結構，在“連續”學習中得以完善

劉曉萍

摘要：數學教學要將零散的知識點以相關核心概念進行統領與整合，進而讓學生在“連續”的數學學習中改造并完善已有的認知結構，實現從表層符號走向邏輯與意義的統一，助推思維與能力的進階。以小學階段三次“認識分數”的教學為例，通過結構化素材、結構化問題、結構化表征、結構化練習，讓學生在“連續”經驗、“連續”思維、“連續”遷移、“連續”運用中，實現數學結構與認知結構的彼此完善。

關鍵詞：小學數學；數學結構；認知結構；連續學習；認識分數

數學是一門“結構化的科學”，其知識體系的形成、演化過程具有很強的邏輯性。數學教學要將零散的知識點以相關核心概念進行統領與整合，進而讓學生在“連續”的數學學習中改造并完善已有的認知結構，實現從表層符號走向邏輯與意義的統一，助推思維與能力的進階。本文以小學階段三次“認識分數”的教學為例，談談如何通過連續學習，讓數學結構與認知結構彼此完善，即實現數學結構對學生認知結構的豐盈，學生認知結構對數學結構的平衡。

一、結構化素材：在“連續”經驗中，感悟概念的進階與發展

分數是一個內涵豐富的數學概念。由于它與整數、小數概念有較大的差別，學生理解與掌握分數存在較大的困難。所以，蘇教版小學數學教材與諸多版本教材一樣，安排學生分三個階段學習分數，即三年級上學期“認

*本文系江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃2021年度課題“核心內容視角下小學數學育人價值及其實現研究”（批準號：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。

識一個物體的幾分之一（幾）”，三年級下學期“認識一個整體的幾分之一（幾）”，五年級下學期學習“分數的意義”。教學時，要將三個階段的內容視作同一“單元”下多次的不同維度、不同層級的學習，讓學生在“連續”的學習中完成內容的鏈接與經驗的改造，感悟概念的進階與發展。

眾所周知，數系的每一次擴充，都擴大了數的應用范圍。“認識一個物體的幾分之一”，是首次引入分數概念，是分數教學的起點與基點。教師應該鏈接學生的生活經驗，創設一個對物體進行切割與分配的生活情境，在突出分數概念中的關鍵要素“平均分”的同時，通過所分物體的數量變化（對4個、2個、1個物體進行平均分），分得的結果也隨之變化，從用整數表示，到整體中的“部分”“半個”無法用整數表示，引出刻畫“部分”這一大小的需求，使原有數的認知結構出現“失衡”，“分數”的概念呼之欲出。

接著，教學再走一步：引導學生發現12表示半個數量，12還表示一份與總份數之間的倍比關系。此時，教師還可以引發學生提出問題：2份、3份與總份數之間的關系可以怎樣表示？這節課，我們分了一個物體，那么，如果是一些物體呢？……這樣的結構化素材，能夠激發學生繼續探究的愿望，完成對分數概念“連續”學習的對接。

“認識一個整體的幾分之一”的教學，采用聯系舊知的方式引入，體現這是在平均分一個物體基礎上的連續學習。這也正是該課教學的邏輯起點，使概念的學習得以自然推進。具體可以從分一個物體開始，創設兩只小猴分水果的情境，提出問題：“孫小圣要把這一個桃平均分給2只小猴。每只小猴分得多少呢？”自然鏈接三年級上學期關于分數的知識與經驗。接著，在“繼續研究分數”的活動中，桃子的數量變化成了4個、6個、12個到任意個，平均分的份數從2份、3份到任意份。學生一邊分，一邊向同伴介紹每一次分桃的結果，在整體數量的變化中，對概念的理解逐步逼近本質：分數的分母其實就是總份數，分子就是分得的份數。無論是一個物體還是一個整體，表示分得的一份和總份數之間的關系都可以用分數——幾分之一來表示。不知不覺中，學生對幾分之一的認知結構又得到了拓展與完善。

“分數的意義”的教學，則以某個分數為例，讓學生在讀一讀、畫一畫、說一說的活動中，鏈接前兩次積累的“認識分數”的經驗，揭示出本課概念建構的實際背景，感悟概念進階前后的聯系，把握概念的屬性，從“份數”的角度完成分數概念的抽象。

二、結構化問題：在“連續”思維中，經歷概念的抽象過程

數學是一個前后聯系的知識系統，因此，教學時還要樹立“大單元”意識，瞻前顧后、左顧右盼，通過結構化問題，讓學生在“連續”的學習中敞亮思維，觸摸知識的本質。

分數的學習，本質上是學生經歷逐級抽象的過程。因此，每一階段的教學都需要從概念的本質出發，設計體現概念漸進抽象的結構化問題。教學“一個物體的幾分之一”，可以提問學生：“半個是怎么得到的？”讓學生在“操作→多元表征→統一表征”的過程中理解12的含義，并且明確：當平均分的結果不是整個的時候，可以用分數來表示數量。接著，順勢而為，從每人分得的一份與整個物體之間的關系出發，讓學生初次轉換視角：12還能表示每一份和總份數之間的關系。而對這層意義的理解，才是學生真正認識分數意義的開始，也是學生要跨越的一個認知難點。后續的教學中，平均分的一個物體在不斷改變，教師可以“我們分的都是一個物體（圖形），表示的都是其中的一份，為什么得到的分數卻不一樣”的問題引發學生思考：不管平均分成多少份，都可以從數量和關系兩個角度，用分數表達平均分后的結果。

“認識一個整體的幾分之一”的教學，從分一個桃子開始。教師可以從數量與關系兩個視角，提出問題：“把一個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得多少呢？每只小猴分得這個桃的幾分之幾呢？”揭示本課學習的邏輯依然是：像12這樣的分數既能表示數量，也可以表示分得的份數和平均分成的份數之間的關系。在分4個、6個、12個桃的活動中，依然是這樣的雙線并進，幫助學生在整體思考與對比中，深刻理解分數表示量與量之間關系的定義，有效地突破難點。

結構化問題還可以助推知識結構的完善。在初步認識了一個整體的幾分之一后，教師可以提問：“學到這兒，我們來做個比較：以前我們是把一個桃這樣的物體平均分，今天我們平均分的對象有什么不同呢？有沒有相同的地方呢？”學生在比較中感悟到：無論是一個物體還是一個整體，表示分得的一份和總份數之間的關系都可以用分數——幾分之一來表示。于是，學生對幾分之一的認識又前進了一步。課尾，教師可以再次提問引發學生思考：“還有哪些有關分數的知識，等待我們去研究呢？”讓學生對后面的分數學習有很好的期待。

“分數的意義”的教學，讓學生在之前直觀認識分數的基礎上形成分數的概念，對分數的本質有更為深入的認識。教師通過例子的變化以及提問“大家表示出的分數有什么相同的地方”，引導學生完成單位“1”的概括（如圖1）。讓學生在舉例說說一些分數表達的意思，以及“你能用一句話說說所有分數的意義嗎”的思考中，完成分數意義的歸納。認識了分數單位之后，教師可以提問：“同學們，到現在我們都學習了哪些數？”引導學生展開已有“數認識”的結構化思考，進而打通整數、小數、分數基于計數單位在數意義與表達上的一致性。

結構化問題意在從整體上“謀篇布局”，使學生在系統性、本質性的思考中實現知識結構的完善。看似割裂、獨立的概念學習產生了關聯：分數能夠表示部分與整體的關系，也能夠表示兩個數量之間的倍比關系。這無形中充實了學生對分數意義的理解，也為下一步探索分數的其他意義打開了思路。

三、結構化表征：在“連續”遷移中，把握概念的內在邏輯

可遷移性在數學內部尤其重要。縱觀小學階段數的拓展，無論是從一位數到多位數，還是從整數到分數、小數，其核心都是計數單位及其表示方式的不斷拓展。因此，對計數單位及其表示方式的認識應貫穿于每一次數概念的拓展進程中，每認識一種新的數，必然是新的計數單位產生或者其表示方式重新建構的過程。抓住“計數單位”這一核心概念，有助于把握數概念發展的內在邏輯，從而把握數學的本質、實現數認識的通聯。

三年級兩次“認識分數”的教學，都是在直觀情境中展開的，教師要跳出簡單的講解，引導學生綜合運用情境，通過實物表征（如圖2）、圖像表征（如圖3）、語言文字表征和符號模型表征等多元表征，自主探究，建構思維表達的多元結構和分數概念的縱橫關聯，探尋數學與生活、數學內部知識之間的本質聯系。

五年級“分數的意義”的教學，在抽象完成分數的意義之后，教師要用好計數器這一介于直觀與抽象之間的表征工具，適時組織關于整數、小數與分數在數意義與表達上一致性的勾連與比較活動，幫助學生完善“數認識”的認知結構。教師出示一顆珠子（如圖4）并提問：（1）在沒有表示數位的計數器上，一顆珠子可以表示哪些數？（這里的一顆珠子可以表示整數的計數單位，也可以表示小數的計數單位。）（2）去掉計數器，這里的一顆珠子還可以表示什么數？（它還可以表示像13、14……這樣的分數單位。）（3）有了這些計數單位，我們就可以數出哪些數？（原來，“數都可以通過各自計數單位的累加得到”。）如此，計數單位在數的意義與表達上的一致性得以通透，學生的認知結構得到了再次優化。

數軸也是對數的意義進行表征的常用工具。在數軸上有了單位“1”之后，2、3……這樣的整數也就可以通過有幾個“1”找到相應的位置。由此，學生對“整數就是單位‘1’的累加，有幾個單位‘1’就用整數幾來表示”的理解更為深刻。接著，教師引導學生對數軸上數的表示再深入思考：如果不滿1個單位“1”，我們可以用怎樣的數來表示呢？——今天學習的分數，也可以在數軸上找到它對應的點。在圖5引發的分一分、找一找的活動中，分數在計數方式上的獨特之處就顯而易見了。在對“整數、小數相鄰計數單位之間的進率都是10，那分數呢？也有這樣的關系嗎”的叩問中，學生對數的產生是源于人類在生產和生活中計數的需要的感悟，也更深刻了。

可見，在“計數單位”“十進制”“位值制”等核心概念的統領下，學生對分數的認識逐步從感性走向了理性，由抽象具體走向了抽象一般。

四、結構化練習：在“連續”運用中，拓展概念的內涵與外延

數學概念的理解、拓展離不開運用。由于三年級都是直觀認識分數，因此，在練習環節，教師需要再次創設真實情境，把學生領到生活中去“發現”分數，研究生活中與分數有關的知識，把對分數的理解遷移到新的情境中，充分揭示并加以簡單應用。

“認識一個物體的幾分之一”的教學，可以利用開始的“公園野餐”情境，關注小芳和小明野餐用的正方形墊子，讓學生用分數來表述它的邊長與周長的關系（如圖6），還可以鼓勵學生根據墊子的大小與公園草坪大小的關系，推理并畫出公園的形狀與大小（如圖7）。

“認識一個整體的幾分之一”的教學，可以創設走進超市的情境，從養樂多和紙巾等物品的包裝（如圖8）中聯想出一些分數，引導學生感悟到：同樣的整體，平均分的份數不同，得到的分數就不同。也可以創設有趣的拔河比賽情境（如圖9），讓學生說說：圖中框出的一個男孩，占左邊兩個男孩人數的幾分之一？占拔河人數的幾分之一？占所有人數的幾分之一？由此，引導學生明白：同樣是一份，一個整體變了，那么它們的關系也變了。還可以創設有趣的貼拇指游戲，給出9個大拇指貼紙，請學生拿出三分之一，接著再拿出剩下的三分之一。學生在有趣的操作活動中，感悟到：都是三分之一，有人拿了3個，而有人卻拿了2個。原來，“一個整體變了，它的三分之一也就變了”。

“分數的意義”的教學，對生活中的分數理解與分析則更顯理性。對“一節課的時間是23小時”與“這節課的時間大約已經過了34”這兩句話，學生借助幾何直觀（如圖10）展開分析，強烈地感受到分數中單位“1”的重要性。同時，也認識了一些新的數量關系，提高了發現和提出問題、分析和解決問題的能力，完善了認知結構。

總之，數學結構是匹配認知結構的彈性結構，結構的完善是螺旋向上的，不是一蹴而就的。讓學生在不同的年齡朝著同一個目標邁進，必將推動知識的整體融合與學習方式的變革。