建構自然、高效的概念教學課堂

［摘? 要］ 概念教學是數學教學的基礎，是數學核心素養落地的關鍵. 緊扣教育根本，明確概念教學本質，是建構自然、高效概念課堂的關鍵. 文章以“數列的概念與簡單表示法”教學為例，具體從以下四個方面談一談概念教學的基本流程：創設情境，引入概念；逐層探討，完善概念；加強練習，應用概念；總結反思，鞏固概念.

［關鍵詞］ 概念教學；問題情境；反思

作者簡介：汪薇（1979—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

概念是數學知識的基本組成部分，是數學教學內容的重中之重，其教學成效直接影響著學生對數學基礎知識與技能的掌握程度. 但在實際教學中，有部分教師仍存在重解題輕概念的思想，還有部分教師忽視概念本質與學生現實的情況，從而導致學生無法深刻理解概念的本質與內涵. 為了消減這些現象，教師可借助概念形成的情境，引導學生透過概念學習的表層，深入概念的內在邏輯關系，實現概念教學促進學生有效發展的價值.

本文以“數列的概念與簡單表示法”一課教學為例，具體談一談如何建構自然、高效的概念教學課堂. 數列概念既是函數概念的延續，又是等差、等比數列的基礎. 本章節所包含的小概念數量多，與函數有著密切的關系. 怎樣結合學生原有的認知結構，自然而然地順利過渡到新知的建構中呢？帶著此問，筆者對數列概念的教學進行了精心設計與實踐，并獲得了一定成效.

創設情境，引入概念

師：用PPT展示以下4個情境.

情境1：影院的某小廳，座位呈扇形分布，縱向共10排，第一排的座位有10個，從第二排開始，后一排都比前一排多一個座位，即從第一排到第十排的座位數分別為10，11，12，13， 14，15，16，17，18，19.

情境2：從1984年到如今，我國共參加了10屆奧運會，獲得的金牌數量從開始到現在，依次為15，5，16，16，28， 32，51，38，26，38.

情境3：古語有云，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”. 若將起始長度理解為一個單位，那么每天所剩的長度依次為，，，….

情境4：著名的數學家畢達哥斯加常與朋友在沙灘上研究數學，如用石子表示圖1所示形狀的數，將此稱作三角形數，這些數從小到大依次為1，3，6，10，….

要求學生說一說上述4個情境中的數據，教師將這些數據寫在黑板上.

師：上述情境共用到了4組數據，為了解它們對刻畫實際生活現象和規律的意義，現在我們一起來分析、探討各組數據.

問題1：從以上數據來看，各情境所展示的數據在排列上具備怎樣的特征？

學生經過初步自主探究，還不能順利回答這個問題，因此師生在共同交流、分析的過程中，需要教師在此處進行適當引導，如“以上4組數據中的順序能否隨意改變，如果改變數的位置，能否表達相同的意思？由此你們能看出些什么？”

學生一致認為，這些數據都是按照一定順序排列的，所以不能隨意改變位置. 根據學生的結論，教師將數列的定義寫在黑板上，著重強調數列是按照一定順序排列的一組數.

問題2：（1）數列1，3，5，7，9和數列9，7，5，3，1一樣嗎？

（2）可以將情境2中的數字“16”去掉嗎？為什么？

（3）說一說數列和集合有怎樣的聯系與區別.

隨著學生思考與交流，逐個突破了以上問題. 此時，教師又帶領學生從一列數、一定順序與互異性三方面分析數列與集合之間具有怎樣的聯系與區別，同時在黑板上將“一定順序”“一列數”等關鍵詞語畫上著重號.

設計意圖 數列的定義雖然看起來簡單，但其中涉及的“一定順序”和“一列數”等關鍵詞語，并不是通過幾個小小的情境就能抽象、概括出來的. 因此，情境的創設雖然重要，但教師的點撥具有四兩撥千斤的作用，通過以上幾個問題的思考，學生能充分感知數列對順序的特殊要求.

此過程中，通過幾個落于學生最近發展區的問題設置，成功喚醒了學生的對比意識，使學生在自主研究與交流中充分感到數列與順序的必然聯系. 學生對數列概念的內涵一旦有了深刻理解，當遇到一列數之前冠上了“數列”二字的時候，立即會反應過來：這是一組講究順序排列的數，也就是不可隨意變化這些數的位置. 至此，數列概念就能自然、順利、成功地抽象出來.

逐層探討，完善概念

1. 要素分析

師：為了便于研究數列，我們將數列中所涉及的每一個數都定義了一個專業術語——“數列的項”，排在第一個的數，我們稱它為該數列的第一項（a），排在第二個的數，我們稱它為該數列的第二項（a），以此類推，排在第n個的數，我們稱它為該數列的第n項（a）. 由此，大家能發現什么規律？

生1：數列具有一定的順序，一個數列中的每一項都有一個順序號與它對應.

師：非常好！根據這種對應順序，我們可以將數列寫成a，a，a，…，a，簡寫為｛an｝.

問題3：從以上我們對數列的基本了解，大家能列舉一些與數列相關的生活實例嗎？

（學生列舉，教師板書）

2. 類型劃分

問題4：從大家列舉的實例與以上呈現的幾個數列來看，數列在生活中的實際應用非常豐富，但也存在不同情形. 大家思考一下，我們可以怎么把它們進行分類？

學生沉默. 教師提示：想要分類，就要有一定的分類標準. 學生很快就聯想到從項數與單調性這兩方面來分類.

生2：若從項數來分類，根據項數的多少，可以分成有窮數列和無窮數列. 如課堂開始展示的4組數列，前兩組屬于有窮數列，而后兩組數列的項數有無窮個，則為無窮數列.

師：那么從單調性來分類呢？

生3：從各項數的大小規律來觀察，第二組數列沒有規律，第三組數列呈逐漸減小的規律，而第一組和第四組數列呈逐漸增大的規律.

師：非常好！大家分析得都很透徹. 現在我們一起來填寫表1，將數列的分類標準再次梳理一遍.

設計意圖 將課堂導入環節的素材，利用在類型劃分環節中，起到前呼后應的效果. 同時，借助學生熟悉的實例進行數列分類，不論是從心理上，還是從情感上學生都更容易接受. 而結合實例介紹要素，能讓學生產生更加形象、深刻的認識，有助于學生內化數列概念.

3. 表示方法

師：通過以上對數列要素的分析及分類標準的研究，我們對數列有了更深刻的認識. 為了將數列的有序性展現出來，我們一起把課堂開始的4個情境中所有數列的項與序號，通過表格的形式，呈現出它們之間一一對應的關系（見表2）.

當學生完成表格后，教師提出：對應每個序號，都存在一個唯一的項與之呈對應的關系，這里提及“對應”二字，會讓大家聯想到我們之前碰到過的什么概念？

生4：函數.

師：不錯！我們可以將數列理解為定義域是正整數集或其有限子集，自變量按照由小到大的順序依次取值而組成的一列函數值. （說這段話時，教師適時斷句或停頓，為學生保留充分的思考和理解的時間）

問題5：大家能否發現情境3中的數列，項與序號之間存在怎樣的函數關系？

生5：a=n.

師：用來刻畫數列的項a和序號n的對應關系的等式被稱為數列｛an｝的通項公式，即a=f（n）. 大家猜想一下，為什么被稱為通項公式呢？

生6：因為它可以用來刻畫每一項與序號之間的關系，只要知道了它，那么數列的所有項都可以知道，所以被稱為通項公式.

師：太棒了！你們能應用通項公式來表達前兩個情境的數列的項與序號之間的關系嗎？

學生很快就寫出了第一個數列的通項公式，卻沒法寫出第二個數列的通項公式. 此時，教師順勢引出了數列的其他表示方法——列表法和圖象法.

師：列表法大家已接觸過，至于圖象法該怎樣表示呢？

在畫圖過程中，有些學生先描點再連線，此時教師給予點撥：畫圖中，我們所畫的每一筆都很重要，在我們連線后，序號n不僅能取正整數，還能取什么數？

經過教師提點，學生立馬恍然大悟：畫圖不可以連線. 此時教師將這個主要的圖象特點寫在黑板上（孤立點或離散點），并將情境2的數列圖象投影到電子白板上.

問題6：請大家嘗試用三種不同方法來表示情境1的數列.

學生類比函數的表達方式，用三種不同方法表示了情境1的數列，每一種表示方法都能明確項與序號的對應關系. 為了強化學生對“對應”的認識，教師每說出一個序號，要求學生快速找出相對應的項，通過這種練習，學生對這部分知識不僅產生了濃厚的研究興趣，還形成了更加深刻的印象.

接下來，教師引導學生將數列和函數作對照分析，幫助學生梳理知識脈絡. 分析后，學生發現兩者的主要區別為：數列圖象是孤立點群，而函數圖象可以是離散點群，也可以是連續曲線.

設計意圖 研究函數與數列的關系，是從深層次理解數列概念的行為. 數列的順序表現在各項與各序號之間的對應關系上，而兩數集的對應也將數列與函數有機地聯系到了一起. 到底該怎樣表達這種對應關系與特點呢？想要解決這個問題，數列表示的問題也就應運而生. 此教學過程全程緊扣數列概念，每個教學步驟都是順勢而為，教學成效也是水到渠成.

加強練習，應用概念

練習1：已知情境3的數列通項公式是a=.

（1）求第六天的剩余量是多少；

（2）求位于數列的第幾項；

（3）是否存在的剩余量？為什么？

通項公式是呈現數列的一種方式，在已知通項公式的情況下，就知道了此數列的所有信息. 練習1將情境3的數列通項公式直接展示給學生，接下來解題就變得輕松了. 但是，在很多有關數列的問題中，數列通項公式并不會直接給出，而需要學生自主去求，這給解題帶來了難度.

練習2：已知情境4中數列的前4項.

（1）寫出該數列的第5項、第6項以及第100項.

（2）寫出該數列的通項公式.

此練習要求學生自主推導出該數列后面的項，并根據其規律總結出通項公式. 這對學生思維提出了一定條件，只有在深刻理解數列概念的基礎上才能順利完成練習2.

練習3：根據以下數列的前4項，寫出各個數列的通項公式.

（1）1，，，，…；

（2）－1，1，－1，1，…；

（3）1，－，，－，….

練習小結 經由以上3個練習，師生共同提煉、總結出了以下幾個要點：①一個數列的通項公式可能存在多種表達方式；②書寫數列通項公式的關鍵點，在于尋找盡可能多的共同之處，把差異和序號n聯系起來；③并非所有數列都存在通項公式.

設計說明 任何概念的學習都是為了更好地應用在實際問題的解決中，教師以情境作為練習素材，既節約了學生審題的時間，又讓學生有了良好的情感體驗，為學生深刻理解、解決、反思問題贏得了更廣闊的空間. 這種從情境中來，又回歸到情境中去的教學方式，提升了數列概念教學的高效性.

總結反思，鞏固概念

師：請大家將本節課學習的知識用思維導圖的方式概括、總結出來，并通過對數列概念的研究，談一談研究一般概念的基本流程.

學生根據自身在本節課的體驗與收獲，畫出了豐富的思維導圖，并對研究一般概念的基本流程總結如下：①通過幾個具體事物的研究，抽象出其存在的共同特征；②給這些特征下明確的定義；③用相應的數學符號與語言進行表達；④分類認識特殊對象，并掌握特殊關系；⑤通過類似對象的比較，找出它們的聯系與區別，深化對概念的理解；⑥從不同角度去表征，并靈活應用.

設計意圖 曾子曰“吾日三省吾身”，總結、反思與提煉是每節課必不可少的環節，它能幫助學生鞏固、梳理所學知識. 此環節通用研究方法的總結，符合“授人以魚不如授人以漁”的教育理念，為后期更多、更復雜的概念研究奠定基礎.

完成以上幾個教學環節，并不意味著學生已經完全掌握并了解了數列概念，需要將本節課的教學內容納入學生的認知體系中，才算完工. 因此，教師在總結環節中，應引導學生站到一個新的高度，從整體上來觀察數列概念，厘清相關知識脈絡，達到深度理解與融會貫通的目的.

概念教學是一個循序漸進的過程，學生建構新的認知體系需要經歷一個連續發展的過程. 因此，以上每個教學流程都有其獨特的作用，缺一不可，亦不可逾越，前一環節是后一環節的基礎，后一環節是前一環節的鞏固與提升.