在“雞兔同籠”教學中培養學生創新意識的探索

【摘要】本文聚焦小學數學教學中的“雞兔同籠”問題模型，探討培養學生創新意識的策略方法，提煉出兩點實踐經驗：一是基于學生的基礎認知，引導學生通過對常規方法的歸納、類比發現“假設思想”應用的規律，建立“雞兔同籠”問題解決的基本模型，初步培養學生的創新意識；二是創設新的問題情境，引導學生基于問題解決基本模型，探索一些非常規的問題解決思路和方法，進一步培養和發展學生的創新意識和能力。

【關鍵詞】小學數學 “雞兔同籠” 模型意識

創新意識

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）04-0065-04

創新意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）提出的三個方面數學核心素養在小學和初中階段的具體表現之一，主要表現為主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題，包括“初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現數學關系與規律”“提出數學命題與猜想，并加以驗證”“勇于探索一些開放性的、非常規的實際問題與數學問題”等。培養學生的創新意識，有助于學生形成獨立思考、敢于質疑的科學態度與理性精神。

“雞兔同籠”問題是1 500年前我國古代數學名著《孫子算經》中記載的一種數學趣題，也是一種較為典型的數學問題模型，該模型不僅可用于解決“雞兔同籠”的基礎問題，而且可用于解決生活中類似的“人馬問題”“租船問題”等。“雞兔同籠”問題安排在人教版四年級下冊的“數學廣角”，筆者嘗試在“雞兔同籠”教學中培養學生的創新意識，進行了一些實踐探索，積累了一定的教學經驗。

一、基于學生的基礎認知，引導學生通過對常規方法的歸納、類比發現“假設思想”應用的規律，建立“雞兔同籠”問題解決的基本模型，初步培養學生的創新意識

四年級的學生已經積累了一定的數學活動經驗，掌握了一定的數學思想方法。本課開始，筆者決定從簡單的問題入手，引導學生完全憑借自己的理解和現有認知經驗去尋找解決問題的路徑和方法，然后同組之間進行平等交流，從中提煉出問題解決的基本模型，培養創新意識。在學生獨立思考、合作學習的過程中，筆者不給出任何提示。

在課堂教學中，筆者立足教材，先給學生講解了“雞兔同籠”問題的來歷，再從簡單的問題入手引出教材中的例題1：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”接下來讓學生根據題目中給出的條件自行“猜測”兩種動物的數量；再借助題目中給出的數量關系進行合理分析，得出問題解決的方法和結論；最后在班級中展開討論。在學生獨立思考、合作學習的過程中，教師側重引導學生在列表填數和畫圖思考的過程中認清定量和變量，培養有序思考的習慣，順勢歸納“極端假設”的方法，形成解決一類問題的基本模型，發展問題解決能力。

學生在自主學習、合作探究的過程中，總共給出了三種問題解決的方法。第一種是猜測列表法，第二種是畫圖法，第三種是算術法。

（一）猜測列表法中的有序思維

針對猜測列表法的形成過程，筆者與相關學生展開了下面的課堂對話。

師：請問你是如何得出這個結果的？

生1：我其實是胡亂分配數量的。我想，只要它們的和滿足了8只這個條件就行，于是我先猜測可能有5只雞、3只兔。但是，在計算兩種動物的腳數時我發現5只雞、3只兔總共才有22只腳。

師：這個結果便與題目中給出的總腳數發生了沖突。接下來該怎么辦呢？

生1：我發現這樣算出的總腳數比實際總腳數少了，因為每只兔是4只腳，每只雞只有2只腳，每只兔子的腳數多于每只雞的腳數，所以，我前面的猜測，應該是兔的只數猜少了、雞的只數猜多了。

師：條分縷析，分析得頭頭是道！既然知道問題出在哪里了，你接下來是怎么做的？

生1：我就增加兔的只數唄。我再猜兔6只、雞2只。但是，結果還是對不上，總的腳數又多了。于是我只好再減掉一只兔，變成兔5只、雞3只，這一次總算對上了。

師：千辛萬苦，總算是對上了！老師為你不屈不撓的精神點贊！不過，你這種方法雖然可行，但你變換雞和兔的只數的過程有點過于隨意，缺乏章法，這樣的思考通常效率低、成本高。你雖然能得出結果，但探究過程帶有極強的偶然性，因為本題中雞和兔的總只數較少。如果在第一次試取數對失敗之后，我們按照一定的順序增減調試，效果會更好，特別當我們遇到較大的數的時候，尤其需要有序地思考和調試。比如，首次猜測失敗后，我們在首次猜測的基礎上減去1只雞、增加1只兔，變成4只雞4只兔。這時的總腳數有24只了，但與總腳數相比，仍然欠缺2只，于是繼續調整，再減1只雞、追補1只兔，變成3只雞、5只兔，這時，雞和兔的總腳數才剛剛好是26只。雖然這個過程仍然并不簡單，但它是有序地思考，不容易出現遺漏的情況。

教師一邊與學生進行課堂對話，一邊用表格方式記錄雙方的問答，在明晰了“猜測—驗證—反思—推理”的思維過程與方法的同時，拓展數據“雞7兔1”“雞1兔7”，呈現出如表1所示的整體思維框架暨雞和兔的只數變化過程及其與二者總腳數之和的對應關系；接著引導學生圍繞表格中“哪些元素發生了變化？”“哪些元素沒有發生變化？”展開數據分析和討論。學生在討論中發現：首先，表格中變化的元素是雞和兔各自的只數以及它們的總腳數，變化的規律是“每把1只雞替換成1只兔，雞的只數減少1，兔的只數便會相應增加1，而雞和兔的總腳數就會增加2只”“每把1只兔替換成1只雞，兔的只數減少1，雞的只數便會相應增加1，而雞和兔的總腳數就會減少2只”。其次，不變的元素是雞和兔的總只數8以及雞和兔的總腳數26，這是題目的既定條件，無法更改。

針對上述猜測法，教師進行了如下小結：大家可以先隨意猜測一個數對，只要符合雞和兔的總只數為8就行；然后一步一步增減調整，直到總腳數也符合既定的條件26即可。這種方法還真是管用，一道千年趣題居然就這么輕易地被大家破解了。那咱們以后就將這種自創的方法固定下來，作為解決“雞兔同籠”問題的一種通用公式，如何？（生表示贊同）不過，這種不斷增減數據的方法多少有點煩瑣，咱們能不能找到一種更為簡便的方法呢？

（二）畫圖法中的“極端假設”思想及其與算術法的推演關系

隨著教師的引問，又一名學生出示了本組的問題解決方法——畫圖法，如圖1所示。

生2：我先畫了8只雞，計算下來共有16只腳，和實際的總腳數相比，少了10只腳。因為1只雞比1只兔少2只腳，于是我就在1只雞上面添加2只腳，將它變成一只兔子，按照同樣的方法變雞為兔，結果我發現，只有將5只雞變成兔時，才能補足缺少的10只腳。于是，我最終確定了兔的只數是5、雞的只數是3。

生3：我和她畫圖的方法剛好相反。如圖2所示，我先畫了8只兔，算出共有32只腳，比實際腳數多了6只。這就說明，兔的只數畫多了，只能通過將其中部分兔變成雞，才能使雞和兔的總腳數變小，又因為1只兔比1只雞多2只腳，我給每只兔子擦去2只腳使它變成雞，這樣一共擦去了3只兔子的總共6只腳，才使結果與條件達成了一致。于是我的結論是，共有5只兔、3只雞。

師：這樣看來，畫圖法似乎比猜測法更為直觀。那么這種辦法是不是最好的方法呢？將它作為最終的解題通用公式，你們意下如何？（學生表示同意）其實，無論是上面的猜測法還是畫圖法，其中都隱含了一種假設的思想：先隨意假設一種情況或假設一種極端情況，再對照條件對假設情況進行調整，使之最終合乎題目中隱含的數量關系，進而得出正確的結果。在畫圖法中，還隱含了一種“極端假設”的思想，就是把籠子里的動物全部假設為一種動物，要么全是雞，要么全是兔。其實，“極端假設”與下面的算術法聯系更為緊密。

接下來，教師板書運用算術法進行計算的過程：（1）先假設全是雞，于是總腳數有8×2=16只，與條件中的總腳數尚有一定距離，尚缺腳數26-16=10只，這說明，籠子中不可能全是雞，還有一部分兔子被誤認成了雞；而1只兔被誤認為1只雞便會少4-2=2只腳，尚缺的10只腳實際來自10÷2=5只兔；于是兔的只數是5，雞的只數是8-5=3。（2）然后也可以假設全是兔……（解題過程略）

教師最后小結“極端假設”思想下例1中雞和兔的只數變化過程及其與二者總腳數之間的對應關系，如表2所示。

數形結合的思想方法在數學教學中有廣泛的應用，通常的應用情形有兩種，一種是“以數解形”，一種是“以形助數”。所謂“以數解形”，指的是借助數的精確性來闡明形的某些屬性；所謂“以形助數”，指的是借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系。基于小學生以具象思維為主的思維特點，“以形助數”在小學數學教學中有著更為廣泛的應用。上面的教學過程，讓學生自己思考解決問題的方法，學生除了運用“假設”的思想方法，運用畫圖法的學生還靈活運用了“以形助數”的數學思想方法。的確，讓學生一下子想到算術法，無異于建筑“空中樓閣”，缺乏學情基礎。在學生自主、合作嘗試以后，教師適時引導，推出算術法便水到渠成了。在學生沒有任何經驗可供借鑒和沒有任何現成模型支撐的前提下，運用常規的猜測法隨機猜測時，教師適時引導學生學會“有序”猜測、合理猜測，在確保總只數為8、總腳數是26的前提下，學會用“漸變”的眼光看待問題，發展邏輯思維，從而為后面算術法的形成建立了思維模型；之后結合學生畫圖法的幾何直觀，通過添加雞的腳數和削減兔的腳數來實現雞和兔之間的“身份”轉換，進一步發展學生的邏輯思維。用列表的方式呈現猜測法和畫圖法的有序思維過程，讓學生聯想到“極限法”，引出“極端假設”思想；從假設全部是兔（8只兔）這個極端情況起，通過不斷增減兩種事物的只數，一直推演到另一個極端（8只雞），便為算術法的形成打下了思維發展的基礎。其實，算術法的出現，就是以極端情況為基準，先計算出極端情況下的總腳數與實際腳數的差，然后基于每只雞和兔的腳數的差，算出極端情況下的總腳數與實際腳數相差的具體量，最終確定雞的只數和兔的只數。顯然，算術法具有更強的抽象性和邏輯性，學生甚至可以根據這個公式計算出任何一道“雞兔同籠”問題。因此，算術法才是數學學習所要追尋的問題解決的基本模型。

二、創設新的問題情境，引導學生基于問題解決基本模型，探索出一些非常規的問題解決思路和方法，進一步培養和發展學生的創新意識和能力

在得出上述問題解決基本模型之后，學生對假設思想有了更深的感悟。教師止步于此，也算初步達成了教學目標。但是，“雞兔同籠”問題的確是一道千古趣題，讓學生從解決此類題目的過程中，沿著“極端假設”的思想更進一步，找到新的解題方法，感受數學問題解決的趣味，是筆者想要達到的另一個教學目標。于是，筆者決定繼續拓展學生的思維，通過創設新的問題情境，將“抬腿法”引入“雞兔同籠”問題的解決，使學生從中體驗到創新思維的樂趣，進一步培養和發展學生的創新意識和能力。

（一）“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問題解決中的應用策略

為了拓展學生的解題思路，筆者向學生講述了“抬腿法”與“多一原理”在“雞兔同籠”問題解決過程中的妙用：草地上有一群雞和一群兔。雞對兔吹噓道：“我們武藝高強，可以做金雞獨立式。”說著每只雞都抬起了1只腳，只用1只腳站著。兔子們也不甘示弱地說道：“這有何難，看看我們的兔子作揖。”說罷，每只兔都抬起了2個前肢。這就是“雞兔同籠”問題中的“抬腿法”。大家可別小看這個“抬腿法”，將它運用在“雞兔同籠”問題解決過程中，可以大大簡化我們的解題步驟。（課件出示“抬腿法”的解題思路，如圖3所示。）在“抬腿法”的解題過程中，潛藏著一種“微妙的數量關系”，我們把它取名為“多一原理”。所謂“多一”，指兩種同類事物相比較，一種事物所含的部件數量與事物本身的個數相等，而另一種事物的相同部件比其數量“多一”。在這種特殊情況下，用兩種事物該部件的總量減去兩種事物總量所得的差，就是所含部件比事物本身的數量“多一”的那種事物的個數。例如，用“抬腿法”解決前面的問題，解題過程便可簡化如下：先假設每只動物都抬起半數的腳，那落在地上的雞和兔的總腳數便變成了26÷2=13只腳；13-8=5，這個5就是兔子的只數；有了兔子的只數，剩下的雞的只數便是8-5=3只了。我們來總結一下：前面的猜測法和畫圖法都是從動物的只數出發，算術法基于“極端假設”思想直接從腿數入手，“抬腿法”同樣是從腿數入手，但因為借用了“抬腿”使腿數減半后兩種動物腿數“多一”的原理而有效避免了兩種動物身份的轉換，巧妙推算出了雞和兔的只數。

作為一種典型的數學問題解決模型，“雞兔同籠”問題可廣泛運用于解決現實生活中有關兩種事物之間的數量關系的比較問題。而這些生活中的問題，在“抬腿”的情況下未必都能剛剛好符合“多一”的情況。比如下面的例題：“田野里有雞和蝴蝶12只，它們的總腿數是44條腿，請問雞和蝴蝶各有多少只？”雖然運用“抬腿法”，讓雞和蝴蝶各抬起一半的腿之后，雞落地的腿數與只數是一一對應關系，但每只蝴蝶落地（或下垂）的腿數則比每只雞落地的腿數多2條（蝴蝶共有6條腿），此時，用44÷2后可得到22，22-12后得到10，這個10仍然是多出的蝴蝶的腿數，因為雞的腿數已經全部減掉，那么此時的10條腿不能代表蝴蝶的數量，必須再除以2，運用10÷2=5算出蝴蝶的只數。在該問題的解決過程中，蝴蝶與雞“抬腿”后的腿數差雖然不是“多一”而是“多二”，但依然可以運用“多一原理”，先排除雞的腿數，然后算出蝴蝶的只數5，再由蝴蝶只數推算出雞的只數12-5=7只。也就是說，依此類推，“多一原理”依然可以與“抬腿法”相配合，無論是“多三”“多四”，都可以推算出兩種相關事物之間的數量關系。

（二）組織學生靈活運用“抬腿法”和“多一原理”，巧妙解決生活中兩種事物之間數量關系比較的現實問題

在現實生活中，符合“多一原理”的問題并不多見，這個時候便需要學生學會靈活變通，人為制造出“多一”的特效，將復雜的數學問題簡單化，使較難解決的問題在“多一原理”的支持下迎刃而解。

例如，課堂教學中，筆者出示了下面的例題：30名職工共同制作新年賀卡80張，男職工每人制作3張，女職工每人制作2張，請問男、女職工各幾人？

乍一看，這道題的題干里根本不含“多一”的元素，但仔細分析就會發現：如果用賀卡的總張數除以2，女職工的人數和她們制作的賀卡數就相等，男職工每人對應的賀卡張數就由原來的2張縮減至1.5張，在“一人一卡”的基礎上，每個男職工就會多出半張，即在一人一卡的基礎上，每多出0.5張賀卡，就代表著存在一名男職工。于是，該題的解題過程如下：80÷2=40（張）；40-30=10（張）；10÷0.5=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

當然，還可以換一種方式運用“多一原理”：第一步不用總賀卡數除以2，而是把每名職工制作新年賀卡的張數都減去1，解答會更簡單。如果把每名職工制作新年賀卡的張數都減少1，則：女職工每人制作賀卡1張，賀卡數量和人數形成了一一對應關系；男職工每人制作賀卡2張，制作的新年賀卡數就比人數“多1”，在“一人一卡”的基礎上卡數比人數多了幾張，就代表著存在幾名男職工。解題過程如下：80-30=50（張）；50-30=20（名男職工）；30-20=10（名女職工）。

由上面的例題，可以總結出“多一原理”應用的核心是實現某種事物的數量與其某個部件數量的一一對應，而另一種事物與其某個相同部件的數量既可以“多一”，也可以“多二”“多三”“多四”……實現一一對應的方法，既可以運用除法的方式來制造，也可以運用減法的方式。需要說明的是，在完成“一一對應”關系的制造后，總數一定要隨之發生變化：如果用的是除法，總數就要縮小相應的倍數；如果用的是減法，總數也要核減相應的數量，這才是“多一原理”運用中變與不變的核心思想。也就是說，無論現實的情況如何，都可以制造出一個事物的一一對應，但是，大前提是兩種事物的某個特定部件在數量上形成了一定的比例關系。條件再次放寬，也就是滿足這個條件的問題，都可以轉化為“雞兔同籠”問題。

總之，教師要善于創造機會和平臺，引導學生在數學學習的過程中樹立創新意識，學會融會貫通，激發思維的靈活性，培養和發展創新思維能力。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介：黃春蓮（1979— ），廣西博白人，本科，一級教師，主要研究方向為小學數學教育。

（責編 白聰敏）