數學教學要注意引導學生學會思維

王春瑜

【關鍵詞】小學數學；學會思維；操作感知；建構模型；發現規律；提升素養；《圖形的放大和縮小》

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2023）09-0080-04

南京大學鄭毓信教授指出：數學教學必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般性的思維策略與學生思維品質的提升，幫助學生通過數學學會思維，提升思維的綜合性與靈活性、自覺性與創造性、嚴謹性與深刻性等。蘇教版六下《圖形的放大和縮小》一課的教學重點是引導學生認識圖形的放大和縮小，能利用方格紙按一定的比把簡單圖形放大或縮小。這部分知識對學生來說難度并不大，那么，如何在教學中引導學生真正做到會學、活學、深學，從而有效促進他們學會思維呢？筆者通過實踐與研究發現，關注學習起點、挖掘知識本原、設置認知沖突、經歷探究過程是實現這一愿景的有效路徑。

一、操作感知，初探奧秘

師：同學們，我們用word編輯文檔時，常常要將插入的圖片放大或縮小，誰來給大家演示一下？（學生操作）

師：點擊圖片后，圖片邊線上一共顯示8個點，你為什么拖拉的是頂點？

生1：拖拉角上的頂點，長和寬會同時變大或變小，如果拖拉邊上的中點，就只有長變化，或者只有寬變化。

生2：拖拉頂點，圖片不變形，拖拉其他點，圖片會變形。

師：像這樣放大、縮小時形狀不變的情況，就是我們今天要研究的“圖形的放大和縮小”。要想圖形不變形，只要拖拉角上的頂點就可以。頂點為什么這么神奇呢？秘密就藏在圖片工具里。（出示“鎖定縱橫比”）你知道“鎖定縱橫比”是什么意思嗎？

生：縱是寬，橫是長，鎖定縱橫比就是寬和長的比不變。

師：是呀，放大或縮小圖片時，使圖片不變形的秘密就是“鎖定縱橫比”。

課始，教師將數學知識與信息技術有機整合，鮮活的素材、巧妙的方式有效激發了學生的好奇心，進而揭示放大或縮小圖片且使其不變形的奧秘是“鎖定縱橫比”，并以此為起點，從定性認識過渡到定量刻畫，為用“比”的方式描述圖形的放大和縮小做好準備。

二、追本溯源，建構模型

1.嘗試放大

師（出示一個長6、寬4的長方形）：這個長方形的縱橫比是多少？那長和寬怎樣變化才能鎖定2∶3這個縱橫比呢？在方格紙上嘗試畫出長方形放大或縮小后的樣子。

生1：我畫了一個長12、寬8的長方形，長和寬都擴大了2倍。

生2：我把長和寬都擴大3倍，畫了一個長18、寬12的長方形。

生3：我把長和寬都縮小2倍，畫了一個長3、寬2的長方形。

生4：我把長和寬都擴大1.5倍，畫了一個長9、寬6的長方形。

師：觀察這些放大或縮小的長方形，你有什么發現？

生：縱橫比都是2∶3，形狀相同。

師：如果方格紙足夠大，你能畫多少個這樣的長方形？

生：只要鎖定縱橫比，我們就可以畫出無數個大小不同、形狀相同的長方形。

在揭示圖形的放大或縮小的意義之前，緊扣“縱橫比不變”，放手讓學生直接畫出長方形放大和縮小后的圖形。學生在操作實踐、展示交流中積累了活動經驗，鍛煉了綜合思維，初步感悟到圖形放大和縮小的本質屬性：大小改變，形狀不變。

2.描述放大

（1）由形想比

師：老師從大家畫的長方形中選擇一個放大的長方形，這個長方形是把每條邊放大到原來的2倍得到的，仔細觀察原來的長方形與放大后的長方形，你能用一個比表示這個變化過程嗎？比的前項表示什么？后項呢？

生1：我想用2∶1表示，2表示放大后的長，1表示原來的長；2也表示放大后的寬，1也表示原來的寬。

生2：我也是用2∶1表示的，但2表示放大后的周長，1表示原來的周長。

生3：我用1∶2表示，1表示原來的寬，2表示放大后的寬。

生4：我用4∶1表示，4表示放大后的面積，1表示原來的面積。

生5：我用1∶4表示，1表示原來的面積，4表示放大后的面積。

（2）以比定形

師：同學們想到了用對應邊長度的比、周長的比、面積的比來表示圖形的變化，都有自己的道理，這些比都能說清楚長方形的這種變化嗎？我們先來討論面積比1∶4。（出示圖1）。

師：①②③號長方形的面積都是原來長方形的4倍，原來的長方形與它們面積的比都是1∶4，這些長方形都是原來長方形放大后的圖形嗎？

生1：不對，①②③號長方形和原來相比，全都變形了，它們沒能鎖定縱橫比。

生2：如果用面積比說明圖形的放大，得到的圖形有很多種情況，面積雖然都是原來的4倍，但形狀可能會發生變化，所以用面積比來說明圖形的放大不準確。

師：既然面積比不能準確描述圖形的放大，那周長比呢？剛才的研究有給你一些啟發嗎？

生1：原來的周長是20，放大后的周長是40，周長是40的長方形也不止一個，不一定長是12、寬是8。

生2：這樣看來，用周長比來說明長方形的放大也不準確，因為周長相等的長方形也有無數個，不一定就是我們要描述的長方形。

師（出示圖2）：是的，周長變成原來的2倍時，可能是長12、寬8的長方形，也可能是長16、寬4的長方形，當然還有其他可能，所以周長比也不能準確描述圖形的放大。

師：最后我們來討論邊長，放大后的長和原來的長是一組對應的邊長，放大后的寬和原來的寬也是一組對應的邊長，對應邊長的比能準確描述圖形的放大嗎？

生1：放大后長方形的長和原來長的比是2∶1，寬的比也是2∶1，長和寬都只有一種可能。

生2：放大后長方形的長是12、寬是8，長和寬固定了，長方形的大小和形狀就固定了。

師：看來，用對應邊長的比來描述圖形的放大具有唯一性，鎖定了對應邊長的比，也就鎖定了圖形的大小和形狀。

（3）揭示放大

師：放大和縮小都是與原來的圖形相比較，在描述放大和縮小時，數學上規定把變化后的長度作為前項，把原來的長度作為后項，這里放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是2∶1，也就是把原來的長方形按2∶1的比放大。

師（出示按3∶1的比放大的長方形）：現在的長方形是怎樣放大的？如果要把原來的長方形按4∶1的比放大，你打算怎么做呢？

用比來描述圖形的放大，邊長比、周長比、面積比，哪一種比更合理呢？教師從學生的學習起點出發，帶領他們經歷自主研究、討論辨析、發現規律、建模應用的過程，從“由形想比”到“以比定形”，發現用對應邊長的比描述圖形放大最合理，在對比沖突中還原知識形成的本來面貌，培養其思維的深刻性和創造性。

3.認識縮小

師：把原來長方形的每條邊都縮小到原來的二分之一，我們可以說是按幾比幾縮小呢？在小組內說一說。

師：觀察這些表示放大和縮小的比，你能從中看出圖形的變化嗎？

生1：前項比后項大就表示放大，前項比后項小就表示縮小。

生2：比值就是他們放大或縮小的倍數，比值比1大就是把原來的圖形放大，比值比1小就是把原來的圖形縮小。

師：如果是1∶1呢？

生：原來的圖形既不放大也不縮小。

師：我們之前學習的平移、旋轉、畫軸對稱圖形都是把原來的圖形按1∶1的比變化，圖形的形狀、大小都不變。（課件分別演示）今天學的放大和縮小，你能看出其中的變與不變嗎？

生：圖形的大小變了，但形狀不變。

在認識放大的基礎上放手讓學生說說縮小的含義，然后比較表示放大和縮小的比的特征，再用特殊比1∶1勾連“圖形的運動”領域知識間的內在聯系，升華了圖形放大和縮小的本質屬性，凸顯了六年級數學在小學數學體系中的統領作用，有助于培養學生思維的綜合性。

三、思維拓展，發現規律

師：學會了長方形的放大和縮小，你能按2∶1的比畫出直角三角形放大后的圖形嗎？（學生操作）你是怎樣畫的？

生：把兩條直角邊分別放大到原來的2倍。

師：直角邊放大到原來的2倍，斜邊也放大到原來的2倍嗎？可以怎樣驗證？

生：用尺量一量。

師：可以的，一起量一量。除了測量，還有其他驗證方法嗎？

生：原來的斜邊可以看作4×2長方形的對角線，現在的斜邊上可以找到兩個4×2的長方形，所以斜邊也放大到原來的2倍。（如圖3）

師：直角三角形的每條邊線都放大到原來的2倍，它內部的對應邊會怎樣變化？以斜邊中點到直角頂點的連線為例，你發現了什么？（出示圖4）

生1：這條連線也放大了2倍。

生2：三角形按2∶1的比放大，外面的邊線放大到原來的2倍，內部的對應邊也放大到原來的2倍。

師：圖形在放大或縮小時，看得見的、看不見的對應邊都在按同樣的比放大或縮小。

圖形放大或縮小時，是不是所有對應的邊長都同步變化呢？學生潛在的想法需要教師的設計才能呈現出來，教學直面學生的現實，既要面對能聽到的、看到的想法，還要面對他們頭腦中潛在的、尚未敞亮的想法。這里分兩個層次研究了直角三角形的斜邊和內部邊線的放大情況，有測量，有推理，學生思維的深刻性、嚴謹性不斷得到提升。

四、實踐運用，提升素養

師：你能用今天所學的知識解決下面的問題嗎？

如皋的文廟大成殿已有四百多年歷史，是國內罕見的全楠木結構，坐落于如皋師范學校附屬小學校園內。一群建筑愛好者打算制作一個大成殿模型。通過測量，大成殿主體建筑以及前面的回廊、月臺的總占地大約是一個邊長為30米的正方形。（1）在方格紙上畫出大成殿縮小后的平面圖。（每個小方格的邊長表示1米）我是按（ ）∶（ ）的比縮小的。（2）大成殿的高約12米，根據你的比制作出的大成殿模型高約（ ）米。

學以致用，是數學學習的本意；通過數學學會思維，是數學教學的目標。課尾設置開放題，綜合運用本節課所學的知識，自主確定合適的比畫出縮小后的圖形，有助于培養學生用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界的意識和能力。

（作者單位：江蘇省如皋市教師發展中心）