長程設計，貫通教學

劉正松　張文苑　劉艷

摘要：數學知識之間存在著普遍的聯系，其中處于知識領域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置的具有種子作用的核心知識，就是起點型核心知識。小學數學教學中，需要更科學、精準地確定起點型核心知識，嘗試用抽象度分析法來分析知識間的抽象關系、邏輯關系，引入量化指標，即知識點的“三元指標”：相對抽象度、出度、入度。在這一理念指引下，《認識二分之一》一課實施，經歷了長程設計，實現了貫通教學。

關鍵詞：小學數學；起點型核心知識；長程設計；貫通教學；分數的意義

劉正松（江蘇省南京市教學研究室）：剛才，我們一起觀摩了孔令春老師執教的《認識二分之一》一課。接下來，歡迎各位參加今天的沙龍研討。我們知道，數學知識之間存在著普遍的聯系，其中處于知識領域、知識序列、知識段落或知識單元起點位置的具有種子作用的核心知識，就是起點型核心知識。當然，這只是一種感性的描述，不同的教師會有不同的理解。今天，孔老師以《認識二分之一》一課展現了其團隊成員對起點型核心知識教學的實踐與思考。那么，如何更科學、更精準地確定起點型核心知識？就以分數的意義的教學為例，誰能簡單介紹一下？

張文苑（江蘇省南京外國語學校青奧村小學）：我來說說我們的方法吧。從2008年開始，我參與小學數學核心知識教學的研究，至今已有14年時間了。開始，關于核心知識怎么判定，大家往往依靠經驗，主觀性、隨意性較強；即便同一單元的知識點中，哪些是核心知識，大家常常會有一些爭議。后來，我們團隊成員一起研讀了徐利治和鄭毓信兩位教授合著的《數學抽象方法與抽象度分析法》一書，嘗試用抽象度分析法來分析知識間的抽象關系、邏輯關系，用量化指標來確定核心知識，使得核心知識的遴選從經驗走向了科學。這個量化指標就是知識點的“三元指標”，即相對抽象度、出度、入度。以“分數的意義”為例，我們把現行小學數學教材中“分數”序列知識點梳理出來，將關聯的知識點用有向線段連接。從某個知識點發出的有向線段的總數，就是它的出度；指向某個知識點的有向線段的總數，就是它的入度。出度是判斷起點型核心知識的第一標準。在分數知識有向平面圖（見圖1）中，“分數的意義”這一知識點的出度是7（入度是1），其他知識點的出度都小于它，說明它是最基礎的，處于這一知識體系的起點位置，所以我們將它確定為起點型核心知識。

劉正松：謝謝張校長！確實，借助知識有向平面圖，我們可以將隱性的知識結構顯性化，清晰地看到知識的出度、入度，從而精準確定起點型核心知識。厘清了起點型核心知識之后，如何實施教學是一線教師更為關心的問題，也更能彰顯教師的教學智慧。請大家回顧一下，關于“分數的初步認識”這一內容，在過往教與學的過程中存在哪些典型的問題？

劉艷（江蘇省南京市建鄴區教師發展中心）：“分數的初步認識”教學中，最典型的問題在于，許多學生在認識一個物體的幾分之一時，并沒有真正理解分數的意義，或者說還停留于形式模仿的層面。到了認識一個整體的幾分之一時，問題就充分暴露出來：學生眼里看到的是平均分的總數和每份的數量，而對平均分的份數和表示的份數視而不見，頻繁出現諸如“把6個桃平均分成2份，每份是這盤桃的3/6”的差錯。

李丹（江蘇省南京市金陵中學實驗小學）：劉老師說的這一點，我深有同感。學生對“把6個桃平均分成2份，3個桃是它的1/2”一時難以接受。

張文苑：此外，就目前學生的現實生活而言，他們用到分數的機會比較少，所以，分數的意義一直都是他們學習的難點。學生三年級初步認識分數時，都是基于具體圖形或物體的，根據直觀的圖形或物體描述分數的意義相對而言比較簡單；但到了六年級學習分數乘、除法實際問題時，沒有了圖形或物體的支撐，各種各樣的問題就出現了。

趙曉燕（南京師范大學教師教育學院）：據我觀察，教學中具體到分一個物體的時候，有部分學生認為，如果分的各部分形狀不一樣，就不是平均分。

孔令春（江蘇省南京市金陵中學實驗小學）：不僅如此，學生對“每份”的理解也不夠透徹。很多學生只知道把一個整體平均分后，左邊涂色的1份是它的幾分之一；對不涂色的1份同樣也是它的幾分之一，思考得比較少。

劉正松：謝謝各位！剛才各位所說的問題都會給學生后續學習帶來一些障礙和不必要的負擔。今天這節課恰好在許多地方做了一些突破。請問孔老師：您在設計這節課之前預設的教學目標是什么？

孔令春：蘇教版小學數學教材將“分數的初步認識”分為兩次展開，分別是認識“一個物體”和“一些物體組成的一個整體”的幾分之一以及幾分之幾。針對剛才大家說到的教學中存在的各種問題，我把兩次認識進行了整合，這節課主要認識12。教學前，我擬定如下教學目標：一是結合具體情境初步認識12，知道把一個物體或一些物體平均分成2份，每份是它的12；能正確讀、寫12，知道其各部分的名稱。二是經歷12意義建構的過程，培養觀察、操作、抽象、概括和表達等能力，積累數學活動經驗，形成和發展數感、推理意識以及創新意識。三是感受數學與生活的聯系，增強學習數學的興趣和信心。

劉正松：謝謝孔老師！對照孔老師確定的教學目標和今天的課堂教學，我們能清晰地感受到起點型核心知識教學所追求的“長程貫通”的教學理念。相信在磨課的過程中，大家一定有許多思考，也請大家來聊一聊。

李丹：我先來說說。分數是數概念的一次重要拓展，其內涵豐富，需要從多個維度去認識。以蘇教版小學數學教材為例，在三年級上冊，是把一個物體平均分來初步認識分數，在三年級下冊，是把一些物體平均分來進一步認識分數；到了五年級下冊，則再次系統地認識分數，概括分數的意義，探索分數的基本性質。回顧分數的認識過程，歷經3年，確實分散了教學的難點，但每一次教學，感覺什么都講了，又感覺什么也沒講好，割裂了分數的認識過程。這給學生造成一種錯覺，那就是每次認識的分數又是一種新的情況，不利于學生從整體上把握分數的意義。基于此，我們嘗試打破時間和空間上的壁壘，綜合考慮學生的年齡特點與認知規律，對“分數的意義”這一序列知識的教學進行整體規劃和長程設計。首先，將三年級上冊和下冊的兩次認識整合為一次，在三年級下冊展開教學。這次教學不區分一個物體和一些物體組成的一個整體這一分數的非本質屬性，而引導學生將目光聚焦于分數意義的核心——“平均分的份數”和“表示的份數”。五年級下冊再次認識分數時，也不是簡單地一課時一課時地按照教材編排展開教學。我們在研讀教材的基礎上，對“分數的意義”“分數與除法的關系”“求一個數是另一個數的幾分之幾”和“真分數與假分數”等四課時內容重新規劃，仍然分為四課時，但這四課時是從不同的視角再認分數：第一課時再次經歷平均分的過程，從部分與整體的視角再認分數；第二課時建立分數和除法之間的聯系，也就是從商的視角再認分數；第三課時通過分數單位的累加，從度量的視角再認分數；第四課時經歷真實問題的解決過程，從比的視角再認分數。這樣一來，學生可以從整體上把握分數的意義，為后續學習分數乘、除法及解決相關實際問題奠定堅實的基礎。

劉正松：謝謝李主任！數學知識的學習絕不是一個個孤立的點，而是前后關聯的一個整體。李主任介紹了“分數的意義”這一序列知識內容的重構：引導學生分兩個階段，從不同的維度認識分數的意義，并形成一個有機的整體。我理解這是對“長程貫通”理念中“長程設計”的生動解讀，是單元整體教學設計的一個典型案例，那么，如何實現“貫通教學”呢？

劉艷：我來說說。回想我們曾經聽過的“分數的初步認識（一）”的公開課，創設野餐情境后，從分食物開始，快速地分完4個蘋果和2瓶礦泉水之后，教師就把重點放在1個蛋糕上。學生憑生活經驗可以得到“把1個蛋糕平均分成2份，每人分得半個”這一結果，發現“半個”不能用之前學習的整數來表示，進而揭示二分之一。在以往的課堂中，分蘋果和礦泉水只是引子，得到“2個”和“1瓶”就謝幕了。其實，分蘋果和礦泉水的過程和分蛋糕是一致的，都是把它們平均分成2份，每人分得其中的1份，每人分得的都是這些食物的二分之一。但這些內容原來要到三年級下冊才會學習，這給學生造成一種錯覺——三年級上冊學習的分數的意義和三年級下冊學習的分數的意義是不同的。到了五年級下冊再認分數的意義時卻不再區分，而用單位“1”去統整平均分的對象。這樣勢必給學生帶來分數的意義前后不一致的感覺，容易讓學生關注分的物體。而分數表示“分率”時只和平均分的份數以及表示這樣的幾份有關，不需要看分的到底是一個物體還是一個整體。在這節課上，為了幫助學生形成一致性的認知，孔老師嘗試把三年級上、下冊分數的初步認識（一）和（二）打通，淡化對平均分的物體的感知，而突出三次平均分的相同之處，進而抽象出不管是把1個蛋糕平均分，還是把4個蘋果、2瓶礦泉水平均分，只要平均分成2份，每份就是總數的二分之一。這樣的貫通式教學，很好地凸顯了分數的本質，使學生不再像之前那樣，看到一個物體數份數，看到一些物體就數個數。今天我們看到的只是第一課時，重點認識二分之一，后續第二課時會延伸到認識幾分之一，第三課時認識幾分之幾。通過這樣的統整，學生會對分數的意義形成通透的認識。

劉正松：謝謝劉老師的分享。今天，學生對分數的認識是基于本質的，也就是關注“平均分的份數”和“表示的份數”。其實，之所以有些教師的教學給學生負擔偏重的感覺，重要的原因之一是我們教給學生太多的方法，每節課都有新的知識。如此下來，學生不堪重負，逐漸喪失學習數學的興趣。如果能把握知識本質進行貫通式教學，凸顯方法的一致性，便能促進知識的創生和方法的遷移。這也是核心知識教學一貫的追求。聊到這兒，我想到一個課堂教學繞不開的話題，那就是：這樣教學的效果究竟怎樣？

李丹：在剛剛孔老師的課堂教學中，學生把8個正方體平均分成2份，很自然地表示出每份就是它們的二分之一。可見，學生對分數的意義掌握得很扎實。

劉艷：從今天學生的發言中，我們能感受到學生真正關注了分數意義的本質，也就是“平均分的份數”和“其中的每一份”。

孔令春：在學生自己舉的例子中，比如把1條線段、50塊橡皮、100顆糖平均分，可以看出學生已經能夠理解分數的意義，也體會到了平均分對象的廣泛性。

張文苑：一堂課的效果如何，關鍵要看學生。從本節課看，學生在課堂學習中興趣濃厚，投入度高，參與度廣，始終處于中心地位。但是，這樣的觀察和評價是定性的，帶有主觀性，量化的客觀評價也應參與其中。

劉正松：是的，定性的分析沒有定量的分析客觀。這節課上課前和上課后，趙曉燕博士收集了大量的數據。接下來，請趙博士為我們做精準的數據分析。

趙曉燕：由教師設計實施的課堂評價不僅能提供反映教學效果的證據，更能幫助教師細致了解學生的學習水平。本次教學安排前、后測，一方面，旨在揭示學生對在一節課中同時從“平均分一個物體”和“平均分一些物體”的角度理解分數的意義的接受程度；另一方面，聚焦回答教師最關心的疑問，即整體教學能否減少學生用分數表示“平均分一些物體”時只見“個數”、忽視“份數”的錯誤。

具體地，由于平均分是學生學習分數的意義的基礎，前測8道題檢測學生對平均分的理解。試題涉及集合模型（如圖2）、長度模型（如圖3）、面積模型（如圖4），需要學生判斷所給圖形是否為平均分;如果是平均分，再填寫平均分成多少份。針對面積模型，特別設置了各份大小相等但形狀不同的情況，檢測學生對平均分的理解水平。

后測試題以判斷小明作業紙中的3道題的形式給出，具體內容如下：

小明做了一組題目，圖5是他的作業紙。他做得正確嗎？請你判斷并說明理由。

所涉及的分數由課上學習的“二分之一”擴展至“幾分之一”，從遷移的視角側面反映學生對分數意義的認識。此外，其中2道題為集合模型，是希望和前測試題建立關聯（對應關系如圖6所示），以便更好地觀察用分數表示“一些物體的平均分”時，多少學生會產生哪些困惑。

參與本次測試的學生分別來自10個班級，其中4個班級（155人）按照蘇教版小學數學教材編排，上完三年級上冊和三年級下冊第一課時，另外6個班級（235人）由孔令春老師按照今天的設計展開教學。在日常教學中，我們通常根據題目的正確率獲取信息作出判斷，這里也先根據平均正確率進行分析。“原教學組”和“整體教學組”前、后測題目平均正確率見表1。根據前測數據，“原教學組”和“整體教學組”的表現基本相當，但涉及集合模型的前測第2和第5題差異較大，還需具體到學生水平深入分析；根據后測數據，“整體教學組”的表現更好。對比前、后測關聯的兩組題目， 由前測第2題和后測第1題的數據可知，“整體教學組”的表現更好；由前測第5題和后測第3題的數據可知，“原教學組”和“整體教學組”都出現了更高的錯誤率，但“整體教學組”的表現更好。當然，兩組學生的表現差異是否具有統計學意義還需進一步分析。初步判斷，我們可以看到學生可以很好地在一節課中同時從“平均分一個物體”和“平均分一些物體”的角度來理解分數的意義，學生整體學習二分之一后能夠較自然地遷移到對其他分數單位的理解。

孔令春：我也參與了數據的收集和整理工作。在統計后測第3題時，發現“整體教學組”有部分學生解釋：“雖然有2個梨涂色，但是把8個梨平均分成4份，涂色部分是這樣的1份，所以涂色部分是總數的14。”可見，學生在分析問題的過程中既關注了“個數”，更突出了“份數”。

劉正松：謝謝趙博士專業的數據分析，給我們的研究又增添了一份底氣;也謝謝孔老師精彩的課堂教學，讓我們看到了分數認識教學的另一種可能。我們推崇的起點型核心知識教學只是一個載體，其終極目標是人的發展。這里的人，既包括每一位學生，也包括每一位老師。我相信，在這樣的研究過程中，我們的老師和學生可以實現共同成長。最后，我用一句話結束今天的沙龍，也和所有參與研究的老師共勉：道阻且長，行則將至；行而不輟，未來可期。謝謝！