參數方程在圓錐曲線教學中的應用

【摘要】本文論述參數方程知識對解決圓錐曲線問題的積極意義，分析參數方程知識與圓錐曲線知識的結合點，并通過高考真題、高三年級模擬試題的分析，闡述利用參數方程解決坐標變換、橢圓的范圍、兩點間距離等問題的方法。

【關鍵詞】參數方程 圓錐曲線 教學應用

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）11-0121-06

在高中階段，平面解析幾何包含直線與圓、圓錐曲線、坐標系與參數方程等內容。在高中數學教材中，直線與圓、圓錐曲線是平面解析幾何的主要內容，參數方程則是選講內容。雖然這幾部分內容同屬于平面解析幾何知識，但在教材中的分布比較分散，且在高考中對參數方程知識的考查通常是通過選做題考查，這導致不少學生將參數方程知識與平面幾何知識割裂開來，尤其是在學習圓錐曲線知識時，不少學生不懂運用參數方程知識解決圓錐曲線的問題，致使學習效率低。因此，筆者認為，在圓錐曲線知識教學中，教師應向學生詳細講解參數方程知識，從而促進學生數學聯想能力和解題能力的全面發展。

一、參數方程知識對解決圓錐曲線問題的積極意義

（一）參數方程在解決坐標變換問題中的作用

坐標變換問題是學習圓錐曲線知識的難點問題，解決這一問題的常規方法是相關點法，采用這個方法的難點如下：一為是設所求點為（x，y），還是設已知點為（x，y）；二為是用已知點的坐標表示所求點的坐標，還是用所求點的坐標表示已知點的坐標；三為容易與函數平移“左加右減，上加下減”的知識點混淆。

參數方程有一個區別于普通方程的重要特征：已知曲線參數方程的形式，可以得到曲線上點的坐標的形式，即若曲線的參數方程為[x=f（t）y=g（t）]，則曲線上任意一點均可表示為（f（t），g（t））。也就是說，要確定曲線上某點的坐標，只要確定這個點所對應的參數值即可。因此，我們可以利用參數方程的這個重要特征解決坐標變換問題，得出所求點的參數方程，再消去參數得到普通方程，這讓解題變得更為直觀且不易出錯。

（二）參數方程在解決兩個變量問題中的作用

圓和橢圓是圓錐曲線中常見的圖形，也是高考考查的熱點。圓的參數方程和橢圓的參數方程都可以利用平方關系“sin2[α]+cos2[α]=1”進行三角換元得到，因此用參數方程設出圓或橢圓上的點相較于用常規方法設點更為容易。

二、參數方程知識與圓錐曲線知識的結合點

在解決圓錐曲線問題時，采用常規方法會涉及兩個變量，這對學生來說無疑會增加解題難度。而參數方程只有一個變量，學生不用考慮多種不確定情形，就能有效減少出錯的情況。為了使學生更清楚參數方程與圓錐曲線的關系，筆者歸納出參數方程知識與圓錐曲線知識的四個結合點。

由以上四點可以看出，在一些與曲線參數方程的形式或幾何意義有關的問題中，使用參數方程設點，具有使問題變得直觀明了、減少運算量、提高正答率的作用。

三、運用參數方程知識解決圓錐曲線問題的策略

（一）利用參數方程解決坐標變換的問題

由此可見，用參數方程解決坐標變換問題，可大大降低錯誤率，并且在解題過程中不必考慮參數是否具有幾何意義。另外，我們還需要掌握常見的曲線方程化為參數方程的方法有三種：一是在圓、橢圓、雙曲線中利用平方關系進行三角換元；二是在直線方程中可令其中一個元為t，代入方程求解出另一個元；三是在拋物線的標準方程中，可令二次項為2pt，代入方程求解一次項，這樣可避免開方帶來的正負問題。

（二）利用參數方程解決橢圓的范圍問題

解決這道例題的常規方法是代入、消元，然后將問題轉化為二次函數求值域問題，其難點是消元，易錯點是忽略[x0]的范圍。直接用橢圓的參數方程設點，然后將問題轉化為二次函數求值域問題，并且在換元過程中不容易忽略范圍，從而避免了失誤。

（三）利用橢圓的參數方程和圓的參數方程解決兩點間距離的問題

由橢圓的參數方程和圓的參數方程的形式可知，橢圓或圓上任意一點都可以用只含有[α]的三角函數來表示，因此在解決兩點間距離的問題時，善用圓或橢圓的參數方程設點可減小運算量。教學操作要點如下：①根據題意用圓或者橢圓的參數方程設點；②代入兩點間距離公式。

由以上例子可見，由于橢圓和圓的參數方程都只有一個變量，用于設點解題可減少變量個數，從而減少運算量，提高解題正確率。在平時的教學中，教師要有意識地將橢圓或圓的參數方程和圓錐曲線聯系起來，拓寬學生的解題思路。

（四）利用直線的參數方程解決“有一個公共端點且共線的兩線段的長之和或積”的問題

以上三道例題的共同特點是：已知一條直線與圓錐曲線交于不同的兩點，所求為與兩線段的長之和或積相關，其中這兩條線段的一個共同端點為直線上一點（可已知可未知），另一個端點為直線與圓錐曲線的交點，有這個特征就可以用直線參數方程中參數的幾何意義解題。解答過程中要求學生數形結合，注意直線所過定點是在圓錐曲線內部還是外部，是否要求判別式大于0。

解析幾何是指用代數的方法研究幾何圖形的性質，教師在教學過程中要幫助學生構建完整的解析幾何的知識體系，學生在學習過程中也不能將選修4-4與整個解析幾何體系割裂開來。通過這樣的教學，可以使學生對參數方程及其中參數的幾何意義有充分的理解，加深學生對參數方程的理解，從而能夠充分發揮參數方程的解題優勢，學會從參數方程的角度去審視問題，不斷增強思維的綜合性和靈活性，從而不斷提高解題的準確率。

參考文獻

［1］課程教材研究所、中學數學課程教材研究中心編著.坐標系與參數方程［M］.北京：人民教育出版社，2005.

［2］李仕魁.一道極坐標、參數方程視角下的橢圓高考題［J］.數理化解題研究，2022（1）.

作者簡介：張薇（1986— ），廣西合浦人，一級教師，主要研究方向為高中數學解題思想方法及教學策略。

（責編 蒙秀溪）