初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象的理解與實踐

陳金生

［摘? 要］ 教師要想讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，就必須對數(shù)學抽象這一概念形成正確的理論理解，并對實踐的正確途徑做出探究. 教師進行數(shù)學抽象的教學，要立足于學生的經(jīng)驗和認知特點，要讓學生經(jīng)歷一個相對豐滿的數(shù)學抽象過程，這樣才能讓學生在建構(gòu)數(shù)學知識的過程中形成數(shù)學眼光，并且將數(shù)學眼光進一步應(yīng)用于后續(xù)的數(shù)學知識學習中. 數(shù)學抽象有兩個端點：前一個端點是學生所能感知的現(xiàn)實世界，后一個端點是數(shù)學語言所描述的現(xiàn)實世界. 如果兩個端點以及中間的過程是科學的，那么數(shù)學抽象對于學生來說便是一種豐富的體驗，能夠讓學生在學習的過程中充分參與，進而獲得數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學；數(shù)學抽象；理解；實踐

在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）發(fā)布之前，初中數(shù)學教師在理解數(shù)學學科核心素養(yǎng)的時候，借鑒的是高中階段的相關(guān)表述，其中提及數(shù)學學科核心素養(yǎng)組成要素的時候，明確第一要素就是數(shù)學抽象. 在新課標頒布之后，可以發(fā)現(xiàn)其中并沒有數(shù)學抽象這樣的明確提法，只是強調(diào)要用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界. 實際上，用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，指的就是數(shù)學抽象，只不過這種說法對初中學生而言，有著更多的失去性. 站在數(shù)學的角度看數(shù)學抽象，可以認為數(shù)學抽象是從空間形式與數(shù)量關(guān)系中得到數(shù)學研究對象的思維過程. 這樣一個過程，即使在核心素養(yǎng)沒有明確提出之前，在初中數(shù)學教學當中就已經(jīng)有著充分的體現(xiàn). 而在明確了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素之后，數(shù)學抽象有了更加獨立的地位，當然也有了更加重要的地位. 教師要想讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，就必須借助數(shù)學抽象這一概念來形成正確的理論理解，以及付諸實踐.

初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象的理解

初中數(shù)學教師都知道數(shù)學是研究數(shù)與形的學科，在這一表述當中，數(shù)與形是兩個抽象的概念. 也就是說數(shù)學的研究對象并不是現(xiàn)實世界中的實際物體，而是在對現(xiàn)實世界中的實際物體進行抽象之后，所獲得的與數(shù)或形相關(guān)的對象. 對數(shù)學研究者以及數(shù)學教師而言，日常的工作中對數(shù)與形已有了充分的加工，這種由先天釋放機制形成的熟悉感，容易讓教師忽視學生在學習數(shù)學時可能遇到的陌生感. 眾所周知，初中階段學生的思維特點在于形象思維與抽象思維并重，且正由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化［1］. 這個轉(zhuǎn)化過程中學生會遇到諸多困難，很多時候?qū)W生難以自主解決這些困難，這就造成了數(shù)學學習的諸多挑戰(zhàn)——通過研究可以發(fā)現(xiàn)很多挑戰(zhàn)都出現(xiàn)在數(shù)學抽象的過程中，但是如果教師忽視了數(shù)學抽象的復雜性及其對學生學習產(chǎn)生的障礙，教師的教與學生的學之間就會出現(xiàn)脫節(jié). 因此，一個稱職的初中數(shù)學教師一定會高度重視數(shù)學抽象過程的教學，而其前提就是對數(shù)學抽象必須有正確的理解.

這里所說的數(shù)學抽象理解，應(yīng)當是站在學生角度的理解. 以“全等形”“全等三角形”相關(guān)知識的學習為例，雖然學生在生活中肯定會有“兩個物體一模一樣”的經(jīng)驗性認識（當然這里要防止哲學意義上的“世界上沒有一模一樣的物體”的判斷干擾，關(guān)于這一話題，這里不再贅述），但是他們在生活當中也很難用數(shù)學的眼光去看待這些問題. 那么“全等形”這一知識的教學，實際上就是引導學生用數(shù)學的眼光去看生活中“一模一樣的物體”. 從“一模一樣的物體”到“全等形”之間的距離的判斷，是“全等形”教學中完成數(shù)學抽象的關(guān)鍵.

換句話說，只有站在學生的角度去思考“如果面前出現(xiàn)兩個一模一樣的物體，如何建立‘全等形概念呢”這一問題，尤其是重視學生在思考這一問題時可能會有哪些具體的想法，才能將學生的思維去逐步抽絲剝繭，并最終讓其獲得數(shù)學意義上的“全等形”概念. 這樣的教學思路相對于傳統(tǒng)的教學思路或某些版本的教材編寫而言，更貼近學生的學習實際，更有助于將學生的學習出發(fā)點錨定在生活上，將學生的學習落腳點錨定在數(shù)學上. 有些教材是直接給學生兩幅相同的圖片，然后告訴他們“像這樣能夠完全重合的兩個圖形叫做‘全等形”. 如果教師按照這種思路去教學，實際上學生所經(jīng)歷的只是一個被動獲得知識的過程，并不利于對數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

所以綜合來看，關(guān)于數(shù)學抽象的教學，要立足于學生的經(jīng)驗和認知特點，要讓學生經(jīng)歷一個相對完整的數(shù)學抽象過程，這樣才能讓學生在建構(gòu)數(shù)學知識的過程中形成數(shù)學思維，并且將數(shù)學思維進一步應(yīng)用于后續(xù)的數(shù)學知識學習中.

初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象的實踐

實際上數(shù)學抽象有兩個端點：前一個端點是學生所能感知的現(xiàn)實世界，后一個端點是數(shù)學語言所描述的現(xiàn)實世界. 要讓學生的數(shù)學抽象過程更完整，很大程度上取決于教師的教學思路以及實踐途徑. 有研究者認為，初中數(shù)學抽象的培養(yǎng)關(guān)鍵點包括：情境創(chuàng)設(shè)，即從生活情境走向數(shù)學情境；深度學習，即從循環(huán)類比走向結(jié)構(gòu)生成；實踐體驗，即從系統(tǒng)關(guān)聯(lián)走向綜合解決［2］. 這樣的判斷明確指出了數(shù)學抽象的出發(fā)點與落腳點，而且強調(diào)了數(shù)學抽象應(yīng)有的思維過程，事實證明，如果兩個端點以及中間的過程是科學的，那么數(shù)學抽象對于學生來說便是一個良好的體驗，能夠讓學生在學習的過程中充分參與，進而獲得數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

以上面所說的“全等形”概念教學為例. 將教學的出發(fā)點從課本上給出的兩個相同的平面圖形，前移到學生生活中兩個相同的物體，這樣做最大的好處就是學生的認知出發(fā)點為自身的生活經(jīng)驗. 教學的時候，教師可以直接讓學生舉出相關(guān)的例子. 在學生舉出相關(guān)例子之后，教師可以反問一個問題：你如何判斷這兩個物體是一模一樣的？提出這個問題的目的，不在于讓學生說出統(tǒng)一的答案，而在于驅(qū)動學生對自己所舉的例子進行深度思考，同時也可以為數(shù)學抽象的培養(yǎng)打下基礎(chǔ). 學生在思考的時候，思維必然會加工自己所舉例子中的那些物體，這個時候?qū)W生很容易形成“對應(yīng)”和“相同、一樣”等認識，連起來說就是“兩個一模一樣的物體對應(yīng)的部位是相同的”——這是學生在學習過程中所進行的描述. 這一描述中的“相同”在教師的意料之內(nèi)，而“對應(yīng)”則在教師的意料之外. 要知道在后續(xù)證明三角形全等的時候，特別強調(diào)的一點就是“對應(yīng)”，事實上也通常是在這個時候，教師才會強調(diào)“對應(yīng)”的重要性. 但是通過以上的教學設(shè)計與實施可以發(fā)現(xiàn)，當學生有充分的數(shù)學抽象空間的時候，“全等形”所強調(diào)的“對應(yīng)”可以提前出現(xiàn)，這很顯然非常有助于學生后續(xù)學習全等三角形性質(zhì)及判定知識.

其后，教師可以引導學生進一步進行簡化，將學生所舉例子中的立體圖形分成一類、平面圖形分成另一類. 學生很容易發(fā)現(xiàn)，如果研究對象是平面圖形，學習起來相對簡單. 于是學生就會遵循由易到難的原則去學習——這種原則認識對于學生學習品質(zhì)的提升來說也是有意義的. 由于前面已經(jīng)有了相對深度的學習過程，因此當學生的觀察對象變成兩個一模一樣的平面圖形時，他們會有輕車熟路之感，讓他們總結(jié)這些圖形的規(guī)律，很多學生也會想到“重合”這個關(guān)鍵詞. 這時，只要教師稍加點撥，“完全重合”就會成為學生能夠自然接受的認識.

初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象的反思

通過上面的例子可以得出的一個基本結(jié)論：初中數(shù)學教學中的數(shù)學抽象教學，目的在于發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，在于培養(yǎng)學生的數(shù)學眼光.

數(shù)學眼光顯然不是天然形成的，只有經(jīng)歷了相對系統(tǒng)的數(shù)學抽象訓練，讓學生養(yǎng)成看待現(xiàn)實世界中的相關(guān)事物時帶著數(shù)學的意識，然后借助自己所學過的數(shù)學知識去加工這些實際物體，那么學生在現(xiàn)實世界當中，才有可能從數(shù)學的角度去對這些實際事物進行思考與判斷.

從這個角度來看，數(shù)學眼光的培養(yǎng)是初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的通俗表達. 教師一定要站在學生的角度洞察學生的認知基礎(chǔ)及生活經(jīng)驗，知道怎樣借助學生經(jīng)驗系統(tǒng)中的素材來創(chuàng)設(shè)情境，知道怎樣基于學生的認知特點去設(shè)計問題，以讓學生經(jīng)歷一個完整的數(shù)學抽象過程. 大量的教學實踐經(jīng)驗表明，當學生經(jīng)歷了這些過程之后，數(shù)學眼光就會慢慢被培養(yǎng). 學生在現(xiàn)實世界中遇到相關(guān)問題的時候，就會自然而然地從數(shù)學的角度給出或多或少的解釋與判斷，這也就意味著數(shù)學抽象的種子已經(jīng)種下，并且處于生長的狀態(tài). 如此長期堅持，數(shù)學抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成目標就會真正實現(xiàn).

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，教師在初中數(shù)學教學中落實數(shù)學抽象素養(yǎng)，需要基于學生視角的正確理解. 如果能夠做到這一點，那么數(shù)學抽象素養(yǎng)的落地，以及通過數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)帶動其他數(shù)學學科核心素養(yǎng)組成要素的落地，就會在課堂上成為現(xiàn)實.

參考文獻：

［1］ 張本陸. 談初中數(shù)學教學中如何培養(yǎng)學生的抽象思維能力：以“變量與函數(shù)”的教學為例［J］. 數(shù)學教學通訊，2014（01）：9-10.

［2］ 吳小兵. 初中數(shù)學抽象的要義與培養(yǎng)關(guān)鍵點［J］. 教學與管理，2021（07）：39-41.