把握引導時機 促進思維發展

［摘? 要］ 隨機應變的教學能力，反映一個教師的教育智慧與教育藝術水平. 在教學中，當學生思維受阻時，教師該采取怎樣的應對措施？是按照原定計劃繼續授課，還是順著學生的思維進行探究？這就要求教師有精準的判斷力與隨機應變的教學能力. 文章從學生思維的疑惑處、錯誤發生處、課堂節外生枝處以及學生思維的膚淺處等方面，具體談談如何把握好引導時機，促進學生思維的發展.

［關鍵詞］ 引導時機；思維發展；隨機應變

作者簡介：趙軻菊（1982—），碩士研究生， 中學一級教師，從事高中數學教學工作，曾獲江陰市“教學能手”稱號.

波利亞認為，培養學生的思維能力與品質，是數學教學的主要目的. 確實，數學是思維的體操，當學生思維遇到障礙時，需要教師適時引導，幫助學生渡過難關，順利進入知識探索狀態. 這就要求教師有極強的業務水平與應變能力，能在關鍵時刻提出建設性意見，臨危不亂，在適當的啟發中，促進學生思維的發展. 為此，本文就如何把握好引導時機，談一些看法.

引導于學生的疑惑處

面臨一個新的知識，學生出現疑惑屬于正常現象. 作為教師，應用敏銳的眼光發現學生的問題，并及時、準確地進行引導，將學生的思維導向問題的深處，鼓勵學生自主判別問題出在哪里，找出各種解決問題的思路或方法的利弊，達到自主探索、深入理解的目的.

案例1 “直線的傾斜角與斜率”的教學

當學生對傾斜角的概念有所了解后，則須引入“斜率”這個新的概念. 教材中明確提出，一條直線的傾斜角α的正切值稱為該直線的斜率. 面對這個解釋，學生提出了自己的疑惑：斜率為什么非要用α的正切值來表示呢？是否可以用正弦值、余弦值來表示？

學生提出這個疑惑，說明他們的確在思考. 若教師用“教材就是這么規定的”來搪塞學生，只會讓學生更加疑惑：教材為什么要這么規定？老師自己是不是也不知道為什么？也有一些教師稍微民主，通過反例法與學生一起驗證用正弦值與余弦值來表示斜率不合適，但仍然無法從根本上打開學生心中的“結”.

面對學生在此處的疑惑，筆者認為，可在此處設計幾個引導式問題，不僅能打消學生的疑惑，拉近師生的距離，還能讓學生獲得良好的數學思想. 當下次遇到類似問題時，就能使用類似方法，自主探索，獲得答案.

問題1：請大家建立一個平面直角坐標系，并在其中畫出下列各個方程的圖象，y=x+1，y=x+1，y=－x+1.

問題2：請大家仍然在這個平面直角坐標系中，畫出過點（0，1），傾斜角分別為45°，60°，135°的直線.

學生在以上兩個問題作圖的過程中驚奇地發現，雖然兩個問題表面上完全不一樣，但畫出來的圖卻是一樣的. 鑒于此，師生出現了以下對話：

師：觀察第一個問題，這三個方程有什么區別？

生1：三個方程中x的系數不一樣，它們分別是1，，－1.

師：再觀察第二個問題，這三條直線有什么區別？

生2：主要區別于傾斜角不一樣.

師：由此大家有什么發現嗎？

生3：將兩個問題對應起來看，第一個問題中x的系數，正好是第二個問題中對應傾斜角的正切值.

師：這是一種偶然現象嗎？現在請大家看屏幕（用幾何畫板演示，直線傾斜角的正切值和x的系數始終保持一致）.

隨著教師適當的引導與幾何畫板的使用，學生從自主探索與直觀演示中發現直線傾斜角的正切值和直線方程的關系，由此從本源上明白為什么要用直線傾斜角α的正切值來刻畫直線的斜率.

此教學過程，面對學生的疑惑，教師沒有選擇逃避或反證，而是抓住這個契機帶領學生親自探索問題的答案. 學生在對兩個問題的操作、觀察與分析中，自主歸納出了斜率這個概念，而幾何畫板的介入，讓學生對斜率產生了更加直觀、深刻的認識.

教師在整個過程中，一直充當著一位合格的引導者，鼓勵學生在自主探索中尋求問題的真相，整個交流過程氣氛和諧，是以學生為主體、教師為引導者的教學模式. 這種方式，既肯定了學生的想法具有探究價值，又能培養學生的探索與思考能力，使學生知其然更知其所以然，有效促進學生數學思維的發展.

引導于學生的錯誤處

學習過程中出現一些錯誤是在所難免的，細細分析這些錯誤產生的原因，不外乎思維不深刻、理解偏差或看待問題的角度或方式不準確等. 將錯誤作為引導的切入點，是實現有效教學的契機. 教師在錯誤發生處提出相應的問題，不僅能提高學生對問題的辨析能力，還能讓學生學會在錯誤中反思，產生新的感悟，為解題能力的提升奠定基礎［1］.

在教學中，學生常會出現這樣一種情況：多種想法交織在一起，對問題處于難以判斷與取舍的狀態，覺得一個問題用這種方法去理解也對，用那種方法亦可，但多種方法卻呈現出了不一樣的結論. 這種情況，常常讓學生百思不得其解，覺得自己的思路并沒有問題，結論卻不一樣，那么問題到底出在哪兒呢？

案例2 “不等式”的教學

問題：已知實數a，b，c，d中，a2+b2=1，且c2+d2=9，求證：ac+bd≤3.

學生經過自主分析與嘗試，有的運用教材所介紹的分析法、比較法與綜合法來解決本題，有的提出了其他新的解題方法，于是筆者鼓勵學生將自己的解題方法分享給大家，其中有學生就展示了他的綜合法：

因為ac≤（a2+c2），bd≤（b2+d2），所以ac+bd≤（a2+c2）+（b2+d2）=5.

此方法所獲得的結論與求證的結論不一致，到底是哪個環節出了問題呢？正當大家百思不得其解時，筆者瞅準時機，提出：若要讓ac≤（a2+c2）與bd≤（b2+d2）的等號成立，需要具備怎樣的條件？

學生瞬間恍然大悟，如果a，c相等，同時b，d相等，就存在a2+b2=c2+d2，這與題設條件是矛盾的，也就是說ac≤（a2+c2）與bd≤（b2+d2）的等號不可能同時成立，因此ac+bd不可能取最大值5.

在學生思維有所突破后，筆者因勢利導，提出：剛才有同學提到用三角函數、向量等知識來證明，現在請大家試一試. 學生的探究熱情被點燃了，經過一番討論與交流，學生用向量、三角函數等知識進行了證明，具體如下.

方法1：設x=（a，b），y=（c，d），則x==1，y==3，所以x·y=ac+bd. 又x·y≤xy，所以ac+bd≤3.

方法2：根據a2+b2=1與c2+d2=9這兩個條件，將點（a，b），（c，d）視為兩個圓上的動點，因此可設a=cosα，b=sinα，c=3cosβ，d=3sinβ，則ac+bd=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos（α－β）. 因為cos（α－β）≤1，所以ac+bd≤3.

在學生出現錯誤后，筆者并沒有直接呈現正確答案，而是遵循學生的認知發展特征，因勢利導地提出引導式問題，鼓勵學生互動與交流，深化學生對不等式適用條件的理解與應用. 這樣不僅加強了學生對知識間聯系的認識，還有效拓寬了學生的視野，培養了學生的數學思維，為提高學生的解題能力奠定了基礎.

引導于節外生枝處

不論教師如何精心設計，教學過程中都有可能出現預設外的問題. 面對這些突如其來的情況，作為教師應耐心聆聽學生的想法，通過睿智的引導，讓課堂在節外生枝處綻放出獨有的光彩［2］.

案例3 “均值不等式”的復習

按照原本預設，筆者準備從一個生活實際中的最值問題出發，復習“均值不等式”. 但與學生探討均值不等式的使用條件和結論時，一位學生在不等式的結構特征與原有認知建立聯系的過程中提道：“均值不等式的應用，要求a，b均為正數，可見a，b，a+b，a·b都有一定的幾何意義，貌似與圓中的線段有所聯系？”

這是出乎筆者意料的問題，也是筆者從未想過的問題. 若筆者為了減少麻煩，將此問題布置到學生課后思考，也未嘗不可，同時也不會影響原本預設的教學進程，但考慮到學生難得主動提出自己的想法，如果就這樣簡單打發了，學生以后還愿意提出問題嗎？思于此，筆者決定順著學生的思維往下探討.

師：這個想法有創意，那么這個圓該怎么構造呢？

學生合作交流后提出：如圖1所示，讓AP=a，BP=b，以a+b為直徑作一個圓，圓心為O. 過該圓上的點E作弦EF與AB垂直于P，根據相交弦定理可得a·b=AP·BP=PE·PF≤CO·OD==.

此過程既體現出了均值不等式的幾何意義，又凸顯出了一種新的證明均值不等式的方法（相交弦定理）. 筆者準備就此將學生的思路引回原計劃的教學中來時，誰知一位學生提道：“教材中對于均值不等式只提到當a=b時取等號，如果a與b不相等時，a+b和2有多大差距呢？是不是可以從圖1中獲得結論？”問題提出后，還未等筆者開口，另一位學生就說道：“其實圖1中存在‘a+b為一個定值’的隱含條件. ”

看到學生探究氛圍如此濃厚，筆者當即決定放棄原計劃的教學，與學生一起繼續討論本題. 從線段的運動來看，EF由點B到點O，如果是一個定值，那么的值則在不斷地發生變化（由0增加到）. 在本節課結束時，筆者在原計劃的基礎上，特別添加了兩項課后作業：①用思維導圖的方式，畫出本節課的知識結構；②將例題進行變式，作為課后作業.

本節課中，學生提出的問題不僅豐富，而且具有探索價值，所以筆者拋開了原計劃，順應學生的思路，與學生一起深入探索問題的本質. 這不僅體現著教師的教學水平，更重要的是拉近了師生的心靈距離，學生更加愿意表達自己的見解，從而實現教學相長.

面對課堂中的節外生枝，教師應耐心傾聽，根據學生所提問題的價值性，來冷靜判斷接下來的教學方式. 若是值得探究的問題，教師則可順應學生的思路，通過適當引導，啟發學生思維；若是沒有探究價值的問題，也應在肯定學生勇于表達與思考的基礎上，不著痕跡地將學生引回原有的教學計劃中來.

引導于思維膚淺處

課堂教學是一門技藝，體現的是教師的智慧與思想，更是一種藝術的表現［3］. 從教育的本質來說，教學的重點并不是知識傳授，而是激勵、喚醒與鼓舞. 當學生的思維處于一種膚淺的狀態，且無法突圍時，教師可順著學生的思維牽一牽，適當的引導能激發學生產生主動探索的行為，尤其是啟發式問題的引導，能放飛學生的思想，激發學生的想象，讓學生的思考趨于深刻，思維逐漸成熟.

問之不切，則聽之不專，因而取之不固. 有些問題看似淺顯，卻常受到學生的忽略，導致理解上出現了膚淺的狀態. 面對這種情況，教師可適當地加大引導層次，尤其是在學生思維的淺顯處注重引導，以激發學生的思維與想象，讓學生的思維層層遞進，達到深入理解的目的.

案例4 “導數概念（平均速度與瞬時速度）”的教學

師：已知一位運動員跑完100 m需要12秒，那么他在撞線時的速度是多少呢？

生（議論）：運動員跑步應該不是勻速的，不知道他的加速度是多少呀！

師：確實，起跑時加速度很大，中間一段路程基本為勻速，到沖刺階段又存在加速的情況，所以整個跑步過程不是勻速前進的.

此時，學生的思維處于僵持的狀態，無法進一步探討這個問題. 教師在此刻進行引導，可幫助學生實現思維的突破.

師：我們都知道用路程除以時間獲得速度，那我們能否找到一種與之相似的方法來描述撞線時的速度呢？

生4：能否用最后一秒的路程除以時間來求速度呢？

（這個想法得到很多學生的認可）

師：如果該運動員在第12秒跑了10 m，也就是說第12秒的平均速度為10 m/s，我們就用10 m/s這個近似值來描述該運動員撞線時的速度. 若最后0.5秒跑了5.5 m，則他沖刺終點的平均速度為11 m/s，也就是說他撞線時的速度為11 m/s. 現在請大家思考一下，我們應怎么描述短時間內的平均速度，才會顯得更加精準呢？

生5：這么來看的話，就是時間取得越短，所獲得的速度越精確.

生6：也就是說時間越小，越接近于0，所獲得的平均速度與瞬間速度越接近.

師：有道理，那么平均速度和瞬時速度是一樣的嗎？

生7：不一樣.

……

教材上所呈現的內容都是人類長期實踐與編者精心思考后的精華，每個概念都經歷了千錘百煉才形成，學生在初次接觸時，難免會出現理解不深刻的情況. 作為教師，應立足學生的認知水平，有層次地進行引導，以揭示概念、法則或定理等的形成過程與本質，幫助學生從根本上理解并接受數學知識. 本次教學中，學生在教師的引導下，親歷了知識“再發現”與“再創造”的過程，自主揭露了平均速度與瞬時速度的本質，使學生在知其然且知其所以然中發展思維，建構新知.

總之，課堂引導不僅體現著教師的專業素養與應變能力，還體現著教學智慧與藝術. 作為教師，要有能力應對課堂的多變化，不斷提升自己的專業水平與教育智慧，把握好引導時機，成為新課改的推進者，以及學生思維的引領者和促進者.

參考文獻：

［1］ 李鵬，傅贏芳. 論數學課堂提問的誤區與對策［J］. 數學教育學報，2013，22（04）：97-100.

［2］ 史寧中. 數學基本思想18講［M］. 北京：北京師范大學出版社，2016.

［3］ 邵光華，章建躍. 數學概念的分類、特征及其教學探討［J］. 課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.