高中數學函數性質復習課授課研究

陳余杰

【摘要】函數在高中數學中占據著重要位置，函數內容主要包含概念、圖象和性質.其中函數思想是基于內容所進行的深入總結和提煉，從整體層面來考量問題，也是高考中的核心內容.筆者從函數性質著手，研究函數性質復習課的具體授課策略，希望可提升教學成效，幫助學生走出學習困境，增強數學素養.

【關鍵詞】高中數學；函數性質；課堂教學

函數的歷史可以追溯到大約2500年前，歷經漫長的演變和發展，其在數學領域一直占據著核心位置.教育部出臺的數學課程標準中指明了函數概念于數學活動中發揮的作用，指出函數思想方法存在于整個數學課程，為此，函數教學引起了社會各界的高度關注，而本文關于函數問題的研究具有重要的意義.

1 高中函數復習現存問題

1.1 解題思維停滯

函數性質問題大多入口寬、易上手，但實際解題過程，非常容易讓學生的思維限于某處.如何找到教學難點并將其攻破是當前數學教學亟待解決的.針對學生面對某些函數性質問題不知從何下手，筆者試圖將上述問題轉變為多樣化的課堂活動，并打造模式引領，幫助學生舉一反三，以此增強數學核心素養.

1.2 同類錯誤反復出現

當前，高三復習課以“教師講、學生聽”為主要的模式，教師提供正確解法，當學生遇到同類問題時，原有想法雖然缺少邏輯性，但印象深刻，然而這樣也容易忽視學生的易錯點，致使某些錯誤不斷出現.為此，實際教學中，務必提供機會讓學生分析探索，找到錯誤的根源.

1.3 在問題本質理解中缺少深度

函數表達式較為多樣，函數性質問題在學生思維方面提出了較高的要求，學生可能會因缺少解題經驗與思想方法而無從下手，產生此類問題的根源是學生在函數問題本質方面缺少認識，未真正弄清形和數之間的轉化.

2 高中函數復習課授課策略

2.1 重視基礎概念，明確函數本質屬性

分析函數概念的發展史可知，從最初的物體運動等規律得到具體函數，隨后從具體函數得到一般函數概念，逐步修訂.然而，無論怎樣演變和修訂，函數知識點都是圍繞本質屬性展開，首先應明確定義域、對應關系與值域這三個要素，上述三要素均是非空數集，其定義域是基礎，所屬關系利用解析式加以表示，值域經由定義域與對應關系加以確認.在新課標中，映射和函數之間的安排引發了熱議，函數概念在先，隨后介紹映射概念，然而，筆者認為這在某種程度上會讓學生在函數概念對應關系認知中出現模糊的問題，因為映射主要用來定義函數內涵，從映射著手學習函數，能夠強化初中函數知識點，并能為后期反函數學習奠定基礎，先捋順映射概念，再強化函數基礎概念學習，幫助學生正確認識函數，還會深化在函數本質屬性方面的學習.

2.2 找到解題依據，回顧背后原因

學生的思考源自疑問，而疑問源自錯誤，經由解題過程的反思，將解題環節的審題、分析與依據參照特定規律與順序加以呈現，全面交流、深入互動，提高數學學習熱情，增強數學表達能力，讓學生進一步認知數學概念.同時，此種交流方式不僅能強化師生智慧和能力之間的互補，而且能深化師生情感溝通.

例1 求f（x）=2sin2x+π3，x∈0，π2的最大值與最小值.

學生實際解答中表現出錯誤，看似是因為學生未明確f（x）=Asin（ωx+φ）的關聯知識，無法畫出對應的圖象，從本質層面來說是學生無法應用復合函數單調性來完成函數最值的求解.基于這一情況，教師可讓學生制作函數f（x）=2sin2x+π3，x∈0，π2的圖象，并觀察學生是否能夠獨立完成制作.個別學生借助端點求解最值，然而，找不到依據，教師可經由“為什么f（0）是最小值”加以追問，帶領學生利用函數單調性完成最值的求解.在回憶解題依據時，學生逐步反思各個解題步驟，保證有據可查，以此強化各個知識點的內部關聯，增強學生的邏輯思維.

2.3 勾畫思維導圖，沖破思維束縛

函數性質包含較多內容，在學生邏輯推理能力方面提出了較高的要求，要求學生捋順知識點，在知識點之間建立關聯，全面構建知識網絡，其中思維導圖勾畫是一個可行的策略.思維導圖勾畫可將各個知識點串聯到一起，以免思維停滯，可大大提升解題效率.

函數的性質包含定義域、值域和單調性等多個內容，實際解題過程會應用的公式、定理與結論能夠幫助解題，要求學生利用現有認知，找到該題包含的知識點，明確各個知識點的關聯.

例2 已知函數f（x）=alnx+ax，在該函數中a≠0，且g（x）=（x－2）ex－x－1x，試求f（x）對應的單調區間；另外在a=1的條件下，如果任意x∈0，1，f（x）+g（x）＜m都成立，求解m對應的最小值.

為解決這一問題，應先回憶求導法則與公式，而原有學習的公式、定理與結論是完成解題的重要基礎，具體包含哪些公式與定理，要求學生規范整理和總結，并將其應用到實際解題過程中.另外，某些學生雖然羅列出所用的公式，但無能力繼續作答，出現思維停滯的問題，產生這一問題的根本原因是其邏輯推理能力不高，也未找到合理的解題路徑，致使解題出現中斷.基于這一問題，教師應帶領學生依托問題回想相關的知識網絡，并通過思維導圖加以呈現，明確各個知識點的內部關聯，再應用到實際問題中.對于相對復雜的問題，若學生解題目標不清晰，思維出現停滯，此時，應用思維導圖能夠幫助學生捋順解題思路，有章可循，啟迪學生的思維，幫助學生找到解題方向，以免思維出現停滯，增強整體的邏輯推理能力.

2.4 科學練習，滲透不同的思想方法

函數問題主要探索函數的三要素與函數特性，教師應引導學生科學梳理，總結知識點，建立知識架構，全面培養其函數結構辨識能力，以此強化基礎，增強能力.另外，探究解題思路時，應做好數學思想方法引導，合理運用數形結合與換元法等常用的思想方法.

例3 求解f（x）=ex+1ex－1的取值范圍.

剛看到題目，大多數學生都沒有思路，主要是因為學生未發現能夠利用單調性求解的思路.經由換元，此題能夠轉化成我們常見的函數，令t=ex（t>0），那么y=t+1t－1，y=t－1+2t－1=1+2t－1，利用數形結合思想能夠有效求解這一題目.

眾所周知，函數的表達式較為多樣，不同的表達式所用的解題思路也存在差異.明確函數的單調性，通過數形結合思想能夠快速求解函數最值.

經由實踐總結不難發現，大部分學生在實際解題中都會遇到思路中斷的問題，對此，教師應基于學生的具體思維節點展開分析，找到問題的引發因素，合理啟迪，并內化換元和數形結合等不同的數學思想，找到解題思路，只有這樣，方可增強思維能力與核心素養.

在上述例題中，ex=1x根的求解本不在學生的解題范圍內，但若只探索方程是否有根，大多數學生都能獨立完成，學生可依托函數畫出對應圖象，站在數形結合角度可知第一象限內存在交點x0，1x0，此處數形結合方法較為重要，可為學生保持順暢的思路，最終將問題解決.

教師應剖析學生思維受阻的進一步原因，不要生硬記憶，應注重數學思想在解題思路方面發揮的作用.

2.5 注重經典題目，啟迪學生思維

課堂不是教師一個人的主戰場，不能只是教師一個人講解，要讓學生經由自己的努力一點點理解，以此消化知識點.教師的主要任務是把握好度，學生的根本任務是領悟，為此，復習課教學應挖掘學生自身的聯想與探究意識，提升其舉一反三的能力，以此順利實現知識遷移，達成能力培養目標.

很多高考試題都是在經典題型中拓展開來的，若能聯想經典題目，找到問題本質，便能開拓學生的思路，使其找到同類問題的解題思路.

例5 已知正數x、y符合2x+y=1，求解1x+1y最小值.在此之上進行變形，變成下述題目：x+2y=2，如果x＞y＞0，那么求解1x－y+4x+5y最小值.

剛開始解題時學生可能無從下手，為此，應聯系原題，此題最大的障礙是如何形成能夠利用基本不等式的條件，假定m=x－y，n=x+5y，經由換元得出x、y對應的等式，最終得出m+n=4，經此便能將該問題轉化成與例題相同的類型，隨即就能解決了.從本質層面而言，該例題和變式的積都為常數，且有最小值，而變式在例題的基礎上進行了拓展.經由經典題目回歸，能提升知識應用的熟練度，在思想方法中形成更深的認識，培養舉一反三能力.

近幾年，高考數學題目表現出新穎性和靈活性，但所有的題目都遵循著根本規律，我們應強化基礎和能力培養，依托數學基礎知識與技能等，合理變式，深化規律總結，讓學生不斷明確此類問題所用的思想方法，建立塊狀思維和鏈式反應，不斷豐富解題經驗.

3 結語

高中函數基于初中函數發生了一定的轉變，更加深入和全面，然而，函數性質對學生而言確實較為抽象和陌生，外加學生思維相對活躍，但缺少嚴謹性與耐心，這在某種程度上阻礙了函數教學.廣大教學工作者應認清現實，做好基礎教學，全面剖析概念，明確函數本質屬性，采用多元化的教學手段，聯系實際、生動教學、科學練習、適當引導，只有這樣，方能將函數內容有效教授給學生，以便為后期的教學活動奠定基礎.

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