思維導圖在高三數(shù)學復習教學中的應用與思考

［摘? 要］ 將思維導圖應用在高三數(shù)學復習教學中，能讓知識變得更具層次性、邏輯性與整體性. 文章從“基礎知識梳理，建構(gòu)知識網(wǎng)絡”“解題思路梳理，形成解法體系”“輔助變式訓練，優(yōu)化問題串鏈”三方面例談思維導圖的實際應用，并從“注重‘以生為本”“難度循序漸進”“過程因人制宜”“點評足履實地”四方面談一些思考.

［關鍵詞］ 思維導圖；復習教學；變式

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱“新課標”）提出：數(shù)學課堂上，教師應盡可能地利用一切教學手段激發(fā)學生的學習興趣，充分調(diào)動學生學習的積極性，以啟發(fā)學生的思維，促進創(chuàng)造性意識的形成. 常規(guī)按部就班的復習教學模式，常因缺乏提煉與總結(jié)，使得學生對知識的認識處于點線狀，難以讓學生真正意義上建構(gòu)完整的認知結(jié)構(gòu). 而思維導圖的應用則讓課堂顯得更具層次性、邏輯性與整體性.

思維導圖的應用

思維導圖是東尼·博贊根據(jù)人類大腦工作原理而創(chuàng)造出來的一種能有效啟發(fā)人類思維、鍛煉人類智力的思維工具. 它作為具有統(tǒng)籌功能的思維工具，不僅能激發(fā)學生思維的深刻性，還能可視化學生的學習思路與認知線路. 將思維導圖應用到高三復習教學中，能起到優(yōu)化學生的思維、激發(fā)學生的創(chuàng)新意識、提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)等作用.

1. 基礎知識梳理，建構(gòu)知識網(wǎng)絡

高三復習，不再是幫助學生尋找、鞏固各個章節(jié)現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)，而是帶領學生自主總結(jié)、梳理之前接觸過的知識、技能、規(guī)律與解題技巧等，鼓勵學生在自己原有認知結(jié)構(gòu)的基礎上，理解性地加工并構(gòu)建出具有個體色彩的知識結(jié)構(gòu)圖.

案例1 “立體幾何”的復習.

立體幾何涉及的知識面廣、量大且雜. 在復習時，教師可引導學生以空間幾何體作為核心知識，從簡單幾何體與點、線、面的位置關系兩個角度進行分類. 其中，點、線、面的位置關系存在垂直與平行兩個模塊；簡單幾何體存在分類、畫法、表面積與體積三個模塊. 只要引導學生在大腦中建構(gòu)出這個“知識樹”的主干，那么立體幾何的思維導圖就基本形成.

學生在整理知識時，可將各個知識納入該主干網(wǎng)絡，迅速檢索相匹配的知識線路，達到觸類旁通的境界. 這種知識梳理方式不僅能促進學生動手、動腦，還能讓學生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)與知識之間的聯(lián)系，最終建構(gòu)成清晰、完整的立體幾何概念網(wǎng)絡圖（見圖1）.

隨著立體幾何思維導圖的誕生，學生對零碎的知識有了一個系統(tǒng)完整的認識，在后續(xù)解題時就能用辯證的眼光去分析與處理. 由此可見，思維導圖具有梳理知識、完善體系的重要作用.

2. 解題思路梳理，形成解法體系

例題教學在高三復習中占有重要地位，它能有效幫助學生理解并應用所學知識進行解題，促進學生思維的發(fā)展. 講題、解題是高三復習教學亙古不變的主題. 正如愛因斯坦所認為的：若將結(jié)論直接呈現(xiàn)在學習者面前，則學習者無法體會探索與發(fā)現(xiàn)的樂趣，更無法感知數(shù)學思想方法的形成過程，難以清楚地理解實際情況.

鑒于此，在實際教學中，教師應注重結(jié)論與知識形成過程的關系，帶領學生借助思維導圖可視化的特點，充分理解知識建構(gòu)與問題解決的過程. 同時，將一些難以形容的虛擬信息轉(zhuǎn)化成清晰的導圖形式，為學生思考提供依據(jù)與方向，學生根據(jù)豐富可視的導圖展開分析、聯(lián)想，獲得解決問題的方案.

案例2 若△ABC是一個等腰三角形，已知AB=AC，線段BD為腰AC的中線，BD=3，則△ABC的最大面積是多少？

本題是一道經(jīng)典例題，題干簡潔明了，但涉及的知識點與數(shù)學思想?yún)s很豐富. 本題可以從“數(shù)”與“形”兩個角度進行分析解決，如從“形”的角度構(gòu)造阿波羅尼斯圓或直角三角形；從“數(shù)”的角度聯(lián)系二次函數(shù)、角表示邊以及基本不等式等知識.

解題方法很多，學生在實際應用時，難以從整體出發(fā)全面掌握并選取最優(yōu)解題方法. 若將每種解題方法羅列到一起，用思維導圖進行展示則清晰明了，各種解題方法的優(yōu)勢也一目了然.

3. 輔助變式訓練，優(yōu)化問題串鏈

高三復習內(nèi)容多、題量大，“題海戰(zhàn)術”百害而無一利，那么用什么樣的方法能讓最少的問題全面覆蓋學生的知識與技能呢？實踐發(fā)現(xiàn)，精選典型例題，通過問題串鏈的方式進行變式訓練是完善學生認知體系、提煉數(shù)學思想方法的基本載體.

摒棄“就題論題”的教學方式，對經(jīng)典例題進行適當?shù)囊辍⒆兓⑼诰虻龋茏畲笙薅鹊靥嵘恳粋€問題的教學價值與意義，實現(xiàn)知識的融會貫通. 最常見的是變式教學，它可將一些靜態(tài)問題延伸為動態(tài)內(nèi)容，但知識本質(zhì)與核心思想并不會因為問題的變化而發(fā)生改變. 一般情況下，復習課型會將變式教學滲透其中，讓學生萬變不離其宗提煉數(shù)學思想方法，感悟知識本質(zhì).

變式教學一般從小題熱身開始，通過經(jīng)典例題來拓展變式，學生的思維經(jīng)歷由淺入深的變化過程. 將思維導圖應用在變式過程中，不僅能幫助學生鏈接各個知識點，還能促使學生自主發(fā)現(xiàn)知識點間的聯(lián)系，形成相應的解題技巧，發(fā)展邏輯推理能力.

案例3 如圖2所示，若F是拋物線C：y2=4x的焦點，過點K（－1，0）的直線l和拋物線C：y2=4x相交于點A，B，點A關于x軸的對稱點恰好為D. 證明：點F必然是直線BD上的一點.

具體證明過程如下：

為幫助學生厘清本題條件與結(jié)論之間的關系，在解決本題的基礎上，進行適當?shù)囊龑c點撥，鼓勵學生將解析所獲得的條件與結(jié)論用思維導圖的方式整理出來（見圖3），并根據(jù)變式設計原理，從不同的條件與結(jié)論出發(fā)，為變式訓練的開展提供明確的設計思路.

（1）問題的變式.

變式1 條件“點A關于x軸的對稱點恰好為D”（第三條件）與結(jié)論互換.

已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點K（－1，0）的直線l與拋物線C相交于點A，B，點B，F(xiàn)的連線與拋物線C相交于點D. 證明：AD與x軸是垂直的關系.

變式2 條件“過點K（－1，0）的直線l與拋物線C相交于點A，B”（第二條件）與結(jié)論互換.

已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，直線l過點F，且與拋物線C相交于點B，D，過點D作x軸的垂線與拋物線C相交于點A. 證明：直線AB必過定點K（－1，0）.

（2）問題的推廣.

變式3 已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，，0的直線l與拋物線C相交于點A，B，點A關于x軸的對稱點恰好為D. 證明：點F，0是直線BD上的一點.

變式4 條件“點A關于x軸的對稱點恰好為D”（第三條件）和結(jié)論互換.

已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，，0的直線l與拋物線C相交于點A，B，若BF與拋物線相交于點D. 證明：AD與x軸為垂直的關系.

變式5 條件“過點K－，0的直線l與拋物線C相交于點A，B”（第二條件）與結(jié)論互換.

已知F是拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于點B，D，過點D作x軸的垂線與拋物線C相交于點A. 證明：直線AB必過定點K－，0.

變式6 更換焦點F為一般點（a，0）（a>0）.

已知過點K（－a，0）（a>0）的直線l與拋物線C：y2=2px（p>0）相交于點A，B，點A關于x軸的對稱點為D. 證明：點Q（a，0）必然位于直線BD上.

（3）問題的遷移.

變式7 將問題背景換為橢圓.

變式8 將問題背景換為雙曲線.

在思維導圖的幫助下，本題的變式拓展條理清晰，難度由淺入深，知識基本上全面覆蓋. 學生通過一道例題的研究，就能全面、深刻地理解這一類知識. 這種教學方式與新課標所倡導的“減負增效”“以生為本”等理念相契合.

幾點思考

1. 注重“以生為本”

新課標提出：教師應為學生提供充足的時間與空間，讓學生親歷觀察、實驗、猜想、驗證與推理等活動過程，充分感知學習是活潑、主動且富有個性的動態(tài)過程. 由此可見，讓學生動起來是教學的核心，但光“動”還不夠，教師還要制造一些機會給學生帶來心理、智力與認知上的挑戰(zhàn)，只有真正地“震撼”到學生的內(nèi)心，才能從真正意義上打造出“活而不亂”“動靜結(jié)合”的課堂.

將思維導圖應用到復習教學中，要注意不能急于求成，而要給予學生充足的時間與空間，讓學生自主探索、繪制、總結(jié)，若將思維導圖模式化，就會嚴重束縛學生的思維，無法將思維導圖的作用落到實處.

2. 難度循序漸進

復習課型一般具備容量大、時間緊等特點，思維導圖可幫助學生在短時間內(nèi)認識更多的知識，構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，因此將思維導圖應用到復習課堂上是不錯的選擇. 在實際應用時，教師應關注學生的基礎水平差異、接受能力差異等，在課程安排上應遵循循序漸進、由淺入深，難度呈階梯狀上升的原則，讓學生經(jīng)歷思維逐層遞進的過程，從而繪制出完整的思維導圖，并建構(gòu)完整的知識結(jié)構(gòu).

3. 過程因人制宜

新課標一再強調(diào)：要為學生營造獨立思考、自主探究、合作交流的學習環(huán)境，以增強學生的實踐與創(chuàng)造力. 在這種理念的驅(qū)使下，改變教師“一言堂”的現(xiàn)狀勢在必行. 在應用思維導圖進行教學時，教師可綜合了解學生的認知水平、家庭背景、興趣愛好、心理素質(zhì)與學習能力等，為建立“組間同質(zhì)，組內(nèi)異質(zhì)”的學習小組奠定基礎. 良好的合作小組能有效地將碎片化知識增構(gòu)建成結(jié)構(gòu)清晰的圖式，因人制宜的過程使得每一個學生都獲得發(fā)展的機會.

4. 點評腳踏實地

新課標強調(diào)：數(shù)學學習評價不僅要注重學生對基礎知識與技能的掌握，還要注重數(shù)學核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的情況；課程評價不僅要注重教學成效，還要注重學習過程. 在課堂中，師生圍繞思維導圖積極互動與交流，并對導圖內(nèi)容進行點評，點評方式多樣化，如生生互評、教師點評等. 點評時要注意引導學生耐心傾聽與思考，充分了解設計者的真實想法，從中獲得啟示. 當然，教師應多角度鼓勵與肯定學生的成果，以激發(fā)學生的學習信心.

總之，思維導圖作為一種脈絡清晰、指向明確的信息處理工具，能讓知識變得更具層次性、邏輯性與整體性，繪圖過程不僅能陶冶學生的情操，還能有效促進學生形成與發(fā)展獨立思考能力和數(shù)學學科核心素養(yǎng).

作者簡介：孫卿卿（1986—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.