多元操作助力數學抽象

張緬

摘 要：“圓的認識”是小學生從認識直線平面圖形到認識曲線平面圖形的一個轉折點，學生的認知水平決定了他們對圓的概念本質理解的困難。《圓的認識》一課教學，有結構地呈現數學現象，激活不同層次的數學心智圖像，使之互相聯結、綜合，引發學生對圓本質的數學抽象，通過延展性操作的運用，推進認知的再提升。此外，還創設充分的思考空間，助力學生感悟極限的數學思想；融入數學史元素，培養學生的文化自信。

關鍵詞：小學數學；操作；心智圖像；抽象；《圓的認識》

一、課前思考

（一）教學內容解讀

“圓的認識”是蘇教版小學數學五年級下冊《圓》單元起始課的教學內容，是在學生初步掌握常見直線圖形的基本特征及其周長、面積公式，并且直觀認識圓的基礎上進行教學的。從直線圖形到曲線圖形，研究的方法、思想都有所變化。這一內容的學習旨在促使學生進一步發展空間觀念，為后續學習圓的度量以及和圓相關的立體圖形知識提供有力支撐。

就小學生的認知水平而言，從數學本質上認識圓以及相關概念有一定的難度。原因有兩點。其一，以往研究平面圖形的經驗不適用。直線圖形的構成要素外顯，學生對圖形的研究主要從點、邊、角等方面開展。而圓的構成要素內隱，圓心、半徑、直徑等都不在圓上。其二，生活經驗阻礙學生深度認識圓的本質。圓形物體在生活中隨處可見，因為太熟悉，反倒使得學生對圓的認識聚焦在“形”的特點上，而忽略對圓本質的思考。這就需要教師尋求有效方法引領學生探索圓的本質。

（二）學習情況分析

為了更準確地了解學生知識與能力的起點，厘清學生對圓概念的認知水平，我對五年級兩個班的89名學生進行了前測。部分前測問題和學生回答情況如下：

“你聽說過圓嗎？你對圓有哪些了解？你聽說過半徑、直徑、圓心嗎？”100%的學生聽說過圓；87%的學生聽說過圓心、半徑、直徑；23%的學生知道圓是曲線圖形；38%的學生知道圓是軸對稱圖形。

“生活中哪些物體是圓形的？”91%的學生能準確說出生活中的圓形物體。

“你會用圓規畫圓嗎？請你用圓規畫出一個圓。”100%的學生會用圓規畫圓，但只有25%的學生能畫得較光滑。

“你知道圓規為什么可以畫出圓嗎？”38%的學生能說出圓規兩腳之間的距離固定，大部分學生不知道原因。

“請你描述什么是圓。”93%的學生描述圓的外形特點，如光滑、沒有角、沒有邊等，沒有學生能說出圓的本質特征。

“你能說說什么是半徑、直徑嗎？”9%的學生能說出大概意思，11%的學生知道直徑長度是半徑的兩倍，大部分學生無法說出什么是半徑或直徑。

“關于圓，你想學習什么？”93%的學生想研究周長和面積，1%的學生想研究圓的特征。

通過前測可以看出，多數學生可以在生活中辨認出圓形物體，知道圓的外形特點，知道圓的相關概念的名稱；所有學生都有用圓規畫圓的經歷；學生對圓的定點、定長本質沒有思考，對半徑、直徑的概念內涵不理解，對使用圓規畫圓僅停留在機械操作階段，并未將其與圓的本質進行聯系；學生把對圓的生活經驗當成了數學理解，缺乏對圓的特征研究的主觀意愿。

（三）教學思路確定

綜上，本課教學，我形成了三個思考方向：（1）學生自我認定已經“認識”了圓，怎樣讓他們有興趣“重新認識”圓？（2）學生已經會畫圓，怎樣讓他們主動發現畫圓的意義？（3）學生聽過“半徑”“直徑”“圓心”，怎樣讓他們自主探索這些概念的本質？

基于上述分析與思考，我明確了《圓的認識》一課的教學思路。第一階段，有結構地呈現圓的數學現象，從純天然“圓”到人工創作的“圓”再到運動中形成的“圓”，從靜態到動態，逐步靠近圓的本質，呈現圓的數學現象，激活不同知識儲備或思維水平的學生頭腦中對應的心智圖像。第二階段，組織學生用不同方式畫圓，將他們不同概括水平的心智圖像動態地、有層次地展現出來，通過諸多心智圖像的累積、調整、聯結、綜合，喚醒學生提取共性的本能。第三階段，讓學生反復地操作，不斷強化“現象—數學—現象”的對應，逐步抽象出圓“一中同長”的本質。第四階段，通過操作，運用抽象出的概念本質處理延展性數學問題，讓學生將演繹推理與合情推理有機結合，進一步發展抽象能力，對概念本質有新的認識。如此，學生實現圓概念的完整建構，也發展了實踐能力和創新意識。

二、課堂實踐

（一）走進圓的世界——呈現豐富的數學現象

師 （出示下頁圖1）注意過這樣的自然現象嗎？（出示下頁圖2）欣賞過這樣的建筑物或工藝品嗎？（出示圖3）見過類似的運動嗎？世界充滿圓。畢達哥拉斯說：一切平面圖形中最美的是圓形。從這句話中，你知道圓是什么圖形？

（學生欣賞、交流自然中關于圓的現象，體會圓是一種平面圖形。）

師 下面，讓我們走進圓的世界，一起認識圓。

［設計意圖：課始，呈現大量自然界和生活中的“圓”的現象，讓學生欣賞、辨認。豐富的現實原型喚醒了學生的生活經驗，不僅讓學生享受圓的外在美，同時也激發學生探究圓內在奧秘的積極心向。］

（二）嘗試圓的畫法——激活多元的心智圖像

1.自主畫圓

師 課前交流中，我發現同學們對圓有了不少認識。現在，我們換一個角度認識圓。小組合作，自選工具畫圓。活動要求如下：（1）畫一畫，自主選擇工具（圓規、直尺或其他手邊工具）畫圓。（2）想一想，所選工具為什么能畫成圓。（3）談一談，在小組內交流畫圓的感受。

教師對各小組的學習情況巡視指導。學生匯報交流，具體如下：

（1）借助有圓面的物體畫圓。用這種畫法的學生想到了圓的樣子，利用膠帶或水杯上的圓面，沿著邊緣描出圓。他們感覺這樣的方法畫圓很快。教師提問：你們覺得這種方法有不足嗎？學生思考后回答：這樣只能描出固定的圓；如果要畫出不同大小的圓，則還要選擇其他工具。

（2）用直尺畫圓。用這種畫法的學生聯想到自行車輪，先畫一個點表示輪軸，再以它為中心畫很多一樣長線段表示鋼絲，最后將這些線段的另一個端點連起來，就像輪胎一樣，形成了一個近似的圓。教師請學生簡單示范，學生現場畫圖（如下頁圖4）。師生互動，教師相機板書：定點、定長。教師提問：怎么得到圓呢？學生回答：畫的線段越多，端點就越密；要是畫無數條線段，端點就能連成真正的圓。教師請學生觀察所畫的圖形，追問：可這個“圓”有的地方凸起來，有的地方凹進去，這是為什么？學生思維被點燃，紛紛補充：畫得線段不一樣長，并沒有都正好2 cm；畫得線段也不夠多；線段畫得不均勻，有的地方密，有的地方疏……學生表示，雖然畫不完無數條，但可以畫密些、準些，就能說明問題；并且，通過想象、推理，這樣能得到一個均勻的圓。教師追問：那這個圓上每個點到定點的距離都怎樣？學生異口同聲：相等。學生感受到用這種方法能畫出大小不同的圓，只要在尺上找到不同的刻度（即選擇不同的定長）。

（3）用圓規畫圓。教師請用圓規畫圓的學生上臺畫圓并介紹畫法。學生說，聯想到雙人滑冰的畫面（圖3左圖），圓規針尖就像男運動員的腳固定了圓的位置，筆尖就像女運動員的腳旋轉一周畫出了圓。教師追問：為什么這樣就能畫出圓？學生討論：因為男運動員的腳和女運動員的腳之間的距離沒有變過，也就是圓規兩腳之間的距離相等。學生也指出了一些同學畫得不“圓”、不光滑的原因，正是圓規兩腳之間的距離改變了。進而提出，用圓規畫圓要捏好手柄，加強操作的規范性。通過交流，學生自主得到結論：圓規兩腳之間的距離固定，有了“定長”，這樣就能畫出圓。教師順勢溝通畫法：用圓規畫圓和用直尺畫圓，你的感受相同嗎？學生指出：用圓規更專業、快捷；本質上二者是相同的，都有定點、定長，只是用圓規畫圓隱藏了無數條定長的線段，直接把無數個端點連成曲線。

［設計意圖：在平面內，圓是到定點的距離等于定長的點的集合。用直尺畫圓這種畫法是將圓的隱形本質可視化的絕佳方式。相較于用有圓面的物體的畫法，這類學生形成的圓的心智圖像更貼近數學本質。及時將這樣的心智圖像作為教學資源，因勢利導，請學生現場畫圓，放慢圓的形成過程。在這樣的操作過程中，學生經歷從數學現象（如不均勻、凹凸不平等）過渡到心智圖像（在腦海里不斷調整，并想象、推理）逐步走向數學本質。學生主動參與，積極探索，發展了空間觀念，并初步感悟了極限這一數學思想。刺激到用圓規畫圓學生的數學現象往往是生活中那些動態生成的圓，這些現象投射在學生腦海中形成的數學心智圖像也是概括水平最高的，它們最接近圓的本質，利于學生建構概念。教師給予充分的空間讓學生展示和交流用圓規畫圓的方法，抓住“為什么圓規能畫出圓？” 這一關鍵問題引發學生的數學思考，讓學生主動將數學現象和數學本質建立聯系。通過圓規畫圓與直尺畫圓的方法比較，為抽象圓“一中同長”的本質奠定基礎。］

2.規范畫圓

教師用圓規示范畫出一個定長2 cm的圓，規范畫法。

師 定點在圓的什么位置？

生 中心。

師 定長2 cm的線段有什么特征？

生 一端在圓心，一端在圓上。

師 像這樣的線段有多少條？

生 無數條。

師 為什么？

生 因為圓上有無數個點都能和圓心連成這樣的線段。

交流互動中揭示圓心、半徑概念以及字母表示。請學生畫一個半徑3 cm的圓。并用字母標出圓心和半徑。展示幾幅作品（如圖5），觀察交流。

生 這些圓一樣大，因為半徑相等。

請學生在剛才畫的圓基礎上，保持圓心不變，再畫一個不同的圓。再展示幾幅作品（如圖6），觀察交流。學生聯想到水波擴散與樹木年輪圖片（圖1），發現半徑變短，圓變小；半徑變長，圓變大。將兩次作品放在一起，再次組織觀察、交流感受。學生明確：半徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

師 同學們，通過剛剛的學習，我們已經認識了圓心、半徑，知道了圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。

［設計意圖：通過示范畫圓，一方面讓學生明確用圓規畫圓時需要注意的關鍵環節；另一方面，畫圓過程中，定點（圓心）和定長（半徑）自然出現，互動交流中，圓心、半徑概念的本質呼之欲出。通過操作，學生關注的不再是概念的名稱，而真正理解了概念的內涵。接著，學生分別在不同的紙上畫相同半徑的圓和以相同的圓心畫不同半徑的圓。兩次畫圓，一方面鞏固了學生規范的畫圓方法；另一方面，將不同學生的作品巧妙地同屏展示，形成數學現象，引發交流反思，不同的心智圖像在積累中組合，漸漸概括出半徑、圓心的作用。在這個操作活動中，學生再次回到一開始展示的水波擴散與樹木年輪圖片，促進“生活（現象）—數學—生活（現象）”的反復對應，加深概念的理解。］

（三）體會圓“一中同長”——完成深度的數學抽象

教師給每位學生準備一張圓形紙片，請他們用圓規在作業本上畫出一個與之同樣大小的圓。活動要求如下：（1）畫一畫，想辦法用圓規畫一個與圓形紙片一樣大的圓。（2）想一想，畫圓過程中，你還發現了什么。（3）說一說，把你的想法在小組內交流。

學生提出“先找半徑”的觀點。有的學生把圓片對折、再對折找到圓心，連接圓心和圓上任意一點得到半徑。有的學生把圓片對折一次，用尺子測量折痕所在線段的長度，找到線段的中點，由這個點到圓上一點的長度得到半徑長。

通過對比，學生發現不管用什么方法找半徑都要先找到圓心。教師組織學生討論為什么。學生交流：因為半徑有兩個端點，一個端點在圓上，圓上任意一點都可以；另一個端點在圓心，圓心只有一個，在圓的中心，所以關鍵在確定圓片的圓心。

教師引導學生再研究圓片，學生發現自己的圓片上均出現了一些折痕，這些折痕很有特點。教師請學生用不同顏色的筆畫出兩條折痕（如下頁圖7），并與同桌一起研究。學生交流：這些折痕經過圓心，兩端都在圓上；長度是半徑的兩倍，可以通過折或量得出；這樣的折痕有無數條；圓是軸對稱圖形，折痕所在的直線是它的對稱軸……教師順勢指出：這樣的線段叫作直徑，直徑用字母d表示，直徑和半徑的關系怎么表示？d=2r和r=d/2一位學生拿出一個小號圓片，將其直徑和原來圓片的半徑比較，提出質疑：我這個圓的直徑怎么不是半徑的兩倍？同伴補充：這樣的關系要在同一個圓中。

師 回顧這節課的兩次活動，你有什么收獲？

生 研究了圓心、半徑、直徑，知道了它們的特征以及半徑和直徑之間的關系，學會了規范地畫圓。

師 中國古代科學家墨子這樣概括圓的特征：“圓，一中同長也。”你能解讀一下這句話嗎？

生 “一中”，一個圓心；“同長”，半徑（直徑）等長。

師 中國古人充滿了智慧，4個字就概括了圓的本質。

［設計意圖：讓學生畫一個和圓形紙片同樣大的圓，學生通過操作找到圓心，逆向理解半徑的內涵。抓住操作中的生成性資源——折痕開展研究，直徑概念的內涵、特征以及直徑與半徑的關系自然建構。通過小圓片直徑與大圓片半徑的對比，完善了學生對概念外延的理解。通過對比不同的作品和畫法，激發學生想象和推理。至此，那些不斷積累的圓的心智圖像在多向聯結作用下綜合，形成完整的圓的概念，實現對圓本質的深度抽象。另外，中國數學傳統文化的介紹，也讓學生體會到我國古代勞動人民的偉大智慧，提升文化自信。］

（四）綜合應用圓的本質——引發知識再認識的延展性操作

師 給你一條線段AB，你能畫一個圓，使圓周經過線段端點 A、B嗎？

大部分學生認為：應以線段AB的中點為圓心，線段AB的一半長度為半徑，只能畫出一個圓。教師鼓勵學生思考是否有不同的方法。有學生想到：線段AB的垂直平分線上任意一點都可以作為圓心O；點O、點A、點B形成等腰三角形，等腰三角形的腰OA作為半徑。學生思路激活，認為可以畫出多個圓，甚至無數個圓（如圖8）。

師 課要結束了，但對圓的研究沒有結束，圓里還有太多的秘密等著我們探索挖掘。

［設計意圖：延展性練習，充分挖掘“做”與“思”的空間，引發學生開展不同層次的操作。首先，學生通過剛才習得的知識和方法進行演繹推理，初步解決問題，獲得成功喜悅。接著，教師進一步啟發，鼓勵學生對成果進行拓展，將問題吊到半空，觸發學生“跳一跳，摘果子”。新一輪操作把學生思維引向“最近發展區”，結論從一個圓到多個圓再到無數個圓，實現新的突破。］

三、課后反思

（一）提供遞進式操作路徑，促進認知發展

本課設計了兩個以“畫圓”為主線的大活動。

第一次“畫圓”分三個層次展開：層次一，學生自主畫圓，以問題“為什么能畫成圓”勾連學生的不同畫法，展示不同層次的心智圖像，將數學現象與數學本質主動建立聯系。層次二，教師示范畫圓，邊畫邊談“定點在什么位置”“定長的線段有什么特征”，圓心、半徑的內涵呼之欲出，對概念的認識逐步聚焦圓的本質。層次三，學生畫指定的圓，對比不同學生的作品，圓心、半徑的作用自然浮現。

第二次“畫圓”，讓學生用圓規畫一個和圓片一樣大的圓。活動分兩條線索展開：明線，在紙上畫圓；暗線，在圓片上找圓心和半徑。走明線就必定經過暗線，也就必然留下“痕跡”，為學生自主探究直徑及抽象出圓的本質及相關概念，提供了鮮活的素材。

全課由大大小小的數學操作活動有機串聯，在抽絲剝繭中推動學生對圓的認識的發展。學生在做中思，思后再做，操作層層遞進，思維不斷提升。

（二）創設充分的思考空間，助力思想感悟

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：為學生提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數學活動過程，幫助學生感悟基本思想，積累基本活動經驗。^［1］

本課創設的自主畫圓環節，教師開放操作與思考的空間，讓學生自由選擇手邊的工具畫圓，這就有了生成“用直尺畫圓”的可能性。這個畫法的誕生相當于學生自己找到了探索圓本質的“腳手架”。教師抓住這一生成性資源，讓學生動態展示圓的形成過程，線從少到多、點由疏到密、形由不像圓到像圓，在多個“越來越……”的過程中，極限思想自然滲透。即使學生最終也沒看到標準的圓，但圓的本質已扎根于學生的想象、推理中。直至后續出現了用圓規畫圓，學生的猜測、推理得到進一步驗證，逐步進行概括。在這樣遞進的數學探索過程中，學生感悟了極限的數學思想。

（三）融入數學史元素，培養文化自信

新課標強調：注重情境素材的育人功能，如體現中國數學家貢獻的素材，幫助學生了解和領悟中華民族獨特的數學智慧，增強文化自信和民族自豪感。^［2］

本課引用“圓，一中同長也”（《墨子》），高度概括圓的本質，將數學史元素自然融入教學，讓數學課堂更有溫度。這也向學生滲透了中國傳統文化的精髓，啟發學生在“從整體知識體系中提煉出圓的數學本質，發展抽象思維水平”的同時，參悟古人智慧，提升文化自信，堅定愛國情懷。

參考文獻：

［1］［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：94，87.