引導深度學習數學全景育人

孫洪昌

【摘要】解析幾何是當前高中數學教學中的難點，學生難以充分理解所學內容，教師需要完善教學方法，引導學生深度學習.因此，本文提出了引導深度學習，數學全景育人——高中解析幾何圓錐曲線教學方法思考.通過分析高中生學習幾何圓錐曲線時遇到的困難，依照數學全景育人解析高中幾何教學的原則，鼓勵學生在學習中多借助坐標系的幫助，并引導學生主動思考問題，培養其學習積極性，以此創建基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學路徑，希望能對廣大教師有所幫助，讓學生對這類問題的求法有一個清晰的把握.

【關鍵詞】深度學習；高中數學；解析幾何

解析幾何是高中數學的重要組成部分，它對學生的空間想象力和數形綜合運用能力有很高的要求，一直被高中數學教師及學生視為重難點問題.［1］全景式數學教育主張數學課程的教學應同時兼顧三個基本任務：學科用途、生活用途和人性用途.［2］理想的數學課堂是能夠使三個基本任務協調統一，并最終整體實現的教學過程.其中“生命”和“人性”是學科教育的基礎，以學科為主體，以超越學科為中心，以人的生命能力和核心素養為核心，以人為本，以全面育人為培養模式.如果這三項任務不能同時完成，則必須拋棄“數”而保留“人”，因為教育的第一要務是“人”，第二要務是“人才”，人的價值大于一切.［3］

分析高中生學習幾何圓錐曲線時遇到的困難，依照數學全景育人解析高中幾何教學的原則，鼓勵學生在學習中多借助坐標系的幫助，引導學生主動思考問題，培養學習積極性，以此創建基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學路徑.通過對高中解析幾何圓錐曲線教學的深入研究，可以有效促進解析幾何教學的效果，從而引導學生深度學習，使學生的知識運用能力得到進一步提升，實現數學全景育人.

1 高中生學習幾何圓錐曲線時遇到的困難

現階段高中生的數學基礎有待提高，邏輯和空間想象力需要增強，所以在學習需要邏輯思考和空間想象的立體幾何學時，就顯得有些吃力.掌握幾何圖形，把圖形語言轉換成文字語言，是學習幾何的重要環節.而由于平面圖形無法反映出實際圖形的結構特征，高中學生在學習幾何圓錐曲線時，大多很難掌握立體幾何，使學生對于立體幾何圖形的理解有些障礙，無法正確地認識到立體幾何與實際圖形之間的差別.比如，幾何中的某些表面之間不是平行的，但在圖形中卻是平行的；又比如，有些幾何體的線條之間看上去并不是垂直的，但題目卻需要證明它們是垂直的.這些問題常常使學生們感到難以理解，也在學生的幾何圓錐曲線繪圖中得以體現，因為學生的邏輯能力有限，所以難以完全理解題目中對于幾何圖形的要求.［4］

了解解析幾何是學習幾何圓錐曲線的重要環節，然而高中生對幾何圓錐曲線的概念大多認識不全面，對其定義也沒有深入地認識，而且許多學生只是死記硬背，并沒有深入挖掘其背后的意義，也沒有將其進行擴展.另外，由于學生沒有特定的基礎，在解決問題或證明問題的時候，也容易出現不能精確使用定理、公理的情況.在當前的解析幾何中，傳統的圓錐曲線教學方法存在滯后、方法單一的問題.而對邏輯和空間的抽象思考能力要求較高的立體幾何，則主要采用口傳的形式進行教學，這樣的教學方法很難解決學生在學習過程中對抽象知識的理解問題.采用傳統的教學方式，會造成學生對教材概念的理解困難，從而影響教學的積極性和感染力，教師在課堂上無法充分調動課堂氣氛及學生的學習積極性，造成數學課堂教學效率低下的現象.

2 數學全景育人解析高中幾何教學的原則

高中數學本質上是在探究數學的核心價值觀，即關于數學的最終目的，乃至對教育最終目的的理解與認識，是對“知本位”與“人本位”的選擇.毋庸置疑，數學知識本身就是數學學科教學的最主要目的，需要切實貫徹；然而，數學教育的最終目的并不在于數學知識，而在于學習知識的人，人即目的.不僅僅是數學，任何科目都應該是這樣.

數學教學的重點不在于傳授數學知識與技巧，而在于讓學生改變對數學、對世界的認識，改變對數學、對世界的認識.所以，“全景式”數學教學主張：在確保數學學習本質的前提下，提高對數學課程、數學教學評價的認識，防止和杜絕盲目追求數學知識和考試能力，從而使教學脫離“人本位”，走向“知本位”.而數學全景育人則力求不使數學學習陷入枯燥的境地，力求把數學學科的自然魅力以及教學的核心價值發揮到極致.

從整體的角度來看，數學全景育人以“人”為中心，以學生的幸福與全面發展為出發點，進行學科課程的設計與實踐，是絕對不會走上歧途的.［5］所以，對一堂課進行評估的最重要標準，就是要看看這節課對“人”的影響和發展.因此在高中數學教學中，教師和父母不能為了讓學生學習而逼迫其放棄休息、興趣乃至信心、自由和尊嚴.在數學全景育人的核心目標中，積極的態度、良好的情緒和心態比知識技能、思考能力、解決問題的能力更為重要.從數學教學這個整體到每個細小的數學活動環節，只要使學生的數學情緒、心態和數學能力都能健康地發展，那么學習就會變得健康、完整、快樂.［6］

數學全景育人分析高中幾何教學實施過程中，應以培養學生正面健康的情感、態度和價值觀為首要目標；通過維護學生對數學、對學習、對世界的興趣、信心和好奇心，使學生真正感受到學習數學的快樂.也就是說，無論是課程的編制、教學的實施，還是教學的考察評估，都應盡量使學生的數學興趣和好奇心得到最大程度的滿足，從而提高他們的數學自信心，使學生的數學意識、熱情和愿望得到充分地發揮和展現.

3 基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學路徑

3.1 鼓勵學生主動探索，借助坐標系解析問題

基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學路徑要結合教學內容，有機地實現知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的一體化.數學的“三維”目標不是三個部分，而是一個整體，任何一個維度歸零，整體就會歸零.比如，關于解析幾何圓錐曲線的教學，教材大多是直接提供一些理論公式，讓學生去比較、操作、推導.基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學把重點放在如何讓學生借助坐標系一步步實現自主研究，即讓學生親自鉆研和經歷人類基本的認知規律：用已知探索未知.

例1 已知橢圓C的方程為x2a2=y2b2=1（a>b>0），左、右焦點分別為F1和F2，點M為橢圓C上一點.

（1）①若MF1被y軸平分，且|F1F2|=22|MF2|，求橢圓的離心率.②若存在點M在以F1F2為直徑的圓內，求橢圓離心率的取值范圍.

（2）求|MF2|的最值及相應的點M的坐標.

面對該題，教師要先引導學生建立平面直角坐標系.教師可以為學生樹立“要研究幾何圓錐曲線”的目標，引導學生關聯“學過的各類坐標軸知識”，之后教師就可以提出問題“這些內容中我們更適合選哪個做參考、為什么、點M的坐標應該怎樣體現于坐標？”在此過程中讓學生學會主動思考，并在思考的過程中變得完整.這樣的設計非常重要，有助于學生逐漸學會創造性的思考，提高其獨立解決問題的能力.從這個意義上來說，全景式數學是更好地培養學生創新力和思考力的課程和教學方式.

其次，教師在講解關于橢圓的系列性綜合問題時，也應該經常利用直角坐標系的方式解決，這樣就可以在不知不覺中，培養學生運用坐標系解決解析幾何問題的能力，并使他們的數形結合能力得到進一步的提升.令學生感受到這種解題方式的優勢.例如，在研究以上全景問題中包含直線與橢圓形成的綜合問題時，如果單純依靠平面幾何的知識，很難解決問題，但借助直角坐標系則可以又快又好地完成幾何圓錐曲線的解析.

3.2 引導學生主動思考問題，培養學習積極性

全景式數學教育會盡可能地設法激發學生更多探究的欲望和本能，讓數學學習成為學生自身發展的主動需求，把數學學習轉化為“本能的事”.學生學數學并不只是為了應付考試，更重要的是要使他們能夠用數學知識來解決人生中的困難.

當前的教科書中解析幾何部分的內容量較大，比如“圓錐曲線—橢圓”，要求學生不但要學會“統一定義”，還要學習圓錐曲線部分內容及解決問題的過程，感受綜合問題的運算量，帶著不止一個“字母參數”，進行運算、整理和變形，鍛煉自己的運算能力.本課程一定會涉及數學史，教師可以把數學史與數學教學有機地結合起來，既可以培養學生對數學的興趣，又可以有效提升其解題能力.

例如 教師在教授解析幾何教學時，可以將笛卡兒的事跡和思想分享給學生，讓他們對解析幾何有更多的興趣和熱情.再比如，在主題干與上文例題相同的全景問題中，“（3）滿足條件‘（1）①’，且△MF1F2面積的最大值為1，求橢圓標準方程，并求出∠F1MF2=60°時△MF1F2的面積.（4）延長MF1交橢圓于點N.①若MN斜率為1，且向量OM+ON與向量（3，－1）共線，求橢圓的離心率；②滿足條件（3），且知：NF1F1M=12，求直線MN的方程及弦長|MN|；③滿足條件（3），是否存在直線MN，有以F2為圓心的圓過M、N兩點？若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由.”

從題目中可以收集到一些關鍵詞，例如“橢圓的離心率”“弦長”“焦點”“直線方程”等，這些專有的數學名詞有自己的由來和延伸故事，教師可以給學生解釋關鍵詞，比如圓錐曲線的“統一定義”是指“到一個定點與到一條定直線（定點不在定直線上）的距離之比為常數e的點的軌跡．當常數0<e<1，軌跡為橢圓；當常數e>1，軌跡為雙曲線；當常數e=1，軌跡為拋物線．其中的常數e便是離心率，定點與定直線是一個焦點和等于相應的準線”.圍繞著橢圓的基本知識和性質逐步展開并遞進，自然形成了各類典型問題，體現出探究和解決圓錐曲線問題的各種主要思想方法，向學生滲透運用辯證思維分析問題、思考問題和解決問題的意識，比如特殊法和一般法、整體思想和方程思想、設而不求方略與設而求之方略、數與形、動與靜（變量與常量）、點與線、方程與坐標等元素的辯證統一.

數學教師可以將問題展示成一幅涵蓋橢圓的基本知識、基本性質，體現各種重要的思考方法和解題策略的“全景圖”.但教師還需要在實踐中不斷思悟和內化，這種方式可以將自己的知識和思路與方法結合起來，從而達到舉一反三、靈活應用所學知識，指導學生進行自主思考，培養學生的學習積極性.

4 結語

引導學生深度學習，實現數學全景育人模式是高中數學教育的成功邁步.本文分析了高中生學習幾何圓錐曲線時遇到的困難，依照數學全景育人解析高中幾何教學的原則，鼓勵學生在學習中多借助坐標系的幫助，引導學生主動思考問題，培養學習積極性，創建基于全景式育人的高中解析幾何圓錐曲線教學路徑.高中解析幾何圓錐曲線所面臨的問題不僅限于以上所述，還有許多有效提高教學效果的策略，因此在未來的教學過程中，還要不斷挖掘出更多有效的途徑，并不斷完善教學模式，針對不同的學生制定不同的學習計劃，以提高學生解析幾何圓錐曲線的水平.

參考文獻：

［1］丁莉莉，宮茜，張艷妮.指向綜合育人的小學“全景式”閱讀課程的建構與實施［J］.現代教育，2022（09）：3-6.

［2］蔣永鴻，張靜.基于學科核心素養的高中數學教學原則［J］.教育觀察，2022，11（23）：118-121.

［3］王呼，陶喜梅.高中數學課堂教學中信息技術的多元化應用策略［J］.中國新通信，2022，24（15）：200-202.

［4］張迎春.基于新課程標準的高中數學新舊教材比較分析——以人教版“圓錐曲線的方程”章節為例［J］.華夏教師，2022（15）：43-45.

［5］屈若男，綦春霞，劉麗哲，等.活動理論視角下大學與高中數學教師合作共同體的構建研究——以高中幾何概型的教學為例［J］.教育科學研究，2022（05）：80-86.

［6］程欣，張開祝.以文化人，讓課程思政融入全景式育人體系［J］.山東教育（高教），2020（11）：30-31.