基于思維進階的[v-t]圖像斜率教學設計

王良繼

［摘 要］文章以[v-t]圖像斜率教學為例，精準劃分五級學習臺階，探索應用學習進階理論，設計教學路徑，突破教學難點，使學生的思維水平得到較大的提升。

［關鍵詞］思維進階；[v-t]圖像斜率；教學設計

［中圖分類號］ ? ?G633.7 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0064-03

學習進階理論認為，學生對某一主題的學習不是一蹴而就的，需要經歷進階起點和許多不同的中間水平，然后到達進階終點。進階過程重視學生的深度思考，尋找最佳的教學模式，可以促進各級水平“進階”的發生。

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》在“運動學圖像”方面有這樣的內容要求：“理解位移、速度和加速度。通過實驗，探究勻變速直線運動的特點，能用公式、圖像等方法描述勻變速直線運動，理解勻變速直線運動的規律，能運用其解決實際問題，體會科學思維中的抽象方法和物理問題研究中的極限方法。”[v-t]圖像是運動學圖像的重要組成部分，學生對[v-t]圖像的掌握情況，則是衡量學生理解掌握運動學知識好壞的標志。對[v-t]圖像的學習，包含了圖像的“點、線、斜、截、面”等要素。

本文以[v-t]圖像斜率教學為例，精準劃分五級學習臺階，探索應用學習進階理論，設計教學路徑，突破教學難點，促使學生的思維水平躍升。

一、初階水平——數學圖像的斜率認知

高一學生的思維尚停留在初中階段的認知淺表層面，對數學圖像的斜率概念與意義的認識水平也是參差不齊。筆者在組織教學時，首先復習這一內容，旨在讓所有學生不會因為數學基礎缺失而造成物理學習缺位。如圖1所示，在[xOy]坐標系中，直線[QP]的斜率[k=OPOQ]，需要強調的是：這里的斜率是兩條線段的實際長度之比。高一學生的思維延續了初中階段直觀形象的思維特點，經過這樣的復習，學生對數學圖像斜率就有了清晰的感性認識，就是它等于兩條線段的實際長度之比。這就為物理圖像斜率的學習打下了基礎。

二、次階水平——[ v-t]圖像的斜率教學

物理必修第一冊教材中的原文：物體運動的速度隨時間變化的情況可以用圖像來直觀表示。以時間[t]為橫軸，速度[v]為縱軸，坐標系中的圖像即為速度—時間圖像或[v-t]圖像。

圖2中的兩條直線[a]、[b]分別是兩個物體[A]和[B]的[v-t]圖像，[E]、[F]兩點所表示的時刻和速度分別為[t1]、[t2]和[v1]、[v2]。從圖中可以看出，小三角形的一條直角邊代表時間間隔[Δt]，另一條直角邊代表速度的變化量[Δv]，[Δv]與[Δt]的比為加速度大小，其比值為該直線的斜率。因此，由[v-t]圖像的傾斜程度可以判斷加速度的大小，所以由圖2可知物體[A]的加速度比物體[B]的加速度大。

鑒于此處學生接受難度較大，筆者教學時做如下設計：①用數軸描述時間和速度，先畫一條帶有箭頭的線段，再選定一定的標度，即具體用多長的線段來表示1 s和[1 ms]的大小；②將兩個維度的數軸畫到一幅圖中，同時強調：[v-t]圖像中坐標軸反映的是速度和時間的大小，不是幾何長度大小，兩個坐標軸能獨立描述各自物理量的數量特征，這里是借助數學坐標系將兩數軸結合起來，建立速度隨時間變化的關系圖。因此，直線的斜率不是線段實際幾何長度之比，而是其代表的速度[v]和時間[t]大小的數值之比。圖中實際長度是依據比例標度畫出的，旨在將數量關系用幾何圖形直觀表示出來。斜率意義在于描述了[v]隨[t]變化的快慢程度，計算時只能用直線上兩點的縱、橫坐標量值計算，具體用兩點的縱坐標之差與橫坐標之差的比值。

學到這里，學生知道數學圖像斜率和物理圖像斜率既有關聯又有區別，能夠基本掌握[v-t]圖像斜率的意義與計算方法，從知識層面跨越了思維的一級臺階。

從數學圖像的斜率的學習過渡到[v-t]圖像斜率的學習，經歷了由具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡，思維層次得到了大幅提升。

三、中階水平——[ v-t]圖像斜率的簡單運用

數學圖像的斜率可用直線傾角正切表示，而[v-t]圖像斜率則不可用這種方法計算，原因是同一大小量值采用不同比例標度作出的直線傾角是不同的。如圖3所示，某個物體的[v-t]圖像，采用不同的比例標度，可以讓傾角[α]為[30°]，也可以為[40°]，甚至是[50°]，因此這種計算法不可取。

學到這里，學生提出這樣的問題：對于一條直線，傾角沒有意義，對于兩條不同的直線有無意義呢？面對學生提出的問題，教師和學生一起做如下討論：①在不同坐標系中，由于采用的比例標度不一定相同，傾角不能反映兩個物理量的變化快慢；②在同一坐標系中，由于采用的是同一比例標度，故傾角相對大小能夠反映兩個物理量的變化快慢，如圖2中直線[a]的傾角比直線[b]的傾角大，故其斜率就大，加速度也就大；③在同一坐標系中，若已知兩條直線的傾角數值，其正切比值有無意義呢？答案是“有意義”，其比值等于加速度之比。由于采用的是同一標度，兩個不同小直角三角形同一橫邊的實際長度之比等于時間[t]量值之比，同一縱邊的實際長度之比也等于速度[v]量值之比，由此可以得到兩直線實際傾角正切比值等于加速度之比。

四、高階水平—— [v-t]圖像三種斜率的意義

以上討論的是直線圖像，學生基本理解和掌握了圖像斜率的意義，在學生學習興頭正盛時，筆者適時引出問題：“如果某個物體的[v-t]圖像是一條曲線，又該如何理解圖像斜率的意義呢？”

在學生理解直線圖像斜率的基礎上，教學曲線斜率時，可在曲線上選取不同的點，連線得到不同的直線，此時教師應和學生一同探究取點方式，得到以下結果：圖線上一點與坐標原點連線，這是最簡單也是最特殊的直線，理解其意義難度不大但很重要；圖線上任意兩點連成的直線；過圖像上任一點的切線。接下來分析各自斜率的意義。

（1）如圖4所示，圖像上的點與原點連線的斜率等于這一過程的[Δv]與[Δt]之比，表示的是[t]時間內的平均加速度，也就是從速度變化的實際效果出發，[t]時間內可以用與原點連線這一勻加速等效代替曲線所表示的變加速。

（2）如圖5所示，圖像上任意兩點連線的斜率等于這兩點間[Δv]與[Δt]之比，表示這段時間內的平均加速度，其意義與（1）相同。A與B連線斜率則表示[t1]到[t2]這段時間內的平均加速度，從速度變化的實際效果出發， [t1]到[t2]這段時間內可以用[A]與[B]連線這一勻加速等效代替這段曲線所表示的變加速。

（3）曲線圖像上過某點的切線斜率表示該時刻的瞬時加速度。圖6中的過[P]點的切線[PQ]的斜率表示[t0]時刻的加速度，具體可以用極限思想來理解，即在圖像上另取一點無限接近[P]點，[Δv]與[Δt]無限趨近于零，此時兩者比值即等于切線的斜率。

拓展：學生學完之后，會不假思索地認為只要縱軸表示速度，橫軸表示時間，直線圖像斜率就表示加速度。筆者立即提出問題：在勻變速直線運動的圖像中，若橫軸表示時間[t]，縱軸表示位移與時間的比值[st]，那么其斜率的意義是什么？這時學生可能認為，縱軸表示速度，橫軸依然是時間，故斜率仍然表示加速度。經過一番討論后，筆者與學生一起分析如下：勻變速直線運動的位移與時間關系式為[s=v0t+12at2]，兩邊同除以[t]得[st=v0+12at]，從結果可以看出[st-t]圖像是一條傾斜直線，斜率等于[12a]，而不是直接表示加速度[a]，其原因是因為縱軸對應的不是瞬時速度，而是平均速度。討論后筆者和學生一起總結：要想搞清縱、橫坐標軸之間的具體關系，若不能依據定義直接得出，則需要從有關物理公式出發，進行簡單的數學變形，得出兩坐標軸表示的物理量之間的具體關系式，根據斜率和截距求所要求的物理量。

通過[v-t]圖像三種斜率的意義的學習，學生思維的靈活性得到了訓練。學生學到這里，頗感收獲滿滿，少數學生甚至飄飄然，以為只要出現圖像的斜率就都能理解，斜率都表示一個物理量隨時間變化的關系，為了不讓學生驕傲自滿，筆者此時不失時機地加以引導，提出探究問題：“如果橫軸不表示時間又當如何呢？”

五、從[v-t]圖像向其他圖像延伸與終階水平—— [v-t]斜率向其他要素的延展

（一）從[v-t]圖像向其他圖像延伸

從[v-t]圖像斜率的學習可以看出，斜率共分為兩種，一種是與原點連線斜率，等于縱、橫坐標之比；另一種是切線斜率，等于縱、橫坐標變化量之比，意義是不一樣的。如果不是[v-t]圖像，而是其他形式的圖像，斜率意義又當如何呢？下面以[U-I]圖像為例，談談其斜率問題。

如圖7所示，圖中[P]點與原點連線的斜率等于 [U0 ?I0]，也就是等于電阻[R]，而曲線上點的切線斜率則沒有意義，曲線上各點與原點連線斜率增大，表示隨電流[I]增大電阻[R]增大。

若[U-I]圖像是如圖8所示的直線，則是電源的特征圖像，其斜率也是有意義的，由[U=E-Ir]可得[ΔUΔI=-r]，表示的是縱軸變化量與橫軸變化量的比值，即電源內阻[r]的負值。

圖像斜率有無意義，意義如何，取決于縱、橫坐標軸所表示的物理量之間有無關系，遵循什么物理規律，其變化量之比有無意義，可以從規律中找尋。

高中學生在尋找物理圖像斜率意義時，往往習慣于直接找尋其關系，這樣往往會受物理量表面關系干擾，誤入歧途。教師教學時一定要讓學生懂得物理圖像是用來描述物理規律的，縱、橫軸表示的物理量之間關系如何，取決于其遵循什么樣的物理規律，解決問題時需從物理規律出發，然后基于規律找尋兩坐標軸表示的物理量之間的數量關系。

（二）[v-t]圖像斜率向其他要素延展

在圖像的“點、線、斜、截、面”五要素中，斜率和面積是學生學習的難點。教材在討論面積問題時，首先從勻速直線運動出發，由公式得[s=vt]，再結合[v-t]圖像得出圖像與橫軸所圍成的面積表示位移，需要強調的是這里的面積是數值面積。在此基礎上再討論勻變速直線運動的位移，雖然勻變速直線運動的位移公式不再是[s=vt]，但是可以通過微元法化變為恒，對時間微分，在每一微元過程里變速可近似處理成勻速，其中圖像與橫軸所圍成的面積就能表示該微過程位移，然后再對每一微過程的位移求和即可得全過程位移，在[v-t]圖像中就表現為圖像與橫軸所圍成的面積等于這一過程中的位移。

學生在學習過程中都能理解和接受，但是不能將面積的來龍去脈遷移到其他運動學圖像和其他物理圖像中去，這時需要教師強調面積的意義，分析面積的來龍去脈。例如，在[a-t]圖像中，學生會認為圖像與橫軸所圍成的面積表示速度，一問為什么？多數學生啞口無言，說明學生是瞎蒙的。教師教學時，首先要求學生回顧勻變速直線運動的位移與時間關系式的推導過程，順著該推導過程提出以下漸進問題：若為勻變速直線運動，[a-t]圖像是什么曲線？這一曲線與[t]軸圍成的數值面積有無意義？若有，意義是什么？若[a-t]圖像是傾斜直線，如何探索面積的意義？學生在這一連串問題引導下終于明白[a-t]圖像中圖像與橫軸所圍成的面積不再表示速度，而是表示速度的變化量[Δv]，并能正確計算出面積。在此基礎上，進一步提出問題：若是其他圖像，如何確定面積有無意義？有的學生回答：只需要將縱軸表示的物理量與橫軸表示的物理量的乘積找出來看有無異議即可，具體可按上述過程分析。

通過從[v-t]圖像向其他圖像的斜率教學延伸和[v-t]圖像斜率向其他要素的教學延展，學生思維的廣闊性得到了很好的培養，長此以往，學生的學習能力也會隨之發展。

高中階段是學生形成物理思想，提升思維能力的重要階段。本文以[v-t]圖像斜率教學為例，設計了如圖9所示的教學路徑，促使學生的思維進階，訓練了學生思維的深刻性、靈活性和批判性。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準：2017年版2020年修訂［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中教科書物理必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ ?胡衛雄.核心素養導向下的進階式復習課教學設計：以“電勢差與電場強度的關系”為例［J］.中學物理教學參考，2020，49（22）：26-30.

（責任編輯 易志毅）