拓展·關聯·貫理·悟道

付國璽 李海龍

［摘 要］融入大單元教學理念，借助教材習題進行拓展訓練，能夠有效幫助學生全面把握教材內容，掌握解題思路和方法，追尋數學本質，提升學生的數學綜合能力。

［關鍵詞］初中數學；習題；拓展

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0001-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，設計體現結構化特征的課程內容。這是當前教育背景下提高學生核心素養的應然要求。大單元教學基于數學邏輯，對數學內容進行整合，以點帶面，凸顯數學結構化特征，滲透數學教與學思維。“整體”“結構”在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中頻繁出現，且大部分指向課程內容，足見課標明確指向性。

筆者在進行中考復習課教學時發現，一道課本習題可以進行拓展延伸，串聯許多數學相關知識，在復習過程中起到整體統攝作用，可以充分展示數學的整體性和結構化。把教材原題作為基礎題，在原題基礎上再次建構，可以對初中數學知識（數學內容、數學方法、數學思想）進行橫向歸納，使之關聯化、條理化、結構化和整體化，幫助學生建立知識體系，形成知識鏈條，生成問題鏈，是構建素養課堂，促進學生深度學習的有效途徑。現整理成文，與同行分享。

一、原題呈現

（人教版九年級上冊第41頁第8題）如圖，在[△ABC]中，[∠B=90°]，[AB=12 mm]，[BC=24 mm]。動點[P]從點[A]開始沿邊[AB]向點[B]以2 mm/s的速度移動，動點[Q]從點[B]開始沿邊[BC]向點[C]以[4 mm/s]的速度移動。如果[P]、[Q]兩點分別從[A]、[B]兩點同時出發，那么[△PBQ]的面積[S]隨出發時間[t]如何變化？寫出[S]關于[t]的函數解析式及[t]的取值范圍。

本題是在學完二次函數的圖象和性質后設計的一道動點問題練習題，考查二次函數的解析式及其自變量的取值范圍的求法，需先列出[PB]、[BQ]關于[t]的代數式，再通過三角形面積公式表示出[S]與[t]的二次函數關系式，根據實際問題的意義求出[t]的取值范圍。

解：[△PBQ]的面積[S]關于[t]的函數解析式為：

[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

根據題意可知[0≤4t≤24]，解得[0≤t≤6]，

所以[t]的取值范圍是[0≤t≤6]。

說明：按照學習進度，學生已掌握了三角形的面積公式及線段的表示方法，再結合實際問題，就能夠輕松解決本題。

二、拓展變形

在進行初中數學綜合復習時，教師在原有條件不變的基礎上，引導學生發現問題、提出問題，通過變式探究，從“同源不同形”的變式中探索本質規律，從而達到對所學知識融會貫通，發散學生思維，提升學生的核心素養。教師設計出有價值的、開放性的探究問題：請觀看老師制作的幾何畫板，觀察[P]、[Q]兩點的運動過程中有哪些幾何圖形。如果設[P]點的運動時間為[t]，你能類比課本中的問題提出數學問題嗎？

學生對教師提出的問題產生了興趣，開動腦筋，先自主編題，再小組內交流，論證問題的正確性，達成共識，最后全班分享，學生將問題及解答思路一一呈現在展板上。這體現了華羅庚教授提出的“生書熟講，熟書生溫，有時分講合溫，有時合講分溫”的教育理念。下面筆者對學生提出的問題進行整理。

問題1：若設[△PBQ]的面積為[S]，出發時間為[t]，當[t]為何值時，[S]最大？并求出最大值。

解：∵出發時間為[t]，點[P]的速度為2 mm/s，點[Q]的速度為4 mm/s，

∴[PB=12-2t]，[BQ=4t]，

∴[S=12PB·BQ=12×（12-2t）×4t=-4t2+24t]，

對于[S=-4t2+24t]，通過公式法或配方法求出當[t=3]時，[S]的最大值為36 mm2。

此題學生很容易在原題的基礎上列出二次函數的關系式而后求得二次函數的最大值，可以通過公式法或配方法求得結果，還可以通過求出[t=-b2a]的值，代入原解析式求得最大值。

問題2：經過幾秒，[△PBQ]的面積為32 mm2？

解：設經過[t]秒，[△PBQ]的面積為32 mm2，

列方程為[12×（12-2t）×4t=32]，

解得[t1=2]，[t2=4]（經檢驗，兩個答案都符合題意），

所以經過2秒或4秒，[△PBQ]的面積為32 mm2。

此題是從函數角度賦予確定的函數值，將動點問題與一元二次方程實際問題結合在一起，既考查了實際問題的解答，又考查了一元二次方程的解法，同時體現了從一般到特殊的數學思想。

問題3：幾秒時，[PQ]的長度等于12 mm？

解：設[t]秒時，[PQ]的長度等于12 mm，

列方程為[（12-2t）2+（4t）2=122]，

解得[t1=0]，[t2=2.4]（經檢驗，兩個答案都符合題意），

所以0秒或2.4秒時，[PQ]的長度等于12 mm。

此題是將動點問題與直角三角形的勾股定理結合在一起，考查了勾股定理及一元二次方程的解法。

問題4：當[t]為何值時，[△PBQ]為等腰三角形？

解：設經過[t]秒，[△PBQ]為等腰三角形，則[PB=BQ]，即[12-2t=4t]，[t=2]，

所以當[t=2]時，[△PBQ]為等腰三角形。

此題是將動點問題與等腰三角形結合在一起，考查了等腰三角形的性質和一元一次方程的解法。

問題5：當[t]為何值時，[△PBQ]為含30°的直角三角形？

解：設經過[t]秒，[△PBQ]為含30°的直角三角形，

當[∠BPQ]為30°時，[PB=3BQ]，即[12-2t=3×4t]，解得[t=123-611]，

當[∠BQP]為30°時，[BQ=3PB]，即[3（12-2t）=4t]，解得[t=123-18]，

所以當[t]的值為[123-611]或[123-18]時，[△PBQ]為含30°的直角三角形。

此題是將動點問題與含30°的直角三角形結合在一起，考查了含30°的直角三角形的性質及一元一次方程的解法、二次根式的化簡等知識點，同時體現了分類討論思想。

問題6：當運動時間為幾秒時，[tan∠PQB=12]？

解：根據正切定義可得[tan∠PQB=對邊鄰邊=12-2t4t=12]，解得[t=3]，

所以當運動時間為3秒時，[tan∠PQB=12]。

此題融入銳角三角函數的知識，解答時可復習初中所學的三個常見銳角三角函數的定義，從而解決問題。

問題7：當[t]為何值時，[PQ]∥[AC] ？

解：當[PQ]∥[AC]時，[PBAB=BQBC]，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，所以當[t=3]時，[PQ]∥[AC]。

此題通過平行線分線段成比例定理得出四條線段成比例，再列比例方程，從而求出結果。

問題8：當[t]為何值時，以[P]、[B]、[Q]為頂點的三角形與[△ABC]相似？

解：當[△PBQ ]∽[△ABC]時，[12-2t12=4t24]，解得[t=3]，

當[△PBQ ]∽[△CBA]時，[12-2t24=4t12]，解得[t=1.2]，

所以當[t=3]或1.2時，以[P]、[B]、[Q]為頂點的三角形與[△ABC]相似。

通過此題將相似三角形的判定方法與動點問題結合起來，同時體現了分類討論思想。

問題9：當[t]為何值時，四邊形[APQC]為梯形？

解答此題時只要滿足[PQ]∥[AC]即可，解答過程同問題7一致。雖然解法相同，但學生提出問題的角度不同，教師應給予肯定和表揚。

三、總結反思

教師對教材中的幾何動點問題進行拓展延伸，引導學生提出開放性問題，并進行交流、解答、分享。在解決問題的過程中運用了一元一次方程、一元二次方程、圖形面積、等腰三角形、含30°的直角三角形、勾股定理、二次函數、銳角三角函數、平行線分線段成比例定理、相似三角形等知識。對于幾何動點問題，按照從線（位置、數量）到面（面積、形狀、關系）的順序進行了全面的研究，同時體現了“從一般到特殊”的思想、函數思想、方程思想、數形結合思想等數學思想，對學生思維能力和解題能力的提高起到重要作用。通過精選習題、開放設計、變式訓練的方式進行教學，能融通數學知識，打通思維關卡，激發學生的探究興趣，拓寬學生思維，培養學生的解題能力。

（一）關注聯系，培養發散思維

本文以一道課本習題引發學生“九問”，源于筆者對當下課程、課標、課堂變革的一些思考。“要給學生一杯水，教師不僅要有一桶水，還要有長流水。”只有教師認識有高度，設計問題才會有梯度、有深度，學生在探究問題時才會目標明確、有章可循、有形可依、有法可鑒、有路可探，才能不斷積累新的經驗，不斷有新的發現，不斷產生探究欲。教師應關注知識之間的聯系，引導學生深度思考，從而培養學生的發散思維。

（二）挖掘典例，轉變傳統理念

新課改對教師的專業素養提出了更高的要求。教師不僅要弄通弄透本學段的知識，還要疏通“小、初、高”三段關卡，縱向貫通，既要學會在面上“撒種”，又要學會在點上“打井”。教師要充分挖掘教材典例，并依據其進行有效的教學設計。教師應設計具有開放性、啟發性的探究問題，引導學生發現問題和提出問題，使學生敢于表達自己的見解，幫助學生形成穩固、完善的認知結構，改變過去重知識強化、重解題技巧訓練的做法，培養學生發現問題、提出問題的習慣和意識，提升學生的核心素養。

（三）問題生成，優化認知結構

本節復習課，筆者從一道課本習題出發，本著“溫故而知新”的原則，沒有設計平行或同層次的習題，而是立足數學邏輯，關注核心素養，讓學生在解答問題的過程中逐步形成結構化思維，提高重構知識的能力和質疑的能力。

（四）多措并舉，培養思辨能力

“問題解決是一個發現過程、探索過程、創新過程。”上述課本習題是在學完二次函數的圖象和性質后設計的一道動點問題練習題，主要考查二次函數的解析式及其自變量的取值范圍的求法，在復習課中其強度和難度都不夠。筆者通過改編設計，對本題中的幾何動點問題進行拓展延伸，啟發學生結合所學知識自己提出問題，并基于他們提出的問題進行有效整合，逐步導出富有思考價值的問題。

總之，本節課打破常規的復習教學模式，不是就題論題，也不是蜻蜓點水，而是積極落實大概念視域下“問題引領，整體建構”的教學思想，以探究問題為學生思維成長的基石，依托問題變式，引導學生學會用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界，從而培養他們的思辨能力，使他們在探究過程中建構知識網絡，感悟數學思想，積累數學研究經驗，體驗數學學習的成功和快樂。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 蔡妙通.淺析“一題多變”在初中數學課中的應用［J］.數學學習與研究，2018（10）：133.

［2］? 劉通.初中數學習題的再加工［J］.數學教學通訊，2015（25）：59-60.

［3］? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯 黃桂堅）