大單元視角下的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究

施維

【摘要】大單元視角下，教師應(yīng)如何貫徹落實對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，進而建立數(shù)學(xué)模型，以及如何落實探究式教學(xué)，本文借助教材中的三角函數(shù)與楊輝三角進行一些研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；大單元教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）（以下簡稱《新標(biāo)準(zhǔn)》）中把函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動作為高中數(shù)學(xué)知識的四條主線內(nèi)容，這四條主線與初中數(shù)學(xué)中的四條主線相一致，知識難度呈螺旋狀上升，增加了預(yù)備知識.這四條主線與預(yù)備知識和數(shù)學(xué)文化間的基本關(guān)系如圖1.

《新標(biāo)準(zhǔn)》中提出六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)是指通過對現(xiàn)實生活中的實際問題進行數(shù)學(xué)抽象，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表征問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型從而解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)探究活動是指圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題開展自主探究、合作研究并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程.數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與實踐能力，同時學(xué)以致用，體會數(shù)學(xué)來源于生活又可以運用于生活中，從而使數(shù)學(xué)與生活不再脫節(jié).

1 大單元的框架結(jié)構(gòu)下進行的數(shù)學(xué)探究活動和數(shù)學(xué)建模

新教材在設(shè)計時，知識符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用螺旋上升的方式編排，在各個主線的研究過程中很注意整體性，以及前后知識之間的上下位關(guān)系.例如，在函數(shù)主線中，要解決函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、基本函數(shù)類、函數(shù)的應(yīng)用、思想和方法.例如，在前面幾節(jié)介紹完函數(shù)的概念、性質(zhì)以后給出冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過前面一直貫穿的數(shù)形結(jié)合思想來研究冪函數(shù)的性質(zhì)，為后來學(xué)習(xí)其他幾種函數(shù)提供了方法支持.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)都存在增函數(shù)的情況.

例如 以一次函數(shù)y=kx（k>0）、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）、對數(shù)函數(shù)y=logax（a>1）為例來研究三種函數(shù)的差異，而這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.接下來分析三種不同函數(shù)的增長方式，以便用不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實生活中的變化規(guī)律.刻畫循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始規(guī)律的最典型的函數(shù)模型就是三角函數(shù).而具有周而復(fù)始變化規(guī)律最典型、最熟悉的模型就是勻速圓周運動，接下來在整個三角函數(shù)一章始終貫穿用單位圓來研究三角函數(shù)，借助圓來研究三角函數(shù)就是這一章節(jié)的主線，通過這些可以看出教材的設(shè)計很注重整體性和連貫性.

在三角函數(shù)部分，開頭就用圓周運動引入，整個章節(jié)通過單位圓定義三角函數(shù)的概念，也是通過單位圓來研究三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩角差與和的正弦余弦公式等，以便于學(xué)生理解三角函數(shù)是用來刻畫周而復(fù)始現(xiàn)象的.再來回歸現(xiàn)實解決問題，通過對筒車模型的研究，一是把數(shù)學(xué)與中國古代人們的智慧結(jié)晶相結(jié)合；二是便于學(xué)生理解y=rsinωx+φ+h中各個字母的含義，為接下來進行的數(shù)學(xué)探究A，ω，φ對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響奠定認(rèn)知基礎(chǔ).最后研究了生活中常見的一些三角函數(shù)可以刻畫的模型，如彈簧振子、交變電流、潮汐現(xiàn)象等.又把數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來，整個章節(jié)的構(gòu)想具有整體性，且具有生活氣息，使數(shù)學(xué)活了起來.

2 數(shù)學(xué)建模和探究式教學(xué)所遵循的原則

2.1 自主探究與小組合作相結(jié)合的原則

數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模的意義在于培養(yǎng)學(xué)生成為全面可持續(xù)發(fā)展的人，教學(xué)過程中要充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，必須先自主探究和獨立思考，再進行小組討論，經(jīng)過小組整合以后，整理提出的問題，進而尋求解決問題的辦法.

2.2 以問題為主線的原則

探究式教學(xué)是以學(xué)生自主思考、合作探究為主的教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模也是由學(xué)生為主體的活動，必須貫徹教師是課堂的引導(dǎo)者，以問題引導(dǎo)的方式保證學(xué)生課堂主體的地位.好的問題是高效課堂的保障，學(xué)生想在有限的課堂教學(xué)時間內(nèi)完成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動，教師一定要進行充分的備課，了解學(xué)情，設(shè)計一系列引導(dǎo)性的問題串，在學(xué)生理解困難處和疑惑處搭建腳手架，使學(xué)生可以“跳一跳，摘個桃”，也就是問題的設(shè)計要符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).同時，課堂中教師要隨時注意學(xué)生提出的問題，學(xué)生想到的問題可能不是正確的，但這就是學(xué)習(xí)的過程，符合桑代克提出的試誤——聯(lián)結(jié)學(xué)習(xí)理論，犯錯證實學(xué)習(xí)在真實地發(fā)生.學(xué)生提出問題（哪怕是錯的）比解決問題來得更為重要，能發(fā)現(xiàn)問題才是教育的最終目的.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修三第六章最后一節(jié)“數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”中可以設(shè)計如下問題串.

問題1 對比二項式系數(shù)表與楊輝三角，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問1 請同學(xué)們觀察這兩個數(shù)表，你能把二項式系數(shù)表與楊輝三角統(tǒng)一起來嗎？

結(jié)合教材中的兩個圖，可以發(fā)現(xiàn)楊輝三角比二項展開式多了一行，把第一行記為第0行，則楊輝三角的第n行的第r個數(shù)可以表示為Cr－1n，第n行就是（a+b）n的展開式的二項式系數(shù).

問題2 先從整體觀察楊輝三角中數(shù)字的結(jié)構(gòu)，即楊輝三角這一數(shù)字三角形中數(shù)字排列的規(guī)律.

追問1 再細(xì)致地觀察每一行、相鄰兩行、斜行等的規(guī)律.

追問2 通過畫一畫、連一連、算一算這樣的數(shù)學(xué)實驗，驗算一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

追問3 寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，這些結(jié)論能否用組合數(shù)表示？

通過問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生逐步地學(xué)會數(shù)學(xué)探究的方法，先是表征問題，然后就是帶著問題，觀察、思考、分析，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、歸納和猜想，再到推理和論證，這就是一個完整的數(shù)學(xué)探究過程.帶著問題使課堂更高效，這節(jié)課教學(xué)的重點是教會學(xué)生數(shù)表的探究方法.通過本節(jié)課，學(xué)生知道數(shù)學(xué)探究要觀察，可以先整體再局部，先猜想再論證，先類比模仿再創(chuàng)新實踐.

2.3 以信息技術(shù)輔助教學(xué)

人類已經(jīng)進入大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域和應(yīng)用范圍得到的拓展，數(shù)學(xué)直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產(chǎn)力的發(fā)展.同時信息技術(shù)的發(fā)展也能反哺數(shù)學(xué)的研究與教學(xué)，讓數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動變得生動和有趣.直接的優(yōu)勢就是：計算機將數(shù)學(xué)建模問題和數(shù)學(xué)探究的求解變得異常直觀、清晰、透徹.這也符合大數(shù)據(jù)時代數(shù)學(xué)的經(jīng)濟價值和應(yīng)用價值，同時信息技術(shù)反作用于數(shù)學(xué)研究.

例如 高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊5.6.1勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型，通過筒車模型進行的數(shù)學(xué)建模活動，可以通過GGB軟件把模型簡化.

通過對幾何圖形的研究很容易把實際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進而解決數(shù)學(xué)問題，進一步引入、建構(gòu)函數(shù)模型問題，經(jīng)歷的過程如圖2.

同樣地，在數(shù)學(xué)探究過程中，由于數(shù)學(xué)太抽象，配以動態(tài)的信息技術(shù)手段能使問題變得生動，學(xué)生不光可以聽見還可以看見，甚至動手操作，這樣數(shù)學(xué)探究的難度就會降低，如在5.6.2函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中可以通過幾何畫板或者GGB軟件來演示三個參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響.

2.4 充分考慮學(xué)生的學(xué)情

《新標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)也是教育的重要部分，其根本任務(wù)也是立德樹人，最終要實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同程度的發(fā)展的目的.而數(shù)學(xué)探究活動和數(shù)學(xué)建模活動就是實現(xiàn)這一目標(biāo)的有效抓手，數(shù)學(xué)探究活動和數(shù)學(xué)建模都是以自主探究和小組合作來進行的.

例如 在高中人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修三中，對楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用一節(jié)的數(shù)學(xué)探究，先進行自主思考，對數(shù)表的探究是個比較簡單的任務(wù)，就是學(xué)生很喜歡的找規(guī)律，使每個學(xué)生都能思有所得，從而實現(xiàn)每個人都能學(xué)有所得.再進行小組交流，在思辨討論中知識產(chǎn)生了，語言表達能力提高了，思維得以碰撞，眼界得以開闊.在分組時充分考慮學(xué)情，采用組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)的原則分組.小組交流時每個同學(xué)提出自己的意見，經(jīng)過小組分析、辯論以后產(chǎn)生的才是知識.小組在激烈討論時，以及全班同學(xué)共同研討時，實際上就是在進行頭腦風(fēng)暴，就是創(chuàng)造性思維訓(xùn)練，最后就能實現(xiàn)對創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

3 數(shù)學(xué)探究活動、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化一脈相承

楊輝三角是我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，教科書因為楊輝三角在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)思維上的價值（人們研究數(shù)表由一行到多行，一兩條性質(zhì)到一系列性質(zhì)，從個別到系統(tǒng)，都體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的獲得過程，即由淺入深，由特殊到一般，通過楊輝三角的研究先整體再到局部，由觀察到歸納到猜想論證，體現(xiàn)了完整的數(shù)學(xué)探究的過程），又具有審美價值和具有多元化的特性（中國、歐洲、阿拉伯等地的眾多數(shù)學(xué)家都曾研究和應(yīng)用它），對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、開闊眼界有重要價值，從而設(shè)置了數(shù)學(xué)探究欄目，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究活動提高認(rèn)識的同時，全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以此培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和一探究竟的興趣.

例如 在高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊“5.6.1勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型”一節(jié)中，筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝的徐光啟就對筒車模型做過研究，而且畫出了工作原理圖，這里向?qū)W生呈現(xiàn)我國古代勞動人民的智慧結(jié)晶，吸引學(xué)生注意力，同時使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣.

窺一斑而見全豹，在課本中貫穿很多數(shù)學(xué)文化知識，同時將數(shù)學(xué)探究與學(xué)生建模結(jié)合起來，使學(xué)生產(chǎn)生民族自豪感的同時，引起學(xué)生的興趣，并開闊學(xué)生的眼界，使其理解數(shù)學(xué)來源于生活，又能服務(wù)于生活.

4 數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模與生活息息相關(guān)

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動與生活息息相關(guān)，可以從生活中得到課題，如研究豬肉的化凍時間與溫度的關(guān)系、跑步時體重與最佳燃脂心率的關(guān)系、鞋碼與身高的關(guān)系，等等.生活中處處有數(shù)學(xué)，在運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合的能力，拓展知識面，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，同時增強創(chuàng)新意識和實踐能力.

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)探究活動與數(shù)學(xué)建模活動不是單獨存在的，依托于整個教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體設(shè)計，即大單元的結(jié)構(gòu)，以某種知識脈絡(luò)為主線，串聯(lián)所有知識，抽絲剝繭從知識的發(fā)生發(fā)展娓娓道來，依托數(shù)學(xué)文化建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生體會生活與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)，同時可以開闊學(xué)生眼界，以模型為依托進行數(shù)學(xué)探究活動，感悟數(shù)學(xué)來源于生活.理論運用于實踐，從知識內(nèi)化為能力……這樣行云流水般的設(shè)計使數(shù)學(xué)大單元的結(jié)構(gòu)渾然天成，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動穿插其中是知其然的過程，也是知其所以然的過程.

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