初中數學“二次變式”的設計、實踐與思考

孫朝仁 朱桂鳳

摘要：以“中考同源試題”為研究載體，彰顯“二次變式”設計、實踐與思考的方法體系，涉及構造思想、“擬經驗”心理過程，以及語言等值編碼等心理系統再造。研究“二次變式”編碼，有助于學生“會一題、通一類，連一片”，并以此促進教師用好教材。

關鍵詞：二次變式? 問題編碼? 學習心理? 教學構建? 初中數學

引用格式：孫朝仁，朱桂鳳.初中數學“二次變式”的設計、實踐與思考[J].教學與管理，2022（34）：51-55.

“變式”源于馬頓的“變異理論”，是問題、試題層出不窮的內在淵源，是學科命題繞不開的思維通識。“二次變式”是對變式的變式，是一種穩定的心理過程，帶有強烈的左右勾連、上下貫通的結構心理特征。也就是說，只有通過抽象或邏輯分析才能發現它與原型關系的變式，二次變化參數、二次變化背景、不同側面地微妙地缺省某些條件等是二次變式的本體思想。一般來說，智慧技能獲得的唯一有效方法就是變式與二次變式，這種條件認知與算法操作是建立學科方法體系的“思維切口”。因此，研究二次變式是學科學習轉型的新途徑，能提高學科的育人質量。

一、“二次變式”的教學設計

從思考的目標過程看，“二次變式”是建立以原型為思維起點的序列問題“組塊”。組塊的組織過程涵蓋抽象過程、建模過程、“用模”過程和遷移過程。基于這種條件認知，讓學生在自主學習、合作學習、質疑學習、猜想學習、證實證偽學習中構造穩定的問題結構特征（同構和異構），這有助于場獨立、場一般、場依存學生的選擇性學習，提高不同學生的心理發展水平。其中“同構”是“一次變式”（如數量的變化、位置的變化）的思維理論，“異構”是“二次變式”（如參數的變化）的思維支架。“變式”是教學設計的顯性特征和思維線索，是學生思維發展、心理發展的重要抓手。因此，變式教學設計要貫穿三個方面的思考，即原型意識、同構意識和異構意識，其中原型意識是同構和異構“二次變式”設計的基礎。

1.原型意識

“原型”可解釋為概念、規則和關系，以及圖形與圖形之間的變換關系。而“原型意識”則是一類專家頭腦中的高度簡約的、內潛的、濃縮的經驗、思想、方法。數學中的原型意識是指在教材上找到問題的“原型”（思維起點及其載體），體驗問題的組織過程、思維編碼過程（語言等值編碼過程），以及經驗登記過程（經驗的構造與再造），從而知道試題的由來（試題的起源與發展）。

在《初中數學》（江蘇鳳凰科學技術出版社）教材中多處呈現了“母子正方形”，如八年級上冊第72頁第3題，八年級下冊的第82頁例5、第95頁第22題等，從不同側面滲透了母子正方形的對稱思想、變換思想等重要的思想方法。因此，多個城市的試卷命制了“母子正方形問題”，很好地考查了學生的幾何直觀能力。其中，以“母子正方形”為思維起點，連云港市分別在2014年和2015年考查了該問題，只不過考查角度發生了變化。2015年考查了旋轉、構造、最值思想（見例1），2014年考查了函數關系最值、等積變形、點的軌跡以及中點坐標、對稱最值等數學方法體系（見例2）。2021年宿遷市考查了母子正方形問題（見例3），主要考查了相似變換、全等變換和動點軌跡問題。

例1（2015·連云港市）

例2（2014·連云港市）

例3（2021·宿遷市）

這種“變式考查”思想，是一種好的命題途徑，落實了“從不同側面、不同層次”研究同源問題的目標過程。因此，用好教材、超越教材是學科教學的根本，不是“刷題”、更不是“亂練”，也不是無原則的“練熟”。

2.同構意識

“同構”是一種同化構造，旨在不改變原有的認知結構，直接將原有的認知經驗應用到本質特征相同的一類事物中去。在課堂教學過程中，舉例說明、正反例證、寫出類似的問題就是一種常見的同構意識，帶有等值語言編碼特征。從教學論來看，同構的本質就是一種組合思想、組塊行為和編碼意識。

例3中的圖7與圖8就是一種同構關系（等值語言編碼），揭示了“相似變換→全等變換”的“穩定結構特征”，有助于“場依存”認知風格的學生學好數學、熱愛數學。其實，無論母子圖、編碼圖，還是類組合、似構造、等值編碼都是一種平衡條件認知，都有助于學生建立相對穩定的學科知識結構，可以有效提高概念變式、命題變式和問題變式的能力。

3.異構意識

“異構”是一種內源變式（如參數的變化等），是對新舊經驗加以概括，形成一種能包容新舊經驗的更高一級認知結構，并以此適應外界的變化。通俗地說，異構意識就是一種“有用組合”，帶有強烈的“再創造”特征。世界上的組合有無數，但有用組合卻相對有限。所有的發明、發現和創造都來自于“有用組合”。當然，學科的發展、結論的誕生、客觀知識的二次發展，都是有用組合的必然產物。

例3中的前兩個問題與第三個問題之間的變式關系，就是異構思維、異構意識的產物，帶有強烈的內源變式特征（背景的變化），反映了“高投入”思維特征和問題結構化特點。這種從復雜中揭示出簡單規律（統一性）的目標過程，是學生知識遷移的心理基礎。

綜上，“二次變式”教學設計，不止于原型意識、同構意識和異構意識，更在于對原型通過同構和異構進行改造、重組和關聯，形成梯度的問題思維“反應塊”，讓不同的學生在學科學習上獲得相應的發展。

二、“二次變式”的教學實踐

在教學實踐論范疇，“二次變式”是一種本原思想，是學生個體經驗、事實經驗和客觀經驗的轉化、遷移、調用的心理條件。其中，事實經驗是個體經驗向客觀經驗轉化的“二次變式”教學實踐的中介。一般來說，“本原”是本體論中的一個術語，指一切事物的最初根源或構成世界的最根本實體。哲學上對本原的思考凸顯為一種刨根問底的探尋精神，始終把理解世界的“始基”或“構成要素”作為第一問題。“二次變式”本身就是第一哲學問題，是以個體經驗為“始基”的，終于客觀經驗產生式“產生”。為此，個體經驗到客觀經驗的過程，包括概念變式編碼、命題變式編碼、問題變式編碼，涉及做、說、用等思維編碼過程。

1.概念變式編碼，讓學生在“做”中形成個體經驗

概念是一切知識的出發點，也是歸宿。概念變式是學習的通用方法，是學生獲得知識的外在法定標準。概念變式編碼是以“組塊”的思維方式存在的，能促進知識結構產生式“產生”。通過概念變式編碼，將概念的“工具性理解”上升到“關系性理解”。從認知心理學來說，工具性是一種法定標準，而關系性是一種認知結構，是學生把握對象的心理邏輯。認知結構是指學生將自己的認識信息組織起來的心理系統，包括圖式、支架、模型、組塊等。一般來說，只有概念成為個體知識結構的組成部分，才說明理解了、會了、懂了。這不是似會非會，而是深度理解，并能將結構知識轉化為認知結構。所以，概念變式編碼不是教知識，而是教結構、教概念和概念關系（一類群論）。

片斷1 “概念變式”思維編碼過程如下（以例1為例）：

首先，在圖1中，根據“母子圖”的特征，以“SAS”為條件，證出△ADG與△ABE全等。根據全等三角形的性質以及圖形位置的顯性特征，可以確定直線的位置關系。

其次，在圖2中，根據旋轉不變性，在（1）的基礎上可知BE=DG。結合題干信息和問題（2）的條件，在勾股定理參與下，可知BH=AH=，HG==。至此，答案呼之欲出。

最后，根據最值思想和“動中取靜”特點，不難知道點的運動軌跡是在兩個半圓（弧GAE、弧BAD）上（如圖9）。當點H與點A重合時，滿足△GHE與△BHD面積之和最大的約束條件，進而可求正確答案。

設計意圖：本題可以作為課堂教學例題呈現，讓學生說概念、說經驗、說思想方法，揭示“變中不變”的道理、“不變而變”的價值，促進概念變式編碼的內驅力提升，提高經驗形成的水平。

綜上，如果說問題（1）是“做”的思維起點，那么問題（2）就是概念變式編碼的必然產物，而問題（3）則是概念關系從工具性理解轉向關系性理解的具體表現。如果說個體經驗是“做”的必然結果，不如說“全等變換→全等變換附加編碼→動點最值”是組塊問題組織的一般過程，能較好地促進不同認知風格學生的數學發展。這才是概念變式的價值理性，也是概念變式編碼的本體思想，能讓學生在學好中產生結構理性。

2.問題變式編碼，讓學生在“用”中產生客觀經驗

問題不是題目，問題具有結構認知特征，一般涵蓋辨別編碼、差異編碼和內化編碼（比如研究性學習問題、課題學習問題、活動型問題等）。問題能促進人的思維發展，并強調將理性具體轉化為理性一般。問題變式編碼就是讓學生在“用”中獲得研究對象，在變式中獲得研究對象特征，在辨別編碼和差異編碼中建立客觀經驗，并將客觀經驗轉化為主觀能力。有專家認為，問題變式編碼理論“堅持學習就是辨別，辨別依賴于對差異的認識，教師應當通過變異維數的擴展引導學生更好地去認識對象的各個方面”[1]。這就要求問題變式編碼必須具備3個方面的認知心理條件，方能讓學生在獲得研究對象的過程中，建立一種個體內化的客觀經驗。第一方面，以“用”為情境編碼特征，突出辨別編碼和差異編碼，有助于人人獲得良好的教育;第二方面，讓學生在外源變式思考中獲得研究對象的本體論特征，并建立發現問題的二次編碼條件;第三方面，讓學生在內源變式思考中獲得認知遷移能力，并將定義變式、命題變式和問題變式統一起來，從經驗重組中獲得新思想、新方法和新路徑，提高二次變式能力以及概念內化能力。

片斷2 “外源問題變式編碼”具體過程如下（以例2為例）：

首先，在圖4中，經過數論與形論分析，可以確認問題（1）屬于函數最值問題。為此，鑒于動點P的運動約束條件，需要構造函數關系。設正方形APDC與正方形PBFE的面積和為y，AP=x。結合題干信息，不難得到y=x2+（8-x）2。由此，可求出函數最小值。顯然，這里的問題（1）與片段1的概念變式編碼、命題變式編碼的問題（1）測量視角不同。例1考查了圖形變換，例2考查函數最值。這是將“母子圖”的情境置于編碼，其二次變式編碼方式不同，學生的心理發展不同。

其次，在圖5中，經過構造分析、分離圖形分析，可知問題（2）屬于外源變式附加編碼——一種“等積變形+作差思想”的復合思維。在輔助思維的參與下，結合母子圖情境置于方式，可構造梯形APFD。這樣就構造了等值語言編碼“同底等高”問題，以此不難獲得“存在性”等積圖形（△APK與△FDK面積量性相等）。

設計意圖：本題可以作為課后基礎練習。問題外源變式編碼旨在讓學生經歷情境置于式編碼、情境置于式組塊過程，體驗不同視角、不同維數變式編碼不同，學生獲得的數學發現和問題提出的能力不同（變中不變，前者屬于數論變量、后者屬于形論變量）。這里的提出問題就是二次變式的產物。

如果說問題（1）是理性具體，問題（2）則屬于理性一般;如果說函數最值是一種數論，“等積變形”則是一種形論，能促進學生在“做”和“思考”的過程中，將個體經驗客觀化。

片斷3 “內源問題變式編碼”過程如下（以例2為例）：

首先，問題（3）是內源變式編碼問題——一種動點軌跡等值語言編碼方式。結合題干信息，不難知道線段PQ中點O的運動軌跡是以正方形的頂點為圓心，PQ長度的一半為半徑，在正方形內部形成閉合的四段等弧（16π）。

其次，問題（4）屬于直線型軌跡問題和對稱最值問題，帶有強烈的二次變式、內源變式編碼特征（變化背景）。根據問題求解的需要和圖形附加編碼的特點，在問題（1）的基礎上，可知正方形APDC的邊長為x、正方形PBFE的邊長為（8-x）。以此為基礎，結合已知信息，可得G（，x）、H（，8-x），線段GH的中點O（，4）。至此，根據自變量x的定義域1≤x≤7，可知點O的運動路徑是長度為3的線段。根據對稱，易求得OM+OB的最小值為BM′==。

設計意圖：本題旨在內源變式思維參與下，讓學生通過“做”將客觀經驗轉化為等值語言編碼能力。同時，動點軌跡與坐標法的引進有助于場獨立認知風格的學生獲得數學再造能力、二次變式能力，為“提出問題”形成積極的心理準備狀態。

數學學習靠“悟道”和“練到”。“本原性問題有助于悟道理解，變式問題有助于練到理解”[2]。如果說問題（3）的解決是一種客觀經驗支配的結果，那么問題（4）則是一種辨別編碼和內化編碼的具體表現，有助于場獨立認知風格學生的思維縱向貫通，提高語言等值轉化的能力，促進高階思維的發展。當然，任何“悟道”與“練到”都始于對知識價值的追求。所以，教學不僅僅是教做題，也不是教會做題，而是教變式、教方法、教思想，這才是學習的根基。

3.命題變式編碼，讓學生在“說”中建立事實經驗

命題是通過判斷一件事情的語句來描述的。命題變式編碼包括兩個階段，在命題初期以顯性變式編碼為主，使得問題之間有一定的同一性。比如，例1中的問題（1）和問題（2）之間的概念關系就屬于顯性變式（全等變換→全等變換附加編碼）。命題應用后期以隱性變式編碼為主，使得問題類型與問題情境不同（如例3中的圖7與備用圖之間的概念關系就屬于隱性變式），這樣可以促進事實經驗進行縱向遷移。命題變式編碼是以“說”為內在表征形式的，帶有強烈的“擬經驗”特征，不僅需要“顯性→隱性”的縱向遷移，還需要準備恰當的“智能操作”[3]平臺（超級畫板、希沃白板等），方能將隱性命題變式的“不變性”直觀地揭示出來。這樣，學生才能在“說”和二次變式思考中，將“個體經驗”轉化為“事實經驗”。

片斷4 “命題變式”思維編碼過程如下（以例3為例）：

首先，根據題干信息，可知AB∶AC=AG∶AF=1∶，根據情境置于式編碼，不難知道∠BAG=∠FAC。至此，易知△BAG與△CAF相似。根據相似三角形的性質，可求得答案。

其次，結合題干信息，根據探究MN與BE的數量關系、位置關系的需要，必須添加輔助思維。即連接BM并延長至點H，使得HM=BM，連接HE、HF。根據“SAS”可判斷△BCM與△HFM全等。根據全等三角形的性質與四邊形CBEF的內角和的共性部分，在作差思想的參與下，不難知道∠BAE=∠HFE。根據“母子圖”的旋轉不變性、三角形全等變換的性質，可知△BEH是等腰直角三角形。這樣，結合三角形中位線的性質，就可獲得正確答案。

最后，根據動線問題，需要添加輔助線（如圖10）。即取線段AB的中點O，連接ON、OQ。這樣，根據動線約束條件，不難知道線段QN掃過的面積是以點O為圓心、分別以OQ、ON為半徑的同心圓的圓環部分。這樣，結合問題（3）的已知條件，可知OQ-ON=3。繼而可求出動線掃過的圖形面積為9π。

設計意圖：本題屬于命題變式編碼問題，可以作為“例題附加練習”來研究。這樣有助于學生在“相似變換”中獲得母子正方形的反常規視角，在“全等變換”附加編碼中獲得深度推理能力，在圖形變化中獲得將“復雜”轉化為“簡單”的能力。

綜上，從心理學認知論看，問題（1）與問題（2）之間屬于顯性命題變式，問題（1）與問題（3）之間屬于隱性命題變式。如果把“旋轉變換”作為“說”的思維主線，那么“相似變換→全等變換→動線問題”則屬于擬經驗變式編碼，能促進個體經驗事實化。這樣的命題變式編碼過程帶有追本溯源的特征，有助于學生獲得變而不變的能力。這也是事實經驗得以轉化遷移的具體表現，是二次變式的必然結果。

三、“二次變式”的教學思考

變式是教師教學的“始基”，“二次變式”是學生學習的動力體系。二次變式的“本原性”表現為源于教材、高于教材和超越教材，二次變式的“再造性”表現為情境置于編碼、語言等值編碼、聯結抽象編碼。

1.情境置于編碼——源于教材

“母子正方形”是源于教材的，兩個城市、三個年份試題考查的視角“南轅北轍”，這就是情境置于編碼的產物。在實際數學中，二次變式教學設計要基于教材，體現圍繞教材考的目標;要進行恰當的情境編碼，突出概念方法體系的特點。上述3個例題中的問題（1）就是二次變式編碼的好例子。

2.語言等值編碼——高于教材

一堂好課，必須滿足源于教材、高于教材的二次變式認知條件。語言等值編碼（提出、推理、表達）是學科教學的頂層設計（對數學學科而言，指用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界），指向提出問題、反常規能力的培養。例3中的3個問題就揭示了教學的本體價值，不留痕跡地將“相似變換、全等變換、動線軌跡”渾然天成。

3.聯結抽象編碼——超越教材

“會一題、通一類、連一片”是學科教學，特別是理科教學的理想狀態，是聯結抽象編碼的目標對象，是超越教材的宗旨。利用智能平臺，進行聯結式抽象編碼，讓學生經歷“不變而變的形論，變而不變的數論”的過程，勢必能將“連一片”轉化成“學習現實”，這就是二次變式的教學終極追求。

參考文獻

[1] 徐汝成.馬登理論及其對數學教學的啟示[J].數學教育學報，2002（01）：48-50.

[2] 李靜，王秀蘭.本原性問題驅動下的數學變式教學[J].數學教育學報，2013，22（06）：94-97.

[3] 徐章韜.“Z+Z”智能教育平臺：實施變異理論的一個抓手[J].數學教育學報，2012，21（04）：28-31.

*該文為江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點資助課題“初中數學實驗教學支持系統的構建研究”（B-a/2020/02/42）的研究成果