結構化再建：小學數學總復習教學的應然路徑

顧健　于勇

摘要：高質量的小學數學總復習不是對先前學習內容的簡單重復，而是要跳出題海，以學生認知再建、技能躍升、思維進階、情意發展為導向，牢固樹立終局思維、逆向設計的全新理念，在關注表現、指向發展的評價機制驅動下，利用以“說”明思、以“寫”促行、以“圖”構模等諸多路徑，引導學生經歷學科知識結構化、數學思維結構化、問題解決策略結構化的整體建構過程，促使兒童在對數學理解與遷移、聯結與拓展、實踐與應用等數學活動中實現學力生長。

關鍵詞：總復習；結構化；小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）23-0086-06

小學數學總復習是學生六年數學學習生活的最后一公里，對其數學素養的層階式躍升及知識的結構化、內融化建構具有無可替代的作用?？倧土暭仁菍πW數學學習的回顧性查漏補缺，也是構建系統性、結構化的知識體系，培養學生數學核心素養的重要途徑。而事實上，不少教師可能認為總復習缺乏新知課的探究意趣，難以賦予學生強烈的認知帶入感，也可能教師個人囿于碎片化數學知識，總是“翻炒冷飯”，效果可想而知。因此，打破數學舊知對學生數學眼光、數學思維及語言表達的桎梏并實現知識的結構化再建是小學數學畢業總復習的應然策略。結構化再建既要突破原有單元、年段限制，從知識聯系和整體的角度再建知識框架，又要融通同類知識內容，從數學本質出發凝練數學思想方法；既要平衡數學學科體系和學生學習心理，實現學生認知過程的結構化，又要在形成發現、提出、分析和解決問題的能力和綜合評價中，促進學生思維的結構化。

一、樹立新理念：跳出題海，導向目標

“理念是行動的先導”，在執行、達成具有內隱、抽象特性的理念時往往會衍生、外顯出與之適切的行為，數學教學亦是如此。小學數學總復習應從知識再現一次、教師再講一回、學生再練一遍、試卷再考一張的偏頗觀念中跳出來，基于學生現有知識水平及素養狀況，在本質溯源、全景經歷、圖譜建構、深度應用的過程中，讓學生得到“魚”與“漁”，這才是數學總復習應該秉持的理念。

高品質的小學數學總復習，不應僅僅指向學生能夠在畢業檢測中單純獲得高分，而應以培養學生正確價值觀念、必備品格及關鍵能力為方向，為學生長期發展、可持續發展搭建真實性情境與序列性任務，在縱、橫向建構及不同表征轉換的過程中實現基于理解的學習。除了“使得學生已學的知識得到完整的組織，便于學生一攬子把握，給予學生學習新知識的智力工具，培育他們新意義的生長力”[1]60，還應將培養學生良好的數學學習習慣、豐盈良好的數學體驗和情感等置于重要位置，為學生建構終生受用的優秀品格?！胺e千積萬不如積個好習慣”，作業習慣如仔細審題、認真答題、工整書寫、及時糾錯、用好草稿紙等，聽課習慣如善于聆聽、自主探索、合作交流、善于遷移運用等，都是直接影響學生數學學習“能走多遠”的重要因素。

要增強學生進入初中繼續學習的信心及積極情感體驗，將總復習內容用活潑的形式呈現，與學生喜聞樂見的生活相聯系，挖掘知識內聯的奧秘，從系統的角度讓學生感受小學數學知識的內在魅力，并與初中相關知識點適時作簡要銜接，消除初中數學學習的神秘感，實現由此及彼且具生長感的自然過渡。如，在復習“列方程解決問題時”時，附加式融入“天元術”史學內容。700多年前，我國數學家李冶在其著作《測圓海鏡》中，系統介紹了天元術，它是利用未知數列方程的一般方法，與現在列方程解決問題的方法基本一致，只是寫法不同。其中“天元”相當于我們現在所說的未知數，“立天元一為某某”相當于列方程解決問題的哪一步？目的是引導學生基于數學閱讀、關聯思維明確“天元”與未知數、“天元術”與列方程解決問題的同質關系，為學生進入初中后更好地理解“一元一次方程”“二元一次方程”等概念中“元”為何意提前埋下伏筆，同時促發學生對中國文化產生濃厚興趣，激活學生學習數學的生命激情[2]。

二、構建新體系：通透結構，轉識成智

結構化學習作為助益學生深度學習的有效策略，其實質是將已經學習過的零散知識按照一定脈絡進行分類整理、歸納提煉、完善邏輯，使得已學知識條理化、主題化、整體化，從經驗話語、割裂失聯走向系統考量、融會貫通[3]。畢業總復習的核心任務就是要打破“課時站位”“單元站位”“分冊教材站位”，讓學生經歷經由點、線、面而形成體的動態構建、發展過程，在描繪知識結構圖譜的過程中實現知識之間的聯通，幫助學生形成對已有認知存儲、回憶及操作處理的智力工具，實現對知識的理解進階。

（一）認知結構——讓數學認知轉識成智

從一般意義上來說，知識結構是指數學內容及其組織形態。對于學生的認知來講，知識結構是外在之物，只有學生通過學習將其轉化為自己掌握的東西后，它才能變為內在之物即適應個人情況的認知結構。認知結構對知識的融通跨度及其內在生長性，遠比知識結構生動、靈活得多。心理學研究表明，學生獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識[4]。在教學實踐及知識再現、應用中，我們也發現優秀學生與一般學生的顯著區別就在于其擅長將已有認知予以加工與創造并嵌入網狀的“大圖”中。由此得知，小學數學總復習應從整體上把握知識體系，根據知識的起點、教材的重點、學習的難點和學生的薄弱點，引導學生自主建構體系，讓他們尋著一個切入點縱橫聯系，厘清其來龍去脈，對小學階段內容進行梳理、分類、整合和優化，促進知識系統化。小學數學課程內容整體上可以將“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”和“實踐與綜合運用”四大領域作為一級目錄，其下再建各級子目錄體系，關鍵是要基于數學知識、思想、方法的邏輯順序及充分體現學生經驗、思維水平的認知序，按照集合范疇的從屬關系對其進行重排，理解數學對象的屬性與本質[5]。如“數與代數”認知結構就可沿著數概念、數計算兩個維度予以建構，從數計算除法維度出發又可建構出“比”與“整除”等分支維度，再由之分別衍生其他分支結構。學生在自己建構出的認知結構中，不僅找到了單個知識的固著點，而且能去粗存精，無須記住大量零碎、孤立的知識，只需將數量不多的“組塊”納入工作記憶，便可輕松上陣、由“圖”探“寶”。

（二）方法體系——讓數學思考向深推進

建構主義認為，學生的知識不是通過教師的傳授、輸入得到的，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他輔助手段，利用必要的學習材料和學習資源，通過意義建構的方式而獲得的。解決問題的具體方法與基本策略是這一有意義學習所必需的重要輔助手段之一，可以幫助學生把握思考的起點及求進方向。隨時建構的學習方法，也要有一個深入綜合組織、提煉出數學思想的過程。如果說知識體系是與初中銜接的一條明線，那么“忘卻知識”之后的方法構成的體系則是一條銜接的暗線，對學生進一步成長更為有益。建構方法體系，就是要跨越知識點所在的領域，梳理知識產生背后的基本原理，按照解決問題的基本策略進行方法化歸。小學數學方法策略有多種，其中最基本的有對應法、畫圖法、列表法、枚舉法、還原法、假設法、替換法、轉化法等。在引領學生構建數學方法體系時，一般圍繞方法內涵的解讀、多角度實踐應用（含嘗試畫圖、圖文互譯、建構模型等）、學生遷移運用等層面予以落地。

如，畫圖策略體系的構建。首先，總括畫圖策略的基本內涵，引領學生整體把握這一策略是指解題者在問題解決的過程中，畫出與題意相關的示意圖，用以幫助解題者觀察、推理、思考，這是解決數學問題的一種手段[6]；其次，結合典型習題闡釋建構平面圖、立體圖、分析圖、線段圖等由題索圖的畫圖策略體系，或者構建畫圖策略在不同知識領域中的實踐應用體系；最后，引導學生對畫圖策略在變式或數學文化中遷移運用，進而實現數學理解的進階及數學思維的生長。學生一旦能夠自主建構畫圖策略的基本體系，也就具備了文字、模型、符號、圖形等不同表征的轉換能力，自然也就能夠隨時調用“方法庫”中的“利器”來探索未知領域的其他問題。

（三）理解體系——讓多元表征彰顯魅力

英國著名數學家、心理學家斯根普指出，理解是一個具有豐富內涵的，多個側面、多種成分的，應加以剖析的“譜”，是一個“范圍”，一個“體系。Godel定理指出，數學體系、數學整體不是封閉的，對于某個整體中的一些概念、命題和法則，僅在整體內部理解是不夠的，必然要利用專題以外的內容來幫助理解，需要到更大的范圍中去尋找啟發領悟的契機[1]79。小學數學總復習是學科基本知識與基本技能的暫時終結階段，需要將在此之前的認知結構置于新的層次和情境實施再建構、再表征，由此實現學力再生長與理解再進階。多元表征的信息結構與體系蘊含了某一數學對象豐富的、互補的、全息的信息，學習者對這些信息加工生成的整合碼是對數學對象建構深度理解的重要標志。因之可見，多元表征是針對某一數學對象實施的由“點”向“域”輻射的數學思維體系，可更好地服務于學生實施深度學習及對數學知識本質的理解與把握。

如，“乘法分配律”多元表征認知下數學思維體系、理解體系的建構。蘇教版四年級下冊數學教材“乘法分配律”教學呈線性結構：探尋問題解決的兩種方案→基于問題求解結果，比較兩個算式結構特點→引導學生觸類旁通，寫出類似等式→總結歸納算式的基本特點→由特殊到一般，借用字母表達式表征上述特點。在此認知過程中，雖有書面符號、口頭語言等多種方式，可在總復習階段用來說明、解釋乘法分配律的表征方式更為多樣。如果充分發揮其論證作用，打通其內在關聯，則可使不同表征之間互為映襯，融為一個有機結構體系（如圖1），共同指向對乘法分配律意義的深度理解及模型建構。

三、落實新舉措：自主互動，追求實效

引領學生“查漏補缺”當是小學數學總復習的重要目的及基本功能之一?！安槭裁础笔墙處煹闹鲗氊?，“漏什么”最為清楚的自是學生自己，需要“補什么”由學生自主完成。由此得知，引導學生自主查漏、自行補缺，為學生搭建自主學習的平臺，引導開展自行探究的活動，是總復習教學應該落地貫徹的新舉措。

（一）以“說”明思

“說”數學作為一種積極主動的行為參與，在學習者間個體數學知識的相互補救、促進和增強深層碼及整合碼的構建等層面的功能不可小覷，在數學教育教學中，可以從促進和增強學習者自我解釋、同伴教學、數學“說”題等向度予以著力。自我解釋是一種元認知活動，而作為一種“說”的方式，則主要指向一種思維外化的行為，重點引導學生自我解釋“為何這樣說，有何理由根據，可否換個角度，能否用自己的話或數學語言說”。如，學習百分數后，用非范式語言呈現百分數：“在傳統觀念中，我們總以為感冒是凍出來的，其實這是不確切的。感冒百分之九十左右是由病毒引起的，百分之十左右是由細菌引起的”。要求學生用百分數概念的范式語言進行解釋：“由病毒引起的感冒病例占全部感冒病例的90%，而由細菌引起的感冒病例占全部感冒病例的10%左右”。同伴教學是基于學習伙伴相互施教、共同受益的教學組織形式，施教者因承擔轉教他人的任務，更加注重對學習主題的精細化加工、邏輯化再構，由此促進、增強了對復習內容較高水平的認知。同伴教學的組織方式當然也是多元的，學習者可以在施教前撰寫一個序列性摘要，畫一個知識結構圖譜，也可以讓學習者在課前回顧他們的學習對象，除此之外，還可以讓一組學習者向另一組學習者予以群體性施教。數學“說”題可以讓學生思維可“視”可“聽”，外顯邏輯、構建關聯、內化知識，更可有效激發學生數學學習的熱情，培植學生學習數學的內驅力[7]。教師要引領學生從“做者”轉身為“講者”，圍繞作業題意、方法擬定、解答過程、回顧反思等方面對典型作業進行講解分享，并視學生表現評選出周度、月度、學期作業小能手，以此引導學生滿懷興趣和情懷去完成數學作業。

（二）以“寫”促行

大量研究表明，各個年級的學習者對數學的理解都能通過寫下他們所學的東西得到增強?！皩懸粚憽北磉_式探究任務，不指向封閉固定的答案，思考的路徑與方向更為多元，特別有利于促進學生個性化認知、理解與對內隱思維的多樣化呈現[8]，由此將學生個人認知再構、數學復習導向深處。基于學生對某個知識的認知起點、邏輯起點，量準學生從“已知”到“能知”的潛在距離是精準施教和設計“寫數學”為主要媒介的探究任務的關鍵所在。如在學習“圓的周長”后，基于相關材料搜集與整理設計表達類作業，引導學生撰寫數學習作“走近祖沖之”。絕大多數學生都能提交各具特色的作品，或洋洋灑灑寫出祖沖之在數學、歷法、天文等方面的卓越貢獻，或圖文結合再走推算圓周率的探究之旅……探究任務也因此承載了學科融合、主題探究的認知底色。除了寫對學科知識的理解、建構與借助生活實例說明學科知識的拓展應用外，還可以引導學生基于數學史視角以寫的形式追溯知識產生根源、發展脈絡與未來趨勢，可以是對典型試題解法分析以及由此引發的基本規律、數學思想的思考等，也可以結合數學復習的需要，引導學生反思個人解決問題的方法，收集、呈現自己典型錯題，書面剖析錯誤原因，撰寫完成題目時的基本注意事項、小妙招等。

（三）以“圖”構模

在復習總結階段，同化過程會引起知識的心理結構驟然增量，學習者的認知結構常常表現為：知識點單一、孤立、破碎，缺乏聯系，缺失生長點，難以抵達反映專家思維方式的數學建模、數學抽象，難以實現將學校所學向現實世界的遷移。若教師結合復習內容的實際需要，引導學生巧妙運用概念構圖、思維導圖、故事地圖、魚骨圖等[9]，則可形象地視覺化知識間的內在聯系，再現知識、思想方法的來龍去脈，由此極大地改善了上述情況。

建構圖形組織者的過程，是一種再現、理解數學知識以及組織個人想法、形成計劃或步驟的經歷性活動，可以驅動學習者積極地使用排序、比較、分類、分析和問題解決等策略，讓學習者生動、直觀地經歷數學知識、思想方法的發生、發展，進而將相關知識予以系統化、結構化、精致化構建，由此賦予所學知識無窮的生命力。

四、實施新評價：關注表現，指向發展

科學、完善的學業評價機制是事關學生發展的重要外部因素與動力源泉。在總復習過程中，教師只有基于新的評價維度和標準，踐行“改進結果評價，強化過程評價，探索增值評價，健全綜合評價”這一新的評價取向，才能不斷催生和聚集學生的學力，才能不斷挖掘和提升學生的智力，進而對他們的內驅力提升、健康成長、和諧發展等產生積極影響。當然，數學學習的評價絕不僅是對數學基本知識、基本技能的考察與考試，還要格外關注對學生在學習全程中呈現出的學習行為、態度、情感及內在心理等學習構成因素的分析與評價。

（一）激發學生進一步學習愿望

總復習并不意味著學習的終止，應是對未來學習進一步展望，在這銜接的過程中，與其說重要的是知識、能力，不如說更為重要的是其對于數學的情感，包括學好數學的信心、興趣，信心十足，興趣則倍增。信心、興趣應來自學生自身，但小學生的這份情感，更多的來自教師的鼓勵。所以，總復習階段要時刻牢記“賞識至上”的評價原則，永遠保持學生有股學好數學的良好愿望。課堂中要賞識其新意之思，作業中要賞識其閃光之點，檢測中要賞識其進步之處，總之要將賞識的陽光彌漫在總復習的每個角落，照亮學生前進的航程，確保學生以良好的學習興趣投入當下的復習之中，并激發后續學習的熱情。當然，面對學生所犯的錯誤必須善意地適時加以批評和引導，以激發其內在潛力，這也是樹立學生良好學習愿望不可或缺的重要舉措。

（二）全面評價學生的數學素養

“木桶理論”告訴我們評價學生一定要全面，數學素養的組成要素當是評價的一塊塊“木板”。其一，要客觀評價學生在數與代數、圖形與空間、統計與概率、實踐與綜合運用四領域掌握的基礎知識，不能出現知識評價盲點，否則便會產生認知盲區，因此評價中不能輕言“孰大孰小”，知識扎實能力才有生根之處。其二，要全面地評價學生數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識與推理能力等核心素養表現，這些方面好比人成長所需的多種維生素，缺其一種，就會造成潛在的數學“缺陷”，因此評價中不能輕言“孰重孰輕”，應通過評價促進學生能力素養的均衡發展。其三，基礎知識與基本能力不可割裂開來進行評價，能力的評價要與知識有機融合進行，才能讓數學煥發自身魅力，讓學生產生對于數學的良好情感。

（三）不同的學生都能有所發展

“不同的學生在數學上獲得不同的發展”是數學課程標準明確提出的重要教育價值，學生是一個個鮮活的生命個體，促進其發展的評價當是有所分類的。學生歷經六年學習，因智力水平、習慣、態度等的影響，必然存在學習上的差異，甚至是比較大的差異，只有實施差異評價才能策應“不同的學生在數學上得到不同的發展”的課程目標。實施差異評價，就是要教師樹立“強化縱比淡化橫比”的評價思維，引導學生重點要與自己過去相比，是不是漏洞及時補缺，能力有所增強，既不能好高騖遠，也不能自甘落后。實施差異評價，還要教師確立“下要保底，上要封頂”的評價原則：既要多關注“底子薄”的學生，力求讓他們守住小學數學學科目標的底線，掌握最基礎知識，鞏固最基本能力；又要讓優秀的學生不感到總復習只是簡單的重復，要讓蘊含的“此中有新意”成為這部分學生的智力挑戰，當然也不能肆意拔高，以免“傷仲永”。

參考文獻：

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[3]朱皓華.結構化學習：實施深度學習的有效策略——以蘇教版數學六年級下冊“總復習”為例[J].教育界，2023（3）：110.

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[5]潘麗云.數學史視野下小學數學教師素養提升的實踐路徑[J].課程·教材·教法，2020（6）：98.

[6]徐斌，董良.從“解決問題”到“問題解決”—小學數學畢業總復習教學指引[J].小學教學（數學版），2013（2）：13.

[7]王哲燕.由“說”展思 因“題”促聯——淺談“過程性評價”視域下的小學生數學說題[J].小學數學教師，2022（6）：52.

[8]于勇.“寫”與“畫”：讓思維在小學數學作業中自然生長[J].求知導刊，2022（12）：14.

[9]唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師范大學出版社，2009：129.

責任編輯：石萍

*本文系江蘇高校哲學社會科學研究重大項目“大概念的教學意蘊與統攝機制研究”（2022SJZD044）、蘇州市教育科學“十四五”規劃課題“指向兒童‘學力生長的數學理解教學研究”（2022/LX/02/063/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-09

作者簡介：顧健，蘇州大學附屬吳江學校，高級教師，蘇州市學科帶頭人，主要研究方向為小學數學教學；于勇，蘇州大學附屬吳江學校，高級教師，山東省特級教師，主要研究方向為小學數學教學和教研。