逆向思維在小學數學解題中的應用技巧

張海軍

【摘要】逆向思維是從問題的結果出發或從其他角度對問題進行轉化的一種思維方式，如逆用數學公式、反證法、轉化法，等等.逆向思維對于降低學生解題難度有著重要意義，研究其應用技巧可提高數學習題教學質量，提升學生解題能力.文章結合小學數學解題案例論述了逆向思維在解填空題、選擇題、運算題、應用題時的應用技巧，旨在提高學生的逆向思維能力，推動小學數學解題教學發展.

【關鍵詞】逆向思維；小學數學；解題教學；應用技巧

現階段的小學數學命題方式越來越新穎.對于一些問題，學生利用正向思維很難快速解決.對此，提升學生的思維靈活性，使其掌握應用逆向思維解決問題的方法，可幫助其攻克解題難點.逆向思維的應用類型有很多，只有“對癥下藥”，才能保證解題的快速性與準確性.為此，小學數學教師有必要研究逆向思維在解決小學數學不同類型問題中的應用技巧，并將其巧妙融入數學解題教學，為不斷豐富課程內涵，推進學生綜合發展做好準備.

一、逆向思維在填空題中的應用技巧

填空題是小學數學試卷上的必有題型，通常將要求的結果以橫線代替，要求學生根據題目給出的已知條件進行分析運算，并將正解寫在橫線上方.小學數學填空題的特征是題目信息少、跨度大、覆蓋面廣，往往以簡練的題目考查學生對數學概念、定理、公式等基礎知識及數學思想方法的掌握情況.學生在數學學習過程中，難免會遇到難以用常規思維解決的填空題.此情況下，教師應引導學生根據題目特征酌情選取反證法、逆用數學公式等逆向思維解題法，以此實現快速求解.比如，在人教版二年級上冊“表內乘法（一）”一課的習題教學中，有填空題如下：

解析 按照正向思維，學生應基于小勇媽媽給出的金額進行除法列式、減法列式，得到還剩下2元的結果.但是這樣的思維方式無法確定給出的金額到底是多少.這時，教師可引導學生應用逆向思維進行分析：小勇最后剩下2元錢，在買零食之前應剩下的錢應是2+4=6（元）.根據“小勇先用這些錢的一半買了玩具”，可以明確“6元”與小勇買玩具的金額相等，之后進行除法的逆運算：6×2=12（元），即可得到媽媽給的總錢數為12元.結合圖1所示內容進行逆推，可進一步提高解題效率：

解決難以利用正向思維推理數值的填空題時，教師可引導學生運用逆向思維，同時借助圖示、實物等多種工具將題目給出的抽象信息具象化，之后結合問題中的等量關系采取倒推法進行逆向運算，達到輕松求解的目的.

二、逆向思維在選擇題中的應用技巧

小學數學選擇題由題干與備選項兩部分構成.題干常以陳述句或疑問句的形式出現，通過呈現問題情境激發學生的解題興趣；備選項以數字、短語等形式出現，通常為與題干有著直接關系的備選答案.小學數學選擇題大多為單選題，備選項中只有一個正確答案，其他為干擾項.遇到難以通過正向思考解決的選擇題時，學生可運用逆向思維進行推理，或直接將題目給出的選項代入原題選定正確答案.比如，在人教版二年級下冊“表內除法（一）”一課的習題教學中，有選擇題如下：

例2 甲、乙兩名學生在玩猜數游戲.甲說：我心里想著一個數，給這個數加上9，再取和的一半應是5.乙猜想這個數是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 這一問題直接給出結果，要求學生逆推條件.按照常規思路分析問題顯然具有一定的難度，為此，教師可引導學生運用逆向思維，以結果為起點，逆向推理：甲心想的數加上9后和的一半是5，說明和為5×2=10，向前逆推，可明確這個數為10-9=1.也可換一個角度思考：這一問題給出了四個選項.先根據題目給出的數量關系列出算式，將甲心想的數用“□”代替，得到（□+9）÷2=5.將1，2，3，4四個數值分別代入原式，代入后等式仍然成立的數即為正確答案.

解決問題結果（或最后結論）是已知數據（或起始條件）這種類型的問題時，教師需要引導學生綜合考慮題目中的已知、未知數量關系，確定正向、逆向運算順序，再將所要求的數量用數學符號代替，列出正向算式，之后根據逆推的思路進行正向算式、逆向算式的互化，從而得到所求數的具體數值，之后將所得數值與題目給出的具體選項進行對照，即可輕松選出正確選項.除此之外，教師還可以引導學生將選擇題給出的備選答案反向代入原題當中，若代入后原題給出的數量關系仍然成立，說明代入數值正確，若不成立則說明代入數值并不是正確答案.

三、逆向思維在計算題中的應用技巧

計算題是以算理、算法為核心考點的問題，包括加、減、乘、除及混合運算等類型.常規的計算題可直接套用計算公式進行求解，但一些簡便運算問題、數字填空問題需要運用逆向思維將其轉化.

（一）解簡便運算題

簡便運算題以加（乘）法交換律、結合律，乘法分配律，除法的性質為主要考點，要求學生將復雜算式化簡求值，且該過程應盡量避免使用筆算的方法.一些運算題并不以a+b=b+a，a×（b+c）=a×b+a×c等常規形式出現，學生需要運用逆向思維對算式中的量進行轉化.比如，在人教版四年級下冊“運算定律”一課的習題教學中，下列簡便運算問題便需要學生應用逆向思維求解.

例3 化簡求值.

（1）36×111+888×8；（2）999×78.

解析 針對第（1）題，按照正向思維應對原式采取豎式計算方法，不符合簡便運算要求.通過逆向思考，發現其中的888可被拆解為8×111，那么原式就可被轉化為36×111+8×111×8，根據乘法結合律、交換律、分配律，可得原式=36×111+111×64=（36+64）×111=11100.針對第（2）題，學生可換一個方向出發，思考999可用哪些算式表示，之后基于轉化的思想逆構簡便運算模型：999×78=（1000-1）×78，之后按照乘法分配律進行簡便運算即可得到問題答案為77922.

解簡便運算問題時，教師可引導學生先應用正向思維分析算式，若算式較為典型，可直接代入運算律進行求解；若算式形式新穎，可應用逆向思維對算式中的“數”進行轉化，通過逆向推理將原式轉化為符合運算定律計算模型的算式，之后求解.

（二）解豎式謎題

豎式謎題是基于縱向排列數字計算的謎題，用于訓練學生的運算思維，通常包括一個乘法計算和一些額外的限制條件.這類問題一般要用逆向思維來解決.以人教版四年級上冊“三位數乘兩位數”一課的習題教學為例，學生可用逆向思維解決如下豎式謎題.

解析 可分三步解答此謎題.第一步，根據兩個乘數的末位數字相乘得0，可以逆向推得第一個乘數的末位可能是0或5，再根據第一個乘數的末位數字與第二個乘數十位數相乘的末位數字是5，可以確定第一個乘數的末位數字就是5.第二步，根據第一個乘數與第二個乘數個位上的6相乘得一千多，逆向推得第一個乘數的百位數字可能是2或3，分別計算245×6=1470，345×6=2070，由此斷定第一個乘數為245.第三步，因為豎式中的積為八千多，所以能確定第一個乘數與第二個乘數十位上數字的積是六百多或七百多，由此確定第二個乘數的十位數字是3.綜合三步推理，可解答謎題：245×36=8820.

解答乘法豎式謎題時，學生需要將積的關鍵特征作為解題切入點，運用逆向思維分析兩個乘數各位數字之間的關系，之后進行逆向推理，補充謎題中的空白部分.

四、逆向思維在應用題中的應用技巧

應用題是小學數學題的重要構成部分，用以檢驗學生遷移應用數學概念、原理、公式解決實際問題的能力，主要包括行船問題、歸一問題等類別.一些應用題難度較高，難以直接列式解答.這種情況下，教師需要引導學生應用逆向思維.

（一）行船問題

行船問題是由現實生活中的航行問題加工得來的.一般情況下，此類問題以船速、水速為主要信息，求兩點之間距離.對于一些較為簡單的問題，可直接利用“（順水速度+逆水速度）÷2=船速”等數量關系式代入求值.針對一些形式新穎、內容復雜的問題，需要運用逆向思維.比如，在人教版五年級上冊“簡易方程”一課的習題教學中，學生可用逆向思維解決如下行船問題.

例5 一艘貨輪往返于甲、乙兩地之間，由甲地到乙地是順水航行，由乙地到甲地是逆水航行.已知貨輪在靜水中的速度是每小時20千米，由甲地到乙地用了6個小時，由乙地到甲地所用的時間是由甲地到乙地所用時間的1.5倍，水流速度是多少？

解析 水流速度、行船速度、靜水速度息息相關.但是，此問題并未直接給出貨輪的行船速度，也未給出甲、乙兩地之間的路程，很難代入公式直接求解.為此，教師可以運用逆向推理的思維方法提出問題，讓學生圍繞問題梳理解題思路，如：（1）要求水流速度，根據題意需要什么條件？（2）要求行船速度，根據題意需要什么條件？（3）題目中有哪些數量關系可以被利用？根據系列問題，學生可以明確：題目給出了靜水速度，用行船速度加或減靜水速度可得水流速度；行船速度可以根據“路程÷時間=速度”這一公式求得；從甲地到乙地、從乙地到甲地所行駛的路程是相同的.之后，假設水流速度為每小時x千米，則由甲地到乙地的貨輪行駛路程為[（20+x）×6]千米，由乙地到甲地的貨輪行駛路程為[（20-x）×6×1.5]千米，可得方程（20+x）×6=（20-x）×6×1.5，解方程可得水流速度為4千米/時.

應用逆向思維解決行船問題時，應將題目的問題作為切入點，從問題出發思考解決問題需要的確切條件，之后將其中的一個（或兩個）未知條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件.通過逐步逆推的方式找到解決問題的已知條件，完成解題.

（二）歸一問題

歸一問題屬于復合應用題，要求學生解題時按照已知條件先求出單位量，再利用單位量列式計算，求出問題結果.解決此類問題時，學生需要靈活運用逆向思維找出單位“1”是什么，之后結合題目要求列式求解.比如，在人教版六年級上冊“分數除法”一課的習題教學中，學生可用逆向思維解決如下歸一問題.

應用逆向思維解決歸一問題的思路有很多.最重要的是把握問題給出的數量關系，如倍數關系、和差關系等.先通過逆向推理等方式求出單一量或倍比關系，再結合求出的已知信息展開計算，求出所要求的數量.

結 語

逆向思維的應用化解了正向思考受阻的困境，具有化復雜為簡單、化抽象為直觀等功能.小學生在數學學習中不可避免地會遇到無法利用常規思考方式解決的數學難題，這時教師可指導學生靈活運用逆向思維，采取逆用定義、逆用數學公式與運算法則等手段反過來思考問題，通過變式、間接證明等方法解決數學難題.

【參考文獻】

[1]黃文錦.逆向思維在小學數學解決問題教學中的研究應用[J].數學學習與研究，2022（36）：41-43.

[2]周國文.逆向思維在小學數學教學中的應用[J].讀寫算，2022（35）：64-66.

[3]廖昀.小學生逆向思維的培養策略[J].江西教育，2021（18）：68.