結構化設計實際問題 ,助力等量關系的分析

康葉紅

摘要：《分式方程的應用》一課教學的重點是引導學生分析實際問題中的等量關系 ，列出分式方程。對此 ，可基于蘇科版教材給出的三道例題中數量關系的本質 （相應的式子結構 ），結構化地設計例題來組織教學 ：讓學生利用一元一次方程解決實際問題 ，從而在新舊對比中把握數量關系的本質 ;讓學生根據分式方程編制實際問題，從而在正逆轉換中鞏固數量關系的本質 ;讓學生解決條件更多、條件關系更不清晰的實際問題 ，從而在復雜關系中體會直觀工具的價值。

關鍵詞 ：初中數學 ;分式方程 ;實際問題 ;數量關系 ;結構化

一、教前思考

“分式方程的應用 ”是蘇科版初中數學八年級下冊 “10.5分式方程 ”第三課時的教學內容。在這一節的前兩個課時中 ，學生已經理解了分式方程的概念 ，掌握了 （可化為一元一次方程的 ）分式方程的解法 ，認識到解分式方程時必須對解得的根進行檢驗 ，同時 ，初步感受到分式方程的學習可以類比遷移整式 （一元一次 ）方程學習的經驗。本課主要是引導學生利用分式方程這個數學模型解決實際問題。與之前學習的利用一元一次方程、二元一次方程組解決實際問題一樣 ，學生也要經歷如下頁圖 1所示的數學抽象、建模 （數學化）過程 ，從而可以再次體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型 ，積累利用方程解決實際問題的經驗 ，進一步鞏固、發展模型觀念和應用意識。

利用分式方程解決實際問題的一般過程包括 ：從實際問題中分析出數量之間的相等關系 ，依據等量關系列出分式方程 ，解分式方程，根據實際意義檢驗解的合理性 ，進而解決實際問題。根據學生解分式方程、對其根進行檢驗的知識基礎和利用一元一次方程、二元一次方程組解決實際問題的經驗基礎 ，以及利用分式方程解決實際問題與這些基礎的關鍵區別 “由更為復雜的等量關系列出方程”，結合由學情前測發現的學習難點 “列出分式方程 ”（常表現為 ：不理解實際問題中數量關系的本質 ，不知道為什么所列的方程會是分式方程 ;不能理順條件關系、抓住關鍵條件，獲得等量關系 ;不能合理借助表格、線段圖等直觀工具分析題意 ，獲得等量關系 ），可以確定本課教學的重點是引導學生分析實際問題中的等量關系 ，列出分式方程。

實際上 ，從兩個 “每份數 ×份數 =總數 ”類型的數量關系出發 ，如果已知的是兩個 “每份數 ”（“份數 ”）的大小、兩個 “份數 ”（“每份數”）的和差或倍比關系 （包括相等關系 ）以及兩個 “總數 ”的和差或倍比關系 ，要求的是兩個“總數 ”或兩個 “份數 ”（“每份數 ”）的大小 ，則可設一個 “總數 ”或 “份數 ”（“每份數 ”），表示出另一個 “總數 ”或 “份數 ”（“每份數 ”），再抓住兩個 “份數 ”（“每份數 ”）或兩個 “總數 ”的和差或倍比關系 ，列出形如 ax±bf（x）=c或 x =c·bf（x）[其中 a、b、c為已知數 ，f（x）為ax的一次式 ]的整式 （一元一次 ）方程。由此，便可以回歸學生利用方程解決實際問題的起點 ，對比 （鋪墊 ）設計需要利用一元一次方程解決的實際問題 ，更好地幫助學生學會分析實際問題中的等量關系 ，把握等量關系的本質 ，列出相應的方程。

除此之外 ，也可以增設讓學生根據分式方程編制實際問題的逆向、開放問題 ，更好地幫助學生把握實際問題中等量關系的本質 ，同時培養發現問題、提出問題的能力以及 “數學的眼光 ”;還可以增設數量關系更為隱蔽、復雜 （條件更多、條件關系更不清晰 ）的實際問題 ，引導學生借助直觀工具分析題意 ，并且靈活尋找多種數量關系 ，從而進一步學會分析實際問題中的等量關系。

通過上述分析 ，本課教學 ，筆者基于教材給出的三道例題的本質 ———上述數量關系 （式子結構 ），由舊到新、由正到逆、由淺入深地設計出三道題目 ，以期通過結構化設計 ，充分助力學生分析實際問題中的等量關系 ，同時，幫助學生形成良好的認知結構 （聯系 ），感悟有效的思維方法 （過程）。

二、教學過程

（一）第一題的教學 ：在新舊對比中把握數量關系的本質

師 在一元一次方程和二元一次方程組的學習中 ，我們知道方程是刻畫現實世界數量關系 ，進而解決實際問題的有效模型。最近 ，我們學習了分式方程及其解法。今天 ，我們就嘗試利用分式方程解決實際問題 ，重點關注如何根據題意列出方程。先來看第一題。 （教師出示第一題 ：“①已知蘋果每千克 5元，橘子每千克 3元，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，共花了 24元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？ ②已知蘋果的單價是橘子的 1.5倍，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，買蘋果花了 18元，買橘子花了 6元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？”學生獨立完成 ，教師巡視。）

師 同學們都完成得差不多了。下面 ，請兩位同學分別解釋一下這兩問你列出了怎樣的方程 ，是如何列出的 ？

生 第一問 ，已知小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，因此 ，可設小麗買了蘋果 x千克、橘子 （6-x）千克 ，根據等量關系 “共花了 24元”，列出方程 ：4.5x+3（6-x）=24。

師 很好 ！找到等量關系以及設好未知量是列出方程的關鍵。（稍停 ）對比列出的兩個方程 ，你有什么發現 ？

生 第一問列出的是一元一次方程 ，第二問列出的是分式方程。

師 為什么第一問列出的是整式方程 ，第二問列出的是分式方程 ？（稍停 ）這兩問中都存在怎樣的數量關系 ？

生 ? （若有所悟 ）這兩問中都存在單價、數量和總價之間的數量關系 ，即“單價 ×數量 =總價 ”。

師 都有幾個這樣的數量關系 ？分別是什么事物的 ？

生 兩個 ，分別是蘋果的和橘子的。

師 那么 ，已知和要求有什么不同 ，才導致列出的方程類型不同 ？

生 第一問已知兩個單價、兩個數量的和、兩個總價的和 ，要求兩個數量。

師 這樣一分析 ，就可以發現 ，其實已知了兩個等量關系 ，要求的也是兩個量。那么 ，為什么列出的是一個一元一次方程 ？

生 我們利用兩個數量的和設一個數量 ，表示出另一個數量 ;再利用兩個總價的和列出一個方程。

師 那么 ，根據已知的兩個等量關系的 “對等性”，我們還可以設什么未知量 ，列出什么方程 ？

師 這是一個什么方程 ？

生 一元一次方程。

師 那么 ，是什么導致這一問列出的還是一元一次方程 ？

生 我知道了。因為知道的是單價 ，所以 ，求 （設）數量 ，利用總價的關系時 ，列出的是 “單價 ×數量 ”的式子 ;求（設）總價 ，利用數量的關系時 ，列出的是 “總價 ÷單價 ”的式子。它們都是一次整式 （未知數不在分母上）。

師 非常好 ！你看透了問題中數量關系的本質。再來分析第二問。

生 ? （接話 ）因為知道的是總價 ，所以 ，求（設）數量時 ，利用單價的關系列出的是 “總價 ÷數量 ”的式子 ;而求 （設）單價時 ，利用數量的關系列出的是 “總價 ÷單價 ”的式子。它們都是分式 （未知數在分母上）。

第一題是購物問題 ，增設的第一問改編自蘇科版初中數學七年級上冊 “4.3用一元一次方程解決問題 ”的例 2。由此 ，可以引導學生通過兩問的內在聯系由舊知過渡到新知，并在新舊對比中把握數量關系的本質 ，從而理解所列方程的類型 ，并學會分析條件和結論 ，理順其相互關系 ，進而抓住關鍵條件 ，獲得等量關系。

（二）第二題的教學 ：在正逆轉換中鞏固數量關系的本質

師請大家一起來看第二題。

（教師出示第二題 ：“①從甲地到乙地 ，小明步行比乘公交車多用 2.1h。已知小明步行的速度為 5km/h，乘公交車的速度為 40km/h，那么兩地相距多遠 ？ ②請根據第一問中的數量關系 ，設計已知量和未知量 ，編制出利用分式方程解決的實際問題?！保?/p>

師 先看第一問 ，與第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價 ×數量 =總價 ”的數量關系嗎 ？

生 有，是“速度 ×時間 =路程 ”。

師 那么 ，有幾個這樣的數量關系 ？

生 兩個 ，分別是步行的和乘公交車的。

師 那么 ，已知和要求分別是什么 ？

生 已知兩個速度、兩個時間的差、兩個路程———是同一個路程。

師 這一點看上去和第一題有一些不同 ，但是本質上還是已知兩個路程的關系 ，即兩個路程相等 ，或者說兩個路程差為 0 （比值為 1）。那么 ，要求什么 ？

生 要求路程。

師 雖然是同一個路程 ，但是 ，也可以看成兩個相等的路程。這樣一看 ，第二題第一問是不是和第一題第一問在本質上是一樣的 ？那么 ，可以根據什么等量關系設未知量 ，列出方程呢 ？

生 還可以反過來。根據 “步行的時間 -乘公交車的時間 =2.1h”，設乘公交車的時間是 xh、步行的時間是 （x+2.1）h;再根據 “步行的路程 =乘公交車的路程”，列出方程 ：40x=5（x+2.1）。

師 很好 ！這個問題和之前的問題看似不同，實則相通。理清已知的和要求的之間的關系 ，把握其本質 ，就很容易用類似的方法列出這兩個方程了。這兩個方程也是什么方程 ？生一元一次方程。師現在來看第二問 ，你能編制出怎樣的實際問題 ？

（學生獨立完成 ，教師巡視。）

師 很多同學都有了想法 ，誰來說說 ？

師 你是怎么想到的 ？

生 類似于第一題的第二問 ，只要已知 “路程 ”這個 “總數 ”就好了 ，然后給出兩個 “速度 ” （相當于 “每份數 ”）之間的關系以及兩個 “時間 ”（相當于 “份數 ”）之間的關系。

師 很好 ！那么 ，設未知量 ，列出方程有幾種方法呢 ？

（三）第三題的教學 ：在復雜關系中體會直觀工具的價值

師 最后 ，來看第三題。 （教師出示第三題 ：“某項工程 ，需要在規定的時間內完成。若由甲隊去做 ，恰能如期完成 ;若由乙隊完成 ，需要超過規定日期 3天。現在由甲、乙兩隊合做 2天后，余下的工程由乙隊獨自去做 ，恰好在規定的時間內完成。規定的時間是多少天？”學生獨立完成 ，教師巡視。）

師 一些同學有了想法 ，一些同學還在思考?，F在 ，請大家停下來。別急著回答 ，還是先思考 ：這道題題和第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價 ×數量 =總價 ”的數量關系嗎 ？

生 有，應該是 “工作效率 ×工作時間 =工作總量 ”。

師 同樣地 ，有幾個這樣的數量關系 ？

生 兩個 ，分別是甲隊的和乙隊的。

師 仔細分析題目條件 ，兩隊各只有一個這樣的數量關系嗎 ？

生 （若有所悟 ）兩隊都有兩次這樣的數量關系。甲隊第一次以它的工作效率 （不知道）工作了規定天數 （不知道 ，要求的 ），完成了相應的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道）工作了 2天，完成了相應的工作總量 （不知道）。乙隊第一次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規定天數 （不知道 ，要求的）多3天，完成了相應的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規定天數 （不知道，要求的 ），完成了相應的工作總量 （不知道）。

師不錯 ，你用語言文字表述了題目中蘊含的四組 “工作效率 ×工作時間 =工作總量”。但是 ，這樣表述顯然不夠清晰 ，或者說不夠簡潔、直觀。你能借助其他表達工具或方式 ，更加清晰地表示這四組數量關系嗎 ？ （教師引導學生得到表 1。）

師 很好 ！借助表格顯示 ，條件之間的關系就清楚多了。因為題目條件比較復雜 ，所以最好再檢查一下 ：還有遺漏條件嗎 ？

生 甲、乙兩隊第二次的工作總量之和為工程總量。

師 也就是 ，表中最后一列的兩個未知量之和為工程總量。題目條件比較清楚了 ，你能列出方程了嗎 ？你準備依據哪些等量關系設哪些量 ，表示出哪些量 ？再依據哪個等量關系列出方程 ？

師 他依據 “甲隊第二次的工作總量 +乙隊第二次的工作總量 =工程總量 ”列出了方程 ，不過 ，這個方程解起來有點麻煩?？梢院喕@里的數量關系和方程嗎 ？想想工程總量還可以怎么表示 ？不同的表示之間有關系嗎 ？或者看看上述方程的求解過程給我們什么啟發 ？

師 非常好 ！這個等量關系以及相應的方程不僅非常簡潔 ，而且經過轉化 ，讓我們容易發現其和第一題第二問一樣的數量關系本質 ：知道兩個 “工作總量 ”的大小 （都是單位 “1”）、兩個 “工作時間 ”的差 （3）以及兩個 “工作效率 ”的比 （3∶

2），要求兩個 “工作時間 ”的大小。（稍停）確實 ，表格、線段圖等常見的直觀工具可以幫助我們理清題意 ，找到等量關系，尤其是題目條件比較復雜時。而且這時 ，題目中的等量關系通常比較多 ，借助直觀工具可以得到它們之間的聯系，從而優化等量關系 ，列出更為簡潔、好解的方程。 （學生反思、體會。）

師 當然 ，同學們也要一分為二地看待這個事情。方程思想的根本追求是正向思維，即更容易想。而最容易想的處理方式其實就是遇到等量關系就列 ，遇到未知量就設 ，把所有等量關系都列出來、所有未知量都設出來后 ，要處理的也就是解一個可能有點復雜的方程組。雖然同學們只學過二元一次方程組 （可能選學過三元一次方程組 ），但是解多元的方程組的基本思想是相同的 ，即消元 ，具體包括代入消元、加減消元等。這樣就把 “想”的困難轉化到了 “算”上，而 “算”的難更多地表現為繁 ———“算 ”是相對機械、程序化的事情。第三題實際上是工作任務問題。相比

于前兩題 ，不再鋪墊設問 ，而直接讓學生利用分式方程解決實際問題 ;同時 ，其數量關系更為復雜 ，不容易看清本質 ，不容易 “題型化”“套路化 ”。由此 ，一方面 ，可以引導學生學會借助圖表分析題意 ，簡潔扼要、條理清晰地表達數量關系 ，凸顯直觀工具的運用價值;另一方面 ，則可以引導學生學會借助條件關系優化數量關系 ，培養思維的靈活性。特別值得一提的是 ，教師最后的總結上升到了方程思想的層面 ，基于堅實的知識、經驗基礎 ，促進學生的認識提升到素養、大概念的層面。