新高考下化歸思想在高中數學解題中的應用

裴偉

【摘要】? 新高考中數學試題的綜合性、實踐性更強，這也對學生的解題思維能力提出了全新的要求.很多高中生在日常解題中，會出現思路不清、解題步驟混亂的情況，這降低了學生的學習效果.化歸思想可以讓學生將復雜的問題變成自己熟悉、簡單的問題，有助于學生解題能力提升.本文就高中數學解題中化歸思想的具體應用策略進行分析.

【關鍵詞】 高中數學；化歸思想；解題

化歸思想主要指學生在進行數學問題處理時，對復雜、抽象的問題進行簡單化的處理，是一個化繁為簡的過程.學生在學習中需要找出最佳問題解決思路，實現對問題的高效處理.［1］化歸思想屬于數學學習中十分重要的思想，其可以引領學生構建完善的知識體系，并靈活地運用多元知識來處理數學問題，有助于學生數學解題能力提升.

1 新高考下高中數學教學要求

從新高考命題情況看，更加關注學生的創新意識、綜合能力培養，這也對高中數學教師日常教學活動提出了全新的要求.新課程標準中指出在數學教學中需以學生自身發展為關鍵，關注學生的綜合能力、創新意識培養，教師要引領學生關注知識體系的構建，注重基礎性知識、方法的獲取，并且要充分培育學生的實際問題解決能力，促使學生能更好地應對新高考要求.［2］

數學學科本身具有很強的邏輯性，高中數學教師在教學過程中應該特別關注學生的邏輯思維能力發展情況，改變以往學生由于數學知識認知不足而出現的問題.很多高中生面對高度抽象的數學課程，會出現畏懼心理，加上高考中容易出現緊張心理，發揮會更加不穩定.所以在新高考下，高中數學教師不僅要關注學生對數學基礎知識的掌握程度，更要培育學生的實際問題解決能力，同時教師還要做好學生的心理承受力培養，指引學生更加沉穩地處理數學問題.

2 化歸思想的內涵

化歸思想是高中數學解題中應用相對比較廣的一種手段，其強調學生在學習時應該在已經掌握的數學理論基礎上，通過特殊的轉變方式，將復雜的數學問題轉變成簡單、基礎的數學問題，這樣可以很好地提高學生的數學問題解題效率.［3］

化歸思想是貫穿于整個高中階段的數學思想，數學知識本身具有極強的抽象性，知識體系緊密關聯，大部分數學問題都能做到從難到易的轉變.化歸思想則是幫助學生對數學問題進行轉化的重要工具，其本身對學生的數學基礎有很高要求，所以在高中數學教學中，教師應該引領學生掌握扎實的數學基礎，以此更好地將化歸思想融入數學知識體系中，便于學生應用自身所學知識解決問題.

高中數學教師在解題教學過程中，不能只關注學生的解題數量，更要注重學生本身的解題思維能力的發展.化歸思想本身是一個實用性極強的解題思維，其在方程計算、函數、數列等問題中有很多應用，化歸思想具有直觀、形象的特征，能讓學生更加準確地處理問題.如空間幾何類的習題中涉及高維幾何問題，這些問題對學生本身的空間想象力有很高要求，學生即便具有良好的空間想象力，在做題時依舊需要耗費大量的時間及精力.［4］對此教師就可以引導學生通過化歸思想，實現高維幾何問題向低維幾何問題的轉變，使得學生能順利地完成解題.

化歸思想的核心在于將未知化成已知、將復雜化成簡單、將陌生化成熟悉，讓學生能根據自己已經掌握的知識、條件進行問題處理.

3 高中數學解題中應用化歸思想的原則

高中數學教師引領學生利用化歸思想解決數學問題時，還應該堅持相應的原則，以更好地發揮化歸思想作用.［5］

首先是熟悉化原則.面對復雜的數學練習題，為了確保學生具備良好的解題思路，找準解題方向，教師就需要指引學生通過科學的方式來降低數學問題難度.在化歸思想下，教師引領學生堅持熟悉化原則，實現陌生問題向熟悉內容的轉變，然后要求學生以自身所學的知識為對照，對熟悉、陌生的問題進行類比，找出兩者的異同，實現問題的順利解決.

其次是簡單化原則.有的高中數學題看起來十分繁雜，題目中羅列有很多條件，而出題人也會對簡單的問題進行復雜化處理，實現對學生邏輯思維能力的考查.對于這類問題，教師可以指引學生利用化歸思想，堅持簡單化原則，對數學題目進行拆解，將陌生的問題轉變成多個簡單的問題，實現抽象問題向直觀問題的轉變，然后讓學生對各個層次的簡單問題進行梳理，得出問題的最終答案.

最后是堅持正難則反原則.高中階段的數學問題復雜程度比較高，有的問題可以利用化歸思想中的簡化原則進行處理，但是也有的問題存在難以轉變成熟悉知識的情況.在這種情況下，教師就可以指引學生堅持化歸思想中的“正難則反”原則，反向對問題展開討論，借助逆向思維思考并處理問題，特別是在處理“不存在、至少”等問題時，通過反向思考對“存在、至多”進行考慮，能獲得意想不到的效果.［6］

4 高中數學解題中化歸思想的應用策略

高中數學教師在解題中引領學生積極地應用化歸思想，可以更好地整理數學知識脈絡，讓學生能準確找到數學知識的相互關聯，高效推進數學問題轉化，促進學生嚴謹的數學思維的形成，有助于學生數學成績與數學素養的同步提升.［7］

4.1 動靜轉化

在數學解題教學中，動、靜之間的轉化屬于化歸思想最常見的應用表現，尤其是在函數解題中，通過函數將生活中的變量關系反映出來，實現對事物的運動、變化規律進行研究.在函數知識學習中，教師需要指引學生對變量的關系進行深度分析，并借助化歸思想實現靜態問題向動態問題的轉變，讓學生能從運動觀點解決函數問題，提升學生解決實際問題的能力.［9］

例如 在對數函數學習中，經常會涉及比較大小的題目，教師指引學生掌握化歸思想可以更加輕松地處理這類問題，借助化歸思想實現動靜轉化，能在很大程度上簡化題目的難度，讓學生快速掌握函數解題方法，尤其是在處理選擇、填空等問題時，能讓學生在短時間內得出正確答案，提高了學生數學學習自信心.

4.2 等價與非等價轉化

高中數學教學中運用化歸思想時，還會涉及等價轉化、非等價轉化的情況.在等價轉化過程中，學生需要全面了解問題的前因后果，確保轉化的準確性.一般來說處理立體幾何問題時，針對對稱、翻折等問題，教師可以指引學生利用曲直轉化的方式，把立體問題轉變成平面問題，實現快速準確地解題.

例1 直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BCA =90°，A1B1的中點是M，A1C1的中點是N，如果CC1 = CA =BC，求BM與AN所成角的余弦值.

在本題中，如果學生直接從正面展開求解，會出現沒有解題思路的情況.對此教師指引學生對其進行轉化，嘗試將直三棱柱轉變成正方體，然后通過向量法對異面直線夾角進行求解.根據題目中的信息，對直三棱柱進行補充，構建空間直角坐標系，如圖1所示，設正方體棱長是2，可以得出A、B、M、N等幾個點的坐標，然后寫出向量BM、AN的坐標，通過向量知識求出向量BM與向量AN的夾角余弦值.

教師引領學生利用化歸思想進行等價轉化時，需要保持邏輯的準確性，如函數定義域及值域求解，需要結合其概念，轉變成不等式組，針對方程根的分布，對不等式進行求解.

4.3 一般和特殊轉化

高中數學解題中，有一些難度比較高的問題需要做到特殊與一般的相互轉化，借助特殊值、特殊情況完成解題.在解題過程中學生應該綜合考慮自身已經獲取的數學知識，并分析一般條件、特殊條件，進行針對性轉變.一般情況是對特殊情況進行深度總結及概括，具有較強的普遍性，高中生在解題中可以對數學題目進行分析，找出特殊情況，在特殊基礎上開展一般化總結.

例2? 函數f（x）=x2+x， x≤0，ax2+bx，x＞0是奇函數，試求直線x=0，y=x與函數F（x）=bx+3ax上任意點P的切線所形成的圖形面積大小.

在本題中，結合題目給出的條件可以知道，坐標系圍成的圖形面積是一定的，與P點位置關系關聯不大.對此，可以去掉P點，確定其特殊位置，然后結合函數式中的a與b的值完成求解.整個解題環節利用化歸思想，做到特殊與一般的轉化，使得解題過程更加簡單，學生也可以利用自身學到的知識，對問題進行簡單化的處理，促進了學生的數學信息提取分析能力，有助于學生掌握多元化的解題方式，對學生數學學習效率提升有良好幫助.

4.4 精簡解題過程

高中生在處理實際問題時，教師還要指引學生善于思考，通過合理的思維及方式，對解題過程進行精簡，優化學生的解題過程.

例3 已知直線L：x12+y8=1，P是直線L上的一個點.橢圓x224+y216=1，點R是OP與橢圓的交點，同時點Q在OP中滿足OQ·OP=OR2，如果P在直線L上移動，試求出點Q的軌跡方程.

在本題中，學生需要具有明確的解題思路，如果學生先根據題意，假設出P、R、Q三點坐標，使用三點共線條件分析三個點的坐標關系，然后依據題意得出關于x、y的方程，再進行后續解題.這樣的解題過程會十分復雜，同時有大量的計算，學生有可能出現解題錯誤的情況.對此教師就可以引領學生挖掘題目中的隱含條件，對原題進行化簡.結合題目中OQ·OP=OR2的信息可知，三條線段呈等比數列形式，利用化歸思想，將二維數學題轉變成平面問題，進行解答.

假設P、R、Q三點坐標是（xp，yp）、（xR，yR）、（x，y），

當x、y不同時為0，P點不在y軸，點R在橢圓上，

依據O、Q、R三點共線得出

x2R24+y2R16=1，xRyR=yxx2R=48x22x2+3y2，y2R=48y22x2+3y2，

點P在直線L上，同時O、Q、P三點共線，

得出xp12+yp8=1，ypxp=yxxp=24x2x+3y，yp=24y2x+3y.

.若P點位于y軸，以上皆成立.

結合OQ·OP=OR2，

得出x2+y2·x2p+y2p=（x2R+y2R）2，

代入上兩個式子中，

化簡得出24x2（x2+y2）2（2x+3y）2=48（x2+y2）2x2+3y2，

由于x與xp同號，或y與yp同號，

同時2x+3y＞0，

從而得出Q點的軌跡方程是

（x－1）252+（y－1）253=1.

高中數學教師在引導學生解題時，如果遇到復雜的問題，難以按照常規思路進行解題，那么就可以從化歸的角度入手，對復雜的數量關系進行簡單化處理，這樣學生更容易找到解題思路，學生的解題能力也會因此得到提升.

5 結語

綜上所述，新高考背景下，在高中數學解題中應用化歸思想，可以讓學生對數學解題方式進行創新，實現化簡為繁，將抽象的數學問題用形象化的方式表現出來.在化歸思想指引下，學生的數學解題活動會更加輕松，并且學生能做到綜合運用各種知識解決問題，對于學生數學解題質量提升有極大幫助.

參考文獻：

［1］黃小良.例談高中數學解題中的化歸思想［J］.數理化解題研究，2022（01）：83-85.

［2］高銀萍.高中數學解題過程中化歸思想的應用策略分析［J］.考試周刊，2021（96）：55-57.

［3］王勃.化歸思想在高中數學解題過程中的應用［J］.吉林教育，2021（15）：75-76.

［4］劉旭東.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析［J］.新課程，2021（04）：144.

［5］黎燕芳.高中數學解題中的化歸方法及其教學研究［J］.新課程，2021（04）：68-69.

［6］吳陽鋒.高中數學解題中化歸思想的有效運用［J］.數學教學通訊，2020（33）：52-53.

［7］孫毅.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析［J］.數理化解題研究，2020（28）：85-86.

［8］蔡娟蘭.淺議化歸思想在高中數學解題過程中的應用［J］.黑河教育，2020（07）：18-20.