)化、結(jié)論的轉(zhuǎn)換或者是過程的轉(zhuǎn)化，通過“化難為簡(jiǎn)”，提升解題的效率.

例3 在圖2中，已知圓柱體的周長為36cm，高度BC為12cm，AB為直徑.一只螞蟻由A點(diǎn)沿著圓柱體的表面爬向C點(diǎn)，最短的距離為（）cm.

根據(jù)題目的要求，螞蟻沿著圓柱體表面由A點(diǎn)爬向C點(diǎn)的路線，要是最短的，但圓柱體的表面是曲面，由A到C的距離有無數(shù)條，如何才能證明哪一條是距離最短的，對(duì)于學(xué)生來說無疑是困難的.但在之前的學(xué)習(xí)當(dāng)中，兩點(diǎn)之間直線距離最短是已知的知識(shí)，這時(shí)，采用轉(zhuǎn)化的思維方式，將圓柱體的側(cè)面“拆”開成為一個(gè)矩形，那么，由A到C的直線距離，就能明顯的看出是矩形的對(duì)角線，因此，學(xué)生只需要利用題目當(dāng)中所給的條件，使用所學(xué)過的勾股定理，求出矩形對(duì)角線的距離，就是螞蟻由A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離.

在解題的過程當(dāng)中，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將一道原本難以求解的問題迅速的變?yōu)榱藢W(xué)生所熟知的知識(shí)，很快就能夠找到解題的方法，這就是轉(zhuǎn)化思想的妙用.

3 結(jié)語

從上述的例題分析中，可以看出函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的重要作用，函數(shù)思想的每一項(xiàng)內(nèi)涵，都能夠解決不同類型的數(shù)學(xué)問題，因此，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用函數(shù)思想來解題，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升有著巨大的作用.當(dāng)然，函數(shù)思想解題的妙用還有許多，不局限于上述的幾種方法，在新課改的要求下，教師要以提升學(xué)生的綜合能力為出發(fā)點(diǎn)，挖掘出更多的有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的解題方法，讓數(shù)學(xué)不再成為困擾學(xué)生的“難題”.

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