因“材”施教謀全局,順“勢”而為促發展

李想

摘 要：概念教學是發展學生數學思維，培養其數學核心素養的重要載體.但在日常教學中，理想與現實存在諸多差距.“平方根”作為初中數學概念教學典型課例，以其為引，從把握學科知識、掌握教學知識、運用技術知識角度闡述緊扣課標教材，遵循學生的認知規律，推動課堂的自然生長.

關鍵詞：概念教學；核心素養；平方根

1 問題提出

數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是數學學科的基石，更是數學思維和數學交流的工具^［1］.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《新課標》）中明確指出：教師要引導學生經歷獨立的數學思維過程，理解數學基本概念和法則的發生與發展，經歷數學“再發現”的過程，并在過程中發展質疑問難的批判性思維.由此可見，概念教學是數學教學的重要組成部分.初中階段是學生抽象邏輯思維迅速發展的關鍵時期，概念教學肩負著引導學生通過實際問題抽象數學概念，理解數學概念，探尋數學本質，逐步學會運用數學思維方式分析解決問題的重任，因此，受到教育工作者的廣泛重視.但在日常教學中，它往往卻是初中數學教學的短板，存在諸多問題.第一，缺乏整體思考，過于追求短期效果，導致學習呈孤立狀；第二，缺乏過程關注，過于追求結果，使得學生應有的認知感悟和思維體驗不足；第三，缺乏學習深度，對于隱藏在知識背后的數學思想方法的挖掘不夠，錯失培養學生數學學科核心素養的機會.那如何謀篇布局數學概念教學，以促進學生數學思維發展，提升其數學學科核心素養呢？筆者將結合參加2022年江蘇省優質課評比所執教的“平方根”一課，提出教學反思.

2 案例評析

2.1 教材分析

“平方根”出自《義務教育教科書數學八年級上冊（蘇科版）》第四章“實數”第一節（第一課時），是繼自然數、分數、負數等有理數的學習后認識無理數的開端，是一次重要的數系擴充，亦是繼加、減、乘、除、乘方五種運算學習后對乘方逆運算探討的起點，且對后續將要學習的立方根、二次根式、求解一元二次方程有著深遠影響.

從知識角度來說，教材選擇從平方的逆運算——開平方入手，通過計算小方格紙中長方形對角線的問題情景，引出了研究平方根的必要性和平方根的相關概念，這是本單元的起始內容，也是本課時的核心問題.

從思維角度來說，以“開平方”開始乘方逆運算的研究體現了以簡馭繁的研究思路；平方根具備運算結果與運算過程的雙重含義；平方根概念的形成對數感和符號意識的發展起著重要作用；平方根的研究路徑為今后立方根的學習提供樣本等等.這些無疑都說明平方根的生成與發展處處體現了數學的邏輯性和合理性，具有很高的思維價值^［2］.

2.2 學情分析

八年級學生具備了“數與代數”相關知識基礎，抽象邏輯思維逐步開始占據優勢，但仍需要感性經驗的直接支持.具體分析有兩個潛在難點：第一，學生已經學習了勾股定理，會計算直角三角形邊長，為探究平方運算的逆運算奠定了基礎.但由于邊長均為正值，這在一定程度上會對學生理解和掌握平方根形成負遷移；第二，平方根概念較為抽象，又與算術平方根、立方根和無理數等內容高度相關，四個緊密相連又易于混淆的概念將給學生的學習帶來一些困惑.

2.3 教學目標

基于教材和學情分析，本課時圍繞“平方根”這一核心概念的生成與發展，即為何要學習平方根？怎樣研究平方根？研究結果如何？還有哪些關聯內容？確定教學目標如下：

（1） 體會研究平方根的必要性，了解平方根的起源與發展；

（2） 了解平方根的概念，會用根號表示數的平方根；

（3） 了解平方與開方互為逆運算，理解平方根的相關事實，會用平方運算求非負數的平方根；

（4） 經歷知識的生成與發展，體會數學的抽象與嚴謹，主動用數學思想方法分析和解決問題，并感受和欣賞數學之美.

2.4 教學過程

2.4.1 運算入手巧設疑

問題1：同學們，數學為人們提供了觀察、感知、探索世界的方式，小學階段我們學習了加法，這是生產生活的需要，隨后研究了加法的逆運算——減法，而為了簡化加法又學習了乘法以及乘法的逆運算——除法；初中階段為了簡化乘法進一步學習了乘方，這時我們不禁思考：乘方有沒有逆運算呢？

生：應該有吧.

【設計意圖】教材中雖未直接用逆運算引出“平方根”，但卻處處暗藏運算線索.故筆者通過類比加與減、乘與除的互逆關系，首先激發學生基于“運算完備性”思考乘方的逆運算，以此引導學生邏輯清晰地整體梳理運算體系結構，站在更高層次俯瞰接下來要學習的平方根、立方根等內容，讓學生親歷問題的生成，感受提好數學問題的重要性.

2.4.2 關聯生活提問題

活動一：出示校園航拍圖，抽象出正方形、直角三角形和圓.

（1） 如果正方形的面積為16m²，那么它的邊長x與面積之間具有怎樣的等量關系？

（2） 如果直角三角形“勾三”“股四”，那么“弦x”與它們具有怎樣的等量關系？

（3） 如果圓的面積為9/4π，那么圓的半徑x與面積之間具有怎樣的等量關系？

生1：x²=16，x²=25，x²=9/4.①

師追問：如果正方形的面積為2m²呢？如果勾四股五弦是多少呢？如果圓的面積為5π呢？

生2：x²=2，x²=41，x²=5.②

【設計意圖】從實際生活中抽象數學問題，獲得“正方形”“三角形”“圓”三個基本圖形，利用已學知識得出6個關于x的方程.第①組三個方程的底數為有理數，旨在引出平方根的定義；第②組三個方程底數為無理數，旨在為平方根的表示方法及其性質做好鋪墊.

2.4.3 歸納抽象生概念

活動二：觀察第①組三個方程，思考使等式成立的x是否存在？是否唯一？若存在，x為多少？

生3：存在，不唯一，x=±4；x=±5；x=±3/2.

師追問：你有什么發現？能將結論一般化嗎？

生4：使這些等式成立的x都有兩個.可以將結論一般化為：當x²=a時，滿足條件的x有兩個.

師再次追問：很重要的發現.那對于一般化的a有要求嗎？

生5：若a是正數，滿足條件的x有兩個；若a是負數，就不存在這樣的x.

師：很好，把a分成了正數與負數討論，大家思考，漏掉了什么沒？

生6：若a＝0，滿足條件的x就是0，只有一個.

師：好的，要注意分類討論的完整性.

師生共同小結：當a＞0時，使x²=a成立的x是存在的，且有兩個；當a=0時，使x²=a成立的x是存在的，就是0；當a＜0時，使x²=a成立的x是不存在的.

由此引出平方根定義：如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根.

【設計意圖】設計對三個“冪”為平方數的例子進行平方根存在性和唯一性分析，尤其從一開始就提出唯一性問題，是為了引導學生從概念生成伊始就自我固化“正數平方根有兩個”這一重要事實，避免生成“漏負”的常見錯誤而難于糾正的困擾.然后從特殊到一般，通過對于a的討論，化解概念生成中關于開平方“非負性”的難點，使得新知學習自然生長，并潛移默化地滲透分類討論這一重要數學思想.

2.4.4 深入研究探性質

活動三（1）個人答題：求出下列各數的平方根：25；16/81；15；0.09.

（2） 小組合作：請同學們小組合作，按照步驟完成下列任務.

① 組員輪流抽取卡片（教師提供），并說出卡片上的數是否有平方根，若有，請寫下來，若沒有，請說明理由；

② 小組交流，判斷組員的運算結果是否正確；

③ 從中選1個“印象最深刻”的數，整理在“學案”上，進行組內交流；

④ 班級全體組間交流，歸納結論.

某一學生小組展示：

師生共同歸納得出平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

【設計意圖】個人答題是對平方根問題的及時鞏固，按照《新課標》的要求從“求百以內整數的平方根”到“求百以內完全平方數的平方根”設計平方數、分數、非平方數、小數的平方根問題.其中涉及小數化為分數，小數平方根的數位問題，較大的數的短除法等知識要點，前后聯系鞏固平方根的定義，為后續教學環節奠定基礎.

小組合作旨在讓學生于具體解題中發現問題，并通過選取“印象深刻”的數，體會自主學習的樂趣，引導學生自發進行問題歸類，并做一般化處理，最終“自然”地得出相應結論，以此激發學生的探究熱情，發展學生數據收集、處理、分析及歸納的能力，滲透分類討論思想，培養合作意識^［3］.

2.4.5 概念辨析促理解

問題1：已知底數和指數求冪，這是什么運算？

問題2：已知冪和指數求底數，這是什么運算？

師生共同討論：（1） 平方運算；（2） 求平方根，即求一個數的平方根的運算叫做開平方.

問題3：你能說一說“平方”“平方根”“開平方”的關系嗎？

生7：平方和開平方都是運算，應該互為逆運算，就像“加和減”“乘和除”一樣；而平方根是開平方運算的結果.

師：非常好，“平方根”是數，“開平方”是運算.

【設計意圖】通過對底數、指數、冪“知二求一”分析，引導學生感受求平方根的運算與平方運算的互逆關系，從而引出開平方的定義，并通過辨析易混概念“平方”“平方根”“開平方”，幫助學生深化平方根概念理解，剖析其數學本質.

2.4.6 回顧反思留懸念

師：同學們，本節課我們研究了哪些內容？涉及了哪些數學思想方法？你能用思維導圖的形式進行簡單梳理嗎？

師：根據今日所學，大家有什么疑問，或是還能提出什么問題嗎？

提示：正數的平方根有兩個，但我們生活中好像經常用到的是正的那個，這是為什么呢？平方是乘方的最特殊、最簡單的形式，開平方自然也是開方的最簡單的形式，那接下來我們想研究什么呢？

【設計意圖】好的課堂一方面應當幫助學生建立結構化的認知，將知識、方法串點成線，連線成面，形成體系，另一方面要留足懸念，引導學生思考，主動延伸課堂，形成善質疑，會學習的品質.

3 教學反思與啟示

概念教學是數學教學的重要內容之一，其核心就是數學概念，即反映數學對象本質屬性的思維形式.李邦河院士曾指出：數學根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.因此，數學概念教學應立足于數學本質，著眼于學生的長效發展，發揮學科育人優勢，最終實現發展數學核心素養的終極目標.如何組織數學概念教學呢？筆者結合“平方根”課例，認為要注意以下幾點.

3.1 把握學科知識，提高概念教學質量

常言道：要給學生一杯水，教師要有一桶水，更要成為長流水.因此，教師組織好數學概念教學的前提是自身具備過硬的學科素養，只有教師對數學概念的內涵、外延以及背后所蘊含的數學思想方法有深刻的理解，才能據此有目標地設計并實施教學.那如何把握學科知識呢？鉆研課標、教材是規范動作，教材是育人目標的物化產物，教學不可脫離教材，但亦不可對教材“唯命是從”，教師需深入研究課程標準，揣摩教材編寫意圖，從表面到本質，從孤立到系統地把握概念深層結構，明晰知識體系構成.當然，查閱學術論著、進行相關研究則是自選動作，兩者結合，可以更加有效地挖掘數學本質，提升教師學科素養.“平方根”教學設計將本節放入單元甚至整個數學學習歷程中，從“數的發展”與“運算的封閉”兩個角度審視本節內容，挖掘內在思想方法及理性精神，為教學實施打下學科基礎.

3.2 掌握教學知識，構建概念教學模式

教師教學過程中抓住“生長點”“發展點”“提升點”，關注數學知識生成，重視數學思維發展，才能組織出“自然生長”的數學教學，形成人與知識共生的良性循環，構建數學概念教學的有效模式.而在“平方根”的教學設計中，這一點是貫穿始終的，從最初對于學情的分析，到之后教學過程的若干環節，如從學生熟悉的校園航拍引入新課、從引導學生思考平方有沒有逆運算發起對新知識的探索，這些引導學生主動參與、積累數學活動經驗、經歷知識的生成與發展的設計均是遵循這一原則，以期培養學生適應進一步學習和終身發展需要的數學核心素養.

3.3 運用技術知識，助力概念教學優化

近年來，“信息技術與學科教學整合”成為教學研究的熱門話題.多媒體計算機與網絡技術以其可視、直觀等優勢為數學教學提供了強大的技術支撐.在“平方根”教學中，筆者設計“數學實驗拓發展”環節，引導學生操作幾何畫板等軟件，通過計算、繪圖，進一步加深對于平方根的理解，并滲透數形結合、分類討論、極限等重要數學思想，以實現概念教學的拓展，涵養學生數學精神.

參考文獻：

［1］ 杜成智.數學理解在初中數學概念教學中的運用［J］.教學與管理，2019（10）：45-47.

［2］ 鄭海山.以數學知識發生、發展的視角展開概念課教學——以“平方根”一課為例［J］.中國數學教育，2021（Z3）：65-68.

［3］ 葉新和.“平方根”教學設計與反思［J］.中學數學月刊，2020（1）：5-7+11.