把握核心找思路 通巧結合謀題解

朱印禎

摘?要：圓錐曲線的定點、定值問題既是高考中的常見題型，也綜合考查了學生自身的邏輯推理以及數學運算等各項能力.若采取常規的解法會顯得極其繁瑣，而巧妙地運用曲線系方程進行求解，則能使定點、定值的問題得到有效簡化，并促進學生的解題效率與速率的提高.

關鍵詞：高中數學；圓錐曲線、定點定線；解題思路；策略

定點、定值屬于圓錐曲線當中常見的兩類問題，這兩大類問題由于題目的形態以及解題策略方向，常常被劃歸成相同的研究類型，并和最值有關的問題構成對立的研究類型.本文主要對定點和定值相關問題的解題方法和技巧分別做出探究.但是，對數學解題的內容進行研究，除了立足于表層解題技巧，還需注重相同研究類數學問題之間的關聯，從而在促使學生具備相應數學思想與理性精神的同時，幫助學生構建完善的知識體系，對知識脈絡進行整體把握，準確把握核心問題，明確解題思路，從而使學生解答定點、定值問題的能力得到有效提高.

1?圓錐曲線定點定值問題概述

1.1?定點、定值問題具備的共同特征

定點、定值問題具備的共同特征就是位于動態化過程中的部分量不會伴隨運動變化而產生改變，這就形成了相應的“定”.其中包含了兩層意思，第一層為，這是動態化的一個過程，若圖形為靜止的，則圖形上各個點均為定點，且每個值均為定值；第二層為“不變性”，在動態化過程中，變為常態，不變則是非常態，不變則是由相應的幾何性質所決定.例如，方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1所呈現的曲線過點（0，0），其不會由于θ的變化而產生相應的變化，而點（0，0）則是曲線（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1必過的“定點”，其是由圓系方程具備的代數結構所明確的圓的幾何特征；又或者橢圓上任意點M至其兩個焦點F1，F2的距離和是常數，且該常數不伴隨點M的運動而產生改變，即所謂的“定值”，也就是由橢圓的具體定義來確定橢圓具備的幾何特征.由此可知，定點、定值有著相同的特征.

1.2?定點問題的代數形態特征

一般來說，直線經過定點的問題研究，表示直線處在旋轉的狀態，其斜率是不斷變化的，也就是經過直線l的方程式y=kx+b（k，b為參數）的形態，主要就是考查直線是否過定點.若b=λk+μ（λ，μ為常數）為直線的點斜式的方程，直線l過定點（-λ，μ）.尤其是，如果若b=μ（μ為常數），那么，直線l過y軸上的一個定點（0，μ）；如果b=λk（λ為常數），那么，直線l過點x軸上的一個定點（-λ，0）.面對不存有斜率的直線，可立足于此加以驗證.一般來說，經過直線l的點斜式方程為A（x-x0）+B（y-y0）=0（A，B均為參數，x0，y0為常數），由此可斷定直線l是否過定點（x0，y0）.通過上述的直線方程的形式，可知直線經過定點的問題，邏輯本質為關于變元（x，y）等式是恒成立的，也就是和參數取值是沒有關系的.而曲線理論下，可知曲線λf（x，y）+μg（x，y）=0經過了f（x，y）=0和g（x，y）=0的公共點.

2.3?定值問題的代數形態特征

定值問題位于代數邏輯上，和最值問題是相同的范疇.在解析幾何的體系當中，最值問題解答常用的數學思想就是函數思想，研究對象常常隨著點的坐標、直線的斜率等出現的變化而變化，以形成研究對象和變量存在的函數關系，因此，需立足于幾何條件，構建函數表達式，并通過該函數性質，與幾何條件相結合，研究最值問題.定值問題則是構建了相應的常數函數，其隨著本源變量產生的變化而變化，并形成“定值”.

2?把握核心找思路?通巧結合謀題解——以圓錐曲線定點定值問題為例

2.1?定點問題

例1?如圖1所示，已知橢圓x²/4+y²=1的左頂點是A，過點A作兩條互相垂直的弦AM，AN，交橢圓于M，

N兩點，當直線AM的斜率發生變化時，直線MN是否過x軸上的一個定點？如果過定點，請加以證明，并求出此定點；如果不過定點，請說出理由.

解析：本題可先從點A與直線AM，AN出發，假設二次曲線的方程是（kx-y+2k）（x+ky+2）+λ（x²+4y²-4）=0，再從點A的切線方程與直線MN的方程Ax+By+C=0，得出（x+2）（Ax+By+C）=0，依據系數可得C=65A，即可得出最終的結論.

解答：如圖1所示，設直線MN和x軸之間的交點是P（m，0），那么，可設直線MN的方程是x-ny-m=0.由于點A處的切線方程是x+2=0，設過交點A，M，N的二次曲線的方程是（x+2）（x-ny-m）+λ（x²+4y²-4）=0①；設直線AM的方程是y=k（x+2），即kx-y+2k=0，那么，直線AN的方程是y=-（1/k）（x+2），即x+ky+2=0，由此可得（kx-y+2k）（x+ky+2）=0②.

例2?在平面直角坐標系xOy中，曲線C：y=x²4和直線l：y=kx+a（a＞0）相交于點M與點N.

（1） 當k=0時，分別求曲線C在點M與N處的切線方程；

（2） y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？請說明理由.

解析：第（2）小問中是求定點的存在，需先假設其是存在的，依據∠OPM=∠OPN，可得兩條直線PM與PN的斜率是相反數，兩直線的斜率和是定值0.現令k=0，將題目進行特殊化，通過圖象具備的對稱性，可得到y軸上存在點P符合條件，并證明y軸上存在點P，使得當k變動時，總存在∠OPM=∠OPN.

解答：（1） 依據題意，切線方程是ax-y-a=0以及ax+y+a=0.

（2） 首先由于題意和直線斜率k是沒有關系的，因此，可以選擇特殊k值，獲得特殊定點值，現令k=0，那么直線l和曲線C相交的點分別是（2a，a）與（-2a，a），也就是點M，N是關于y軸相對稱，依據曲線C的圖象具有對稱性，可得到P（0，-a）.因此，猜測y軸存在點P（0，-a），使得當k出現變動時，總存在∠OPM=∠OPN.

2.2?定值問題

例3?如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率是22，分別過O，F的兩條弦AB，CD相交于點E，有OE=EF.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 求證：直線AC，BD的斜率和是定值.

解析：（1）中，橢圓的兩條相交弦AB，CD的傾斜角是互補的，即kAB+kCD=0，則有kAC+kBD=0，kAD+kAC=0，即AD，BC均存在斜率；（2） 如果橢圓的兩條弦AB，CD相交于點E，且斜率都存在的情況下，只要有一個存在斜率，其余的兩條線均有斜率.

解答：（1） 依據題意，可得c=1，e=ca=22，因此，a=2，且有b2=a2-c2=1，即橢圓的方程是x22+y2=1.

（2） 設直線AB的斜率是k，依據題意可知，直線CD的斜率是-k，因此，直線AB的方程是kx-y=0，且直線CD的方程是kx+y-k=0.設直線AC，BD的方程分別是A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，現將過A，C，B，D四點的二次曲線方程設為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λ（kx-y）（kx+y-k）=0，如果表示橢圓，則有A1B2+B1A2=0，由此可知，kAC+kBD=-A1B1+-A2B2=0，故直線AC，BD的斜率和是定值.

例4?已知拋物線C：y2=2px（p＞0）過點P（1，2），若過點Q（0，1）的直線l和拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA與y軸相交于M，直線PB與y軸相交于N.

3?結束語

高中數學的圓錐曲線中定點定值的相關問題解決以及分析過程，全面考察了學生對于圓錐曲線相關知識的掌握與應用能力.因此，數學教師在具體教學時，需注重數學思想以及解題技巧的講解，培養學生自身的邏輯推理力，以促使學生經過解題思路的不斷拓展與創新，實現高效解題.

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